核心素養(yǎng)下圖式理論在高中數(shù)學教學中的應用探討

馬金鳳

【摘要】核心素養(yǎng)是新課改下的教育聚焦，貫串高中數(shù)學課標的所有部分，基于核心素養(yǎng)時代的背景，進一步研究數(shù)學圖式化教學，探討高中數(shù)學如何進行圖式教學實踐，分析圖式理論在數(shù)學教學實踐中有何作用.

【關鍵詞】核心素養(yǎng);高中數(shù)學;圖式理論

圖式理論是一種認知心理方面的重要理論，能夠?qū)?shù)學的抽象知識轉(zhuǎn)化為具體圖式，而圖式又是大腦中的一種認知結構.斯根普曾指出：“個別的概念一定要融入與其他概念合成的概念結構中才有效用.”除了所謂最基本的初級概念之外，每一個概念都是由若干較低階層的概念合并發(fā)展得來的，而這個概念其后又與其他概念結合發(fā)展出了更高階的概念.容易看出，圖式的建構是抽象化（由較低層次向較高層次的發(fā)展可被認為達到了更高的抽象程度）和具體化（除去向著更高抽象程度的發(fā)展以外，通過引入新的處于較低層次的概念為較高層次的概念提供具體的“實例”）的一種組合.用圖式理論指導數(shù)學教學，以引導學生深度學習，激活學生的聯(lián)想能力，進而培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

新時代的課程改革要求高中數(shù)學課標以“發(fā)展學生核心素養(yǎng)”為價值取向及課程主線.借助抽象化、具體化的圖式，能夠促進學生很好地完成數(shù)學知識體系的建構，能夠更好地解釋學生的學習機制，有助于數(shù)學核心素養(yǎng)落實于日常教學.那么，在核心素養(yǎng)時代，高中數(shù)學應如何進行圖式化教學呢？圖式理論在數(shù)學教學實踐中又有何作用？

1 理清脈絡，明確學習方向

圖式在指導個體認識新事物時，并不是被動地將其簡單搬到頭腦中儲存，而是按照一定的順序和邏輯性，將其各個部分形成組塊.圖式影響著輸入信息的選擇，并通過一定方式組織信息，將這些信息整合成一個有意義的框架，其目的是促進個體對信息的理解.所以，運用數(shù)學圖式理清知識脈絡，可以提供記憶的支柱，幫助學生理解領會知識.對于數(shù)學教學，教師應從分散復雜的知識堆中抓主干，利用圖式加工并整理，這樣便可給學生的學習提供一個明確的方向.

導數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是研究函數(shù)的重要工具，銜接著初等數(shù)學與高等數(shù)學.盡管導數(shù)作為選修內(nèi)容出現(xiàn)在高中教材中，但因其廣泛的應用性而成為數(shù)學學習的重要內(nèi)容.因為事物的外部會不斷變化，而其內(nèi)部永恒不變，故認識事物要把握其內(nèi)在結構，學習繁雜分散的導數(shù)亦是如此.在講解“導數(shù)及其應用”時，教師可利用圖1的圖式來提供知識信息.

圖1

由于導數(shù)知識繁雜分散，為方便教師的教、學生的學，將導數(shù)知識按照內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，把相關知識組合成一個學習模塊（網(wǎng)絡結構）如圖1所示，高中導數(shù)學習所遵循的主線是：平均變化率→瞬時變化率→導數(shù)的概念→研究函數(shù)→工具性價值.圖1的知識結構圖，既表征新的知識，又整合已有的知識，以增強學習的目的性，助力學生認知結構的構建.在理解導數(shù)相關知識點的同時，構建以“導數(shù)”為主題的圖式，強調(diào)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于導數(shù)問題的全面把握.通過其中某一個知識點可因知識點間的聯(lián)系而聯(lián)想到其他的知識點，即發(fā)揮“牽一發(fā)而動全身”的效果，這樣在面對新的知識時，能夠及時提取信息，獲得新的方法和策略，特別是在處理綜合問題時，能夠為其提供多樣化的方法和策略.

