核心素養(yǎng)視角下一道橢圓試題的探究

摘 要：在核心素養(yǎng)視角下，對(duì)一道關(guān)于橢圓三角形面積和定值問題進(jìn)行多解探究和拓展探究，立足提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：參數(shù);伸縮變換;多解;拓展;核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0017-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：羅文軍（1986.1-），男，甘肅省秦安人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：天水市“十三五”規(guī)劃2020年度教育科研課題“在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線習(xí)題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的研究——以秦安縣第二中學(xué)為例”（項(xiàng)目編號(hào)：TS（2020）GH126）.[FQ）]

以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景考查三角形面積問題和定值問題是近幾年高考和各類?？荚囶}中的熱點(diǎn)題型，這類試題可以很好地考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和函數(shù)與方程思想，可以很好地考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力等關(guān)鍵能力，可以很好地考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).下面選取了一道關(guān)于橢圓內(nèi)接三角形面積和定值問題的?？荚囶}進(jìn)行解法探究和拓展探究.

一、題目呈現(xiàn)

題目 （2021年甘肅省蘭州市高三聯(lián)考題）已知橢圓x2a2+y2b2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率e=12.

（1）求橢圓方程;

（2）若點(diǎn)A，B，C都在橢圓上，D為AB中點(diǎn)，且CO=2OD，求△ABC的面積.

這道試題第（1）問考查了橢圓的幾何性質(zhì)，第（2）問考查了橢圓的內(nèi)接三角形面積和向量的綜合應(yīng)用.

二、題目解析

1.第（1）問解析

解析 由題設(shè)可得2a=4，所以a=2，e=ca=12.所以c=1.所以b2=a2-c2=3.

所以橢圓的方程為x24+y23=1.

評(píng)注 根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率的定義，將已知條件代入解出長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和半焦距的值，再根據(jù)b2=a2-c2解出b2值，從而得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.第（2）問解析

解法1 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得D（x1+x22，y1+y22）.

因?yàn)镃O=2OD，所以（-x3，-y3）=2（x1+x22，y1+y22）.

所以x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2）.

①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則x1=x2，y1=-y2.所以C（-2x1，0）.代入橢圓方程可得x21=1.則直線方程可設(shè)為x=x1.將x=x1代入x24+y23=1，解得y=

±3（1-x214）.

所以|AB|=23（1-x214），S△ABC=12|3x1|·23（1-x214）=33（x21-x414）=92.

②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+m，x24+y23=1，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由根與系數(shù)關(guān)系，得x1+x2=-8km4k2+3，x1x2=4m2-124k2+3，y1+y2=k（x1+x2）+2m=6m4k2+3.

由弦長(zhǎng)公式，得|AB|=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）[64k2m2（4k2+3）2-4·4m2-124k2+3]=43（1+k2）（4k2-m2+3）4k2+3.所以x3=8km4k2+3，y3=-6m4k2+3.將點(diǎn)C坐標(biāo)代入橢圓方程x24+y23=1，整理，得4m2=4k2+3.坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為d=mk2+1，SAOB=12|AB|d=12·43（1+k2）·3m24k2+3mk2+1=12·12m24m2=32.

因?yàn)镃D=3OD，所以S△ABC=3S△AOB=92.

評(píng)注 根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把AB看成△ABC的底邊，再分直線AB斜率不存在和存在兩種情況計(jì)算△ABC的面積，特別地，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線AB和橢圓方程，表示出兩根之和與兩根之積，表示出弦長(zhǎng)|AB|和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再運(yùn)用整體代換的思想可求出△ABC的面積.

解法2設(shè)A（2cosθ，3sinθ），B（2cosφ，3sinφ），因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以D（cosθ+cosφ，32sinθ+32sinφ）.因?yàn)镃O=2OD，所以C（-2cosθ-2cosφ，-3sinθ-3sinφ）.

因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓x24+y23=1上，所以3（-2cosα-2cosβ）2+4（-3sinα-3sinβ）2=12.

整理，得cos（α-β）=-12.所以sin2（α-β）=1-cos2（α-β）=34.

所以|sin（α-β）|=32，SAOB=12|23sinβcosα-23cosβsinα|=3|sin（α-β）|=32.

因?yàn)镃D=3OD，所以S△ABC=3S△AOB=92.

評(píng)注 根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，再表示出點(diǎn)C坐標(biāo)，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入橢圓方程后根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，由同角三角函數(shù)平方關(guān)系式得出|sin（α-β）|的值，再根據(jù)三角形面積公式的有關(guān)結(jié)論：△ABC中，已知AB=（m，n），AC=（p，q），則△ABC的面積S=12|mq-np|，表示出△AOB的面積，從而得出△ABC的面積.

解法3在變換φ：x′=x2y′=y3下，橢圓x24+y23=1變?yōu)閳AO：x2+y2=1，橢圓上的點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)圓O上的點(diǎn)A′，B′，C′，對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′的為A′B′的中點(diǎn)，即C′O=

2OD′，所以坐標(biāo)原點(diǎn)O既是△A′B′C′的重心又是內(nèi)心，所以△A′B′C′為等邊三角形.

所以SA′OB′=

12|OA′||OB′|sin∠A′OB′=12×1×1×sin120°=34.

所以S△A′B′C′=3S△A′OB′=334.

由伸縮變換的性質(zhì)，得S△ABC=abS△A′B′C′=23×334=92.

評(píng)注 運(yùn)用坐標(biāo)伸縮變換后，將橢圓的內(nèi)接三角形面積問題化歸為單位圓的內(nèi)接三角形面積問題，本題運(yùn)用到的伸縮變換的性質(zhì)有：兩平行線段或共線線段的比不變（三點(diǎn)共線的比不變）;橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）經(jīng)變換x′=xay′=yb后，對(duì)應(yīng)圖形的面積變?yōu)樵瓉淼?ab.

三、題目拓展

通過類比和聯(lián)想，對(duì)上述試題進(jìn)行拓展探究，運(yùn)用伸縮變換法容易得到結(jié)論：

已知橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點(diǎn)A，B，C都在橢圓M上，D為AB中點(diǎn)，且CO=2OD，則△ABC的面積為334ab.

本文從多視角對(duì)例題進(jìn)行多解探究，在習(xí)題教學(xué)實(shí)踐中這樣做有利于啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用發(fā)散思維思考問題，為學(xué)生學(xué)會(huì)解題方法提供多樣化選擇，也有利于培育學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)探索精神，有利于促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，有利于發(fā)揮模考題的最大功效，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，打破題海戰(zhàn)術(shù)形成的思維定勢(shì).通過對(duì)這道圓錐曲線的多解探究，也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]羅文軍.一道2020年新高考Ⅱ卷圓錐曲線解答題的探究及探源[J].廣東教育（高中版），2020（12）：32-35.

[責(zé)任編輯：李 璟]