對2020年全國Ⅰ卷導數壓軸題的錯解探源*

江西省南昌縣蓮塘第一中學 (330200) 李樹森 李藝璇

2020年全國高考數學Ⅰ卷理科21題函數與導數壓軸題，該試題重視數學本質，突出理性思維和對關鍵能力的考查．此題是一道以不等式恒成立為背景，具有高度的迷惑性、解題具有一定創新性的試題，本文從此題的第2問的一個典型的錯誤探究其錯誤的根源，并從多視角探究其解法.

1 試題呈現

例1 已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

本題以不等式恒成立問題為背景，考查利用導數研究函數的單調性，極值，求參數取值范圍等導數中的熱點問題,突出對數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養的考查.對于已知恒成立問題求參數的取值范圍，是常考題型.初看本題第2問的不等式是在區間的端點取等號，很多學生容易和所謂的“端點效應”相聯系而導致錯誤，本題除了在端點取等號同時又在區間的某點處取等號，因此學生解答此題盲目套用模型解題. 本題常用的解題策略是分離參數法，但是運算量大，讓一部分考生望而卻步.若在不等式的構造上做出理性分析，便可得到更簡潔的解題方法.該題體現了對數學核心素養以及化歸與轉化思想的考查，是一道具有選拔功能的好題.

2 錯解探源

這是一種很常見的錯誤解法，筆者將通過以下兩個案例幫助探究此類問題何時適用“端點效應”，以及“端點效應”在該題當中失效的根本原因.

案例1 (2017年全國Ⅱ卷文科21題節選)設函數f(x)=(1-x2)ex，當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析：由f(x)≤ax+1得(1-x2)ex-ax-1≤0，設g(x)=(1-x2)ex-ax-1，注意到g(0)=0，g′(x)=(1-2x-x2)ex-a，g″(x)=(-x2-4x-1)·ex<0，則g′(x)在[0,+∞)上為減函數，g′(0)=1-a≤0，則a≥1，當x≥0，g′(x)≤0，即g(x)在[0,+∞)上為減函數，所以g(x)≤g(0)=0

當a<1時，則存在x0∈(0,+∞)，使得g′(x)=0，又因為g′(x)在[0,+∞)上為減函數，所以當x∈(0,x0)時，g′(x)>0，即g(x)在(0,x0)上為增函數，所以當x∈(0,x0)，則有g(x)>g(0)=0與條件相矛盾，所以a≥1.

案例2 (2010年全國Ⅰ卷理科21題節選)f(x)=ex-1-x-ax2，當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.

上述兩個案例的共同特征是：對于任意的x∈[m,+∞)不等式f(x)≥0恒成立，且f(m)=0，當f(n-1)(m)=0，則需要滿足f(n)(m)≥0，利用f(n)(m)≥0求出的參數的范圍為不等式成立的一個必要條件，但若并且n階導函數為單調增函數，此范圍剛好也滿足了其充分性，只需要說明其范圍的補集并不符合條件.所以，確實存在一些問題符合所謂的“端點效應”，通過該方法問題在一定程度上得以簡化，但同時也會固化思維，而更容易犯錯.我們不妨利用上述方法求出的參數范圍，將其作為不等式成立的必要條件，以此縮小討論的范圍.

3 正解探究

視角1 分離參數法，將不等式的恒成立問題轉化為最值問題處理.

視角2 將原函數適度變形為指數型函數與多項式函數的乘積形式，通過分類討論求出函數最值.

視角3 尋求不等式成立的必要條件，縮小討論范圍，運用充分條件確定參數的范圍.

視角4 借助圖像的直觀性，將不等式的取等條件轉換為兩曲線的相切的切點來處理，探討臨界狀態值，對參數分類討論，從而確定參數的范圍.

導數壓軸試題中的恒成立問題是?？純热?，在掌握上述常見四種視角的基礎上，要辨別問題類型的本質，解決導數綜合問題善于對函數的結構形式進行變式，構造恰當的函數，并借助函數圖象直觀性，將不等式問題巧妙轉化，找到臨界位置，善于運用相關結論，掌握解題技巧．通過典型的試題，針對性的訓練，逐步提高對此類問題的解決能力．