由此可見，知識結構圖轉(zhuǎn)化成學生認知結構的過程就是一種推理過程，也就是說，整體性的思考過程是在發(fā)展學生的邏輯推理能力.如果割裂各知識點間的聯(lián)系，即使能減輕學生的學習壓力，也不能減輕處理綜合問題的負擔，阻礙學生的數(shù)學思維，不能幫助學生樹立數(shù)學應用意識.在教學過程中，教師可以根據(jù)實際情況，利用圖式理論處理數(shù)學知識結構，讓學生獲得一個明確的學習方向和知識點間的聯(lián)系.方便提取和再現(xiàn)的知識結構圖能夠發(fā)展學生的“邏輯推理、直觀想象”等數(shù)學核心素養(yǎng)，符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，促進學生的最佳發(fā)展.

2 梳理邏輯，切準問題命脈

圖式會影響個體對問題的解決，而問題解決則是個體鞏固圖式的重要渠道.巧用圖式對數(shù)學知識進行甄別、組織、整合，構建一個有意義的結構框架，促進學生對新舊知識的銜接、理解、消化與應用.繪制適當?shù)谋斫鈭D式是迅速表征和解決較為復雜問題的有力手段，往往有助于梳理知識間的邏輯關系或普遍規(guī)律，從而縮短審題時間，切準問題命脈，解題時可得心應手.

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，是揭示自然規(guī)律的基本數(shù)學模型，其主要內(nèi)容是數(shù)列的概念與表示，教材中通過對生活實際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列兩種數(shù)學模型.在數(shù)列的教學中，教師可以借助表1圖式（表解式）引導學生在探索中掌握與等差、等比數(shù)列相關的一些基本數(shù)量關系.

表1圖式的核心思想是類比推理，實際上，等差與等比在運算符號上有密切的聯(lián)系.教師可以通過表1引導學生觀察，啟發(fā)學生注意觀察數(shù)列模型的圖式（結構）特征，容易發(fā)現(xiàn)等差與等比之間的類比遵循上述表格所反映的規(guī)律.學習“等差數(shù)列和等比數(shù)列”的相關知識后，難免會有學生對一些具體知識一頭霧水，不能形成完整認知.此時，教師若用圖式進行銜接，將等差數(shù)列與等比數(shù)列進行“平行”學習（每學一個等差數(shù)列的性質(zhì)后，就讓學生自主學習、獨立探索等比數(shù)列與之對應的性質(zhì)），可形成一個交叉網(wǎng)絡，組織學生預測與推理以宏觀掌握數(shù)學發(fā)展的基本線索與數(shù)學基礎知識之間的關系，進一步對知識再整合、系統(tǒng)化，構建良好的知識網(wǎng)絡，完善自我知識體系.

所以，在圖式教學中，教師要引導學生：提取信息→加工信息→獲取方法→表解式表征，從而分析問題的解決途徑.教師引導學生構建適宜的表解式對問題進行表征，能夠發(fā)揮學生鞏固原有知識、激活聯(lián)想能力的功效;能夠培育學生的“邏輯推理、數(shù)學建模”等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的類比推理思想.

3 構建模型，深化數(shù)學思維

皮亞杰認為：“圖式描述的是具有一定概括程度的知識而不是定義.”將數(shù)學新舊知識間的聯(lián)系點加工成一個圖式，新的知識可轉(zhuǎn)化為已有認知結構中的相關概念，便于更好地掌握新知識.在數(shù)學復習課的教學中，教師可以從某一類具有相同屬性的數(shù)學知識或問題中提煉其本質(zhì)屬性，再拓展到具有這類屬性的一切數(shù)學知識或問題中，從而以圖式的方式形成這類數(shù)學知識或問題的普遍概念.

空間垂直關系是高中數(shù)學課程中十分重要的內(nèi)容，要掌握空間垂直的定義及定理和論證相關垂直問題并不那么簡單.定義、定理等屬于陳述性知識，必須從中整合成適合學生認知規(guī)律的相關概念圖式，也就是說，圖式不是零散的定義或定理，而是一句話和一個典型的樣例.對于空間垂直關系，教師可以通過圖2的圖式進行教學.

