對一個猜想不等式的探究

浙江大學附屬中學丁蘭校區(qū) (310021) 俞忠有 施剛良

筆者本想去證明猜想不等式，思考了很長時間但證明不出來.于是就想能否將字母增加一個，變?yōu)?個可能會有新的思路(數(shù)學家在證三維彭加萊猜想時發(fā)現(xiàn)很難證，于是從四維、五維、更高維入手，發(fā)現(xiàn)都可以證明，最后，三維彭加萊猜想被俄羅斯數(shù)學家佩雷爾曼證明).通過等價轉(zhuǎn)化命題再利用反證法，發(fā)現(xiàn)安老師提出的猜想不等式對4個字母的情況是能夠加以證明的.

四元猜想不等式：已知a,b,c∈R+，且n∈N*，證明：

通過上面的鋪墊，要證猜想不等式成立，只要證A+B+C+D≥1即可，其中(1-An)(1-Bn)(1-Cn)(1-Dn)=(4n-1)4(ABCD)n.

結(jié)束語：不等式問題的證明技巧性與多樣性吸引著很多數(shù)學教師。本文的證明思路來自[2]，但文[2]沒有證明4元不等式的情形，也沒有提出m(m≥4)元不等式情形。本文完整地證明了4元不等式情形，按照上述證明思路，m元不等式也是成立的，但遺憾的是筆者仍不能直接證明4個字母情形的不等式，希望有興趣的讀者能給出該情形的直接證明(不是借助反證法)方法.