對稱性在二重積分計算中的應用

陳楚申 廖小蓮

【摘要】《數學分析》是所有高校數學與應用數學專業的一門重要的基礎課，二重積分是《數學分析》的內容之一，解二重積分的常見方法是在直角坐標系或極坐標系下根據積分區域的類型將其轉化為定積分后進行計算，但遇到比較復雜的積分計算或證明時，常規方法解題有局限性.我們如果能靈活運用積分區域和被積函數的對稱性，那么許多積分的解題過程可以得到簡化.本文著重討論了對稱性在二重積分計算中的應用，并借助實例分五種情況進行了討論，指出了對稱性解題的優點及應該注意的條件.

【關鍵詞】二重積分;對稱性;應用

【基金項目】湖南省普通高校教學改革研究項目（編號：湘教通〔2019〕291號No920）

1 引 言

二重積分是二元函數在平面區域上的積分，在《數學分析》中占據著重要的地位，對我們學習諸如《概率論與數理統計》等后續課程至關重要，其在幾何、力學等多方面都有著廣泛的應用.因此，靈活掌握二重積分的計算是十分必要的.我們知道，二重積分的計算是通過將該二重積分轉化為定積分而實現的，但這個轉化過程既要受積分區域的類型又要受被積函數的特點的約束.在直角坐標系下，我們將積分區域分為X-型區域和Y-型區域，或者將區域的劃分轉化為X-型區域與Y-型區域的和，然后再將二重積分化為先對y后對x和先對x后對y的累次積分.有時我們利用二重積分的變量變換公式，可使得被積函數簡單化或積分區域簡單化.除此之外，用極坐標來計算二重積分也是常見的辦法.但是，有些二重積分，單純用這些方法來計算，計算量會很大且容易出錯.我們如果能夠充分利用積分區域的對稱性和被積函數的奇偶性，有時就可達到事半功倍的效果.因此，本文對對稱性在二重積分計算中的應用進行較詳細的探討，并輔以實例來分析二重積分的具體計算過程.

2 文獻綜述

積分學是《數學分析》課程中的重要內容，而二重積分是積分學的重要組成部分，是學習曲線積分、三重積分問題的基礎.許多學者對二重積分的計算的問題進行了研究，并給出了一些好的計算方法和計算技巧.張云艷在文獻[1]中舉例說明了積分區城的輪換對稱性在積分計算中的應用，指出我們在某些復雜的積分計算過程中，若能注意并充分利用積分區域輪換對稱性或被積函數的奇偶對稱性，往往可以簡化計算過程，提高解題的效率.馬志輝在文獻[2]中對對稱性在積分中的應用進行了研究，文章首先闡述了對稱性在多元函數積分下的性質，并借助實例對對稱性在積分中的應用進行了研究，主要考慮了兩種情況：一是當且僅當積分區域和被積函數都具有對稱性時，我們可以利用對稱性簡化積分的計算，二是當積分區域和被積函數具有輪換對稱性時，我們也可以利用對稱性簡化二重積分的計算.葛淑梅在文獻[3]中通過由類比一元連續函數在對稱區間上定積分的計算方法，導出二元連續函數在對稱區域上二重積分的計算方法，使得對稱區域上難于計算的二重積分得以簡化.在原被積函數不具備奇偶性計算困難的情況下，利用積分對積分區域的可加性，將其轉換為幾個容易計算的二重積分來計算.景慧麗、屈娜在文獻[4]中介紹了二重積分的計算具有較大的開放性，針對一道二重積分的題目存在許多計算方法，并且對每種方法的使用技巧及使用范圍進行了說明，這可以培養學生的思維發散性.劉紅梅在文獻[5]中對二重積分的求解進行了研究，通過證明和推導指出二重積分在區域對稱以及函數奇偶下有簡便算法，并通過具體的實例進行求解進一步證明，巧妙利用二重積分的對稱性質能極大地簡化二重積分問題，提高求解的效率.

3 對稱性在二重積分計算中的應用

利用對稱性計算二重積分Df（x，y）dσ，既要考慮積分區域的對稱性，又要考慮被積函數f（x，y）關于某一自變量x或y的奇偶性，而且還要將被積函數的奇偶性與積分區域的對稱性相結合進行考慮.我們如果能充分利用對稱性來考慮二重積分問題，那么很多時候可以簡化計算.

3.1 平面區域D是關于y軸對稱的情形

引理1 若二元函數f（x，y）在平面區域D上連續，且平面區域D關于y軸對稱，則有如下結論：

（1）當被積函數f（x，y）關于自變量x為奇函數時，即f（-x，y）=-f（x，y），則二重積分

Df（x，y）dσ=0;

（2）當被積函數f（x，y）關于自變量x為偶函數時，即f（-x，y）=f（x，y），

則二重積分Df（x，y）dσ=2D1f（x，y）dσ，

其中D1是平面區域D的右半部分，即D1=（x，y）∈D|x≥0.

例1 計算二重積分Dxsin（x2+y2）dxdy，其中D=（x，y）x2+y2≤2y.

解 因為積分域D關于y軸對稱，被積函數f（x，y）=xsin（x2+y2）是關于x的奇函數，所以由對稱性得Dxsin（x2+y2）dxdy=0.

3.2 平面區域D是關于x軸對稱的情形

引理2 若二元函數f（x，y）在平面區域D上連續，且平面區域D關于x軸對稱，則有如下結論：

（1）當被積函數f（x，y）關于自變量y為奇函數時，即f（x，-y）=-f（x，y），則

二重積分Df（x，y）dσ=0;

（2）當被積函數f（x，y）關于自變量y為偶函數時，即f（x，-y）=f（x，y），

則二重積分

Df（x，y）dσ=2D2f（x，y）dσ，

其中D2是平面區域D的上半部分，即D2={（x，y）∈D|y≥0}.