圖2的教學核心是將空間垂直關系濃縮成一個圖式“一句話+幾何體”，其中，“一句話”是指一條直線如果垂直于三角形的兩條邊，則必垂直于第三條邊;“幾何體”是指四個面均為直角三角形的三棱錐.這個圖式比較抽象，要注意的是，在解答垂直關系時，教師既要引導學生養(yǎng)成一種“由因?qū)Ч保ňC合法）的思維習慣：線⊥線→線⊥面→面⊥面;也要培養(yǎng)學生的“執(zhí)果索因”（分析法）這種逆向思維：面⊥面→線⊥面→線⊥線.而“執(zhí)果索因”的分析法是非常抽象的.所以，對于一般的學生，最適合的一種程序型圖式教學是：將“一句話”與分析法緊密結合，借助圖式將空間的垂直關系結構化，然后組成一個模型，這樣具有代表性，并且減輕記憶負擔.

不難發(fā)現(xiàn)，教師引導學生借助已有的知識經(jīng)驗及數(shù)學思維構建一種模型記憶的圖式，能夠培育學生的“直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學建?！钡群诵乃仞B(yǎng)，還能夠加強學生的文字、符號、圖形等語言間的轉(zhuǎn)換能力，從而培養(yǎng)學生的高階思維.

4 強干弱枝，實現(xiàn)遷移學習

圖式以一般期待的形式存在，并通過個體的知覺、記憶和推理過程來預測和控制個人的外部世界[4].在圖式的指導下，個體可以利用已有的知識經(jīng)驗處理新的信息，進行由此及彼、舉一反三、靈活運用的訓練，在已知和未知之間形成遷移，激活個體的創(chuàng)造能力.數(shù)學圖式中的知識類型包括陳述性知識和程序性知識.數(shù)學圖式所具備的功能把個體存儲的零散知識點貫串起來，使學生能夠理清思維，靈活化記憶，對培育學生的創(chuàng)造思維起到啟迪作用.

如何讓學生進行遷移學習，對所學內(nèi)容能夠觸類旁通、學以致用，達到靈活多變的程度？圖式能夠梳理知識點，建立記憶鏈條，搭建遷移學習的橋梁和紐帶.因此，教師把適宜的圖式應用到數(shù)學教學中，表達數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系，使隱性知識顯化，引導學生遷移學習.

例如，可設計圖3的圖式讓學生思考，如果圖3表示的是“原命題、否命題、逆命題、逆否命題”四種命題之間的關系，字母A，B，C，D分別代表哪種命題？括號中應填什么內(nèi)容？這四種命題的真假性之間有什么關系？同時，若用小寫字母p，q表示命題的條件與結論，則四種命題如何表示？

教師可以依照圖3設計圖式，重組知識結構或留下空白，檢查學生的學習效果，幫助學生記憶.數(shù)學圖式中的“留白”是一種藝術表達方法，讓學生有豐富的想象空間，故而可將其作為一種教與學的策略，教師以此法激發(fā)學生獨立思考問題的欲望，培養(yǎng)學生學習的能動性、協(xié)作性和創(chuàng)造性，激勵學生學會學習，這樣將會提高學生的自學能力和反思性思維，還能發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

綜上，數(shù)學知識圖式的表達方式不是一成不變、封閉的，而是不斷演化、開放的，它能使學生鞏固知識，靈活記憶，加深理解，激發(fā)創(chuàng)造性.在圖式系統(tǒng)中，圖式因知識的延伸學習而深化思維，遷移受圖式驅(qū)動，智慧隨遷移閃爍，創(chuàng)新被智慧點亮，從而改變著學生的認知方式，豐富著學生的認知結構，使得問題顯化而更易于處理.

在數(shù)學教學中，嘗試從知識的脈絡、性質(zhì)、概念、遷移等方面去探索圖式理論的應用，在一定程度上擴展知識的廣度，追求技能的深度，加強知識的同化.因此，數(shù)學圖式教學并非“填鴨式”教學，而是抓住知識的內(nèi)涵與外延，進行有的放矢的數(shù)學教學，讓學生逐漸認識到數(shù)學的核心知識，內(nèi)化知識結構體系，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

【參考文獻】

[1]吳健.學生對周期函數(shù)概念的理解[D].上海：華東師范大學，2007：4-5[2007-10-01].

[2]陳素瓊.圖式理論在高中化學教學中的應用研究[D].福州：福建師范大學，2016.

[3]張文婷.概念圖在高中生物教學中的應用[D].揚州：揚州大學，2015.

[4]王星星.高中生化學圖形認知能力的探查[D].揚州：揚州大學，2012.