例2 計算二重積分Dxy2+xyex2+y22dxdy，其中D是由直線x=1，y=x與y=-x所圍區域.

解 由積分對區域的可加性，有

Dxy2+xyex2+y22dxdy=Dxy2dxdy+Dxyex2+y22dxdy.

設區域D：0≤x≤1，-x≤y≤x，區域D1：0≤x≤1，0≤y≤x，

則區域D是關于x軸對稱的區域，且函數f（x，y）=xy2是關于y的偶函數，

函數g（x，y）=xyex2+y22是關于y的奇函數，因此，由上面的引理知，Dxy2dxdy=2D1xy2dxdy，Dxyex2+y22dxdy=0，

所以原二重積分Dxy2+xyex2+y22dxdy=D12xy2dxdy=∫10dx∫x02xy2dy=215.

3.3 平面區域D是關于y軸以及x軸均對稱的情形

引理3 若二元函數f（x，y）在平面區域D上連續，且平面區域D關于y軸以及x軸均對稱，則如果f（x，y）關于變量x，y都是偶函數，即f（-x，y）=f（x，y），且f（x，-y）=f（x，y），則Df（x，y）dσ=4D3f（x，y）dσ，

其中D3是平面區域D在第一象限的部分，即D3=（x，y）∈D|x≥0，y≥0.

例3 計算二重積分：D（x+y）dxdy，其中區域D的范圍是x+y≤1.

解 區域D是關于兩坐標軸都對稱的區域，同時被積函數f（x，y）=x+y關于變量x，y都是偶函數，由引理3知

D（x+y）dxdy=4D1（x+y）dxdy，

其中D1為區域D中的第一象限所在的部分且D1是關于直線y=x對稱的，所以

D（x+y）dxdy[ZK（]=4D1（x+y）dxdy=4D1（x+y）dxdy=4∫10dx∫1-x0（x+y）dy=43.[ZK）]

其中D1是平面區域D在第一象限的部分，即D1={（x，y）∈D|x≥0，y≥0}.

3.4 平面區域D是關于原點對稱的情形

引理4 若二元函數f（x，y）在平面區域D上連續，且平面區域D關于原點對稱，則：

（1）如果f（x，y）關于變量x為奇函數而關于y是偶函數（或者f（x，y）關于變量x為偶函數而關于y是奇函數），則

Df（x，y）dσ=D1f（x，y）dσ+D1f（-x，-y）dσ=0;

（2）如果f（x，y）關于變量x，y都是偶函數（或者f（x，y）關于變量x，y都是奇函數），則

Df（x，y）dσ=2D1f（x，y）dσ，

其中D1為原點一側的部分.

例4 計算二重積分：I=Dxydσ，其中平面區域D是由方程（x2+y2）2=2xy所確定的區域.

解 因為區域D是關于原點對稱的，且被積函數f（x，y）=xy關于變量x為奇函數，關于變量y也為奇函數，所以由引理4，有：

I=2D1xydσ，其中D1為平面區域D的第一象限部分.

下面利用極坐標計算此二重積分，得

I=2D1xydσ=2∫π20cos θsin θdθ∫sin 2θ0γ2dγ.（計算略）

3.5 平面區域D具有輪換對稱性的情形

引理5 若二元函數f（x，y）在平面區域D上連續，則：

（1）如果積分區域D關于x，y具有輪換對稱性，則

Df（x，y）dxdy=Df（y，x）dxdy=12D（f（x，y）+f（y，x））dxdy.

（2）如果區域D關于直線y=x對稱，則：

①如果被積函數滿足f（x，y）=f（y，x），則

Df（x，y）dxdy=2D1f（x，y）dxdy.

②如果被積函數滿足f（x，y）=-f（y，x），則

Df（x，y）dxdy=0.

其中D1為D位于直線y=x上半部分的區域.

例5 計算二重積分I=Dx2-y2x+y+3dxdy，其中區域D=（x，y）丨x+y≤1.

解 因為在積分區域中x與y互換不影響積分結果，所以該積分

具有輪換對稱性，由引理5，我們可得：

Dx2x+y+3dxdy=Dy2x+y+3dxdy

所以

I[ZK（]=Dx2x+y+3dxdy-Dy2x+y+3dxdy=Dx2x+y+3dxdy-Dx2x+y+3dxdy=0.[ZK）]

小結：該題巧用了積分區域的輪換性簡化了計算，解題十分容易，但如果用常規方法求解，計算量很大.

二重積分是《數學分析》中積分學的重要內容之一，是學習后續課程的基礎.二重積分計算的方法靈活，常常是借助直角坐標系或極坐標系，將二重積分化為定積分進行計算，但遇到比較復雜的積分計算或證明時，常規方法解題有局限性.對于被積函數或者積分區域具有某種對稱性的積分計算問題，我們如果能靈活運用對稱性，那么許多積分的解題過程可以化繁為簡、化難為易，提高解題效率.

【參考文獻】

[1]張云艷.輪換對稱性在積分計算中的應用[J].畢節師范高等專科學校學報，2002（03）：90-92.

[2]馬志輝.對稱性在積分計算中的應用[J].高等數學研究，2017（01）：102-105.

[3]葛淑梅.對稱區域上二重積分的簡化計算方法[J].焦作大學學報，2018（01）：101-103.

[4]景慧麗，屈娜.一個二重積分的計算方法探討[J].商丘職業技術學院學報，2018（01）：74-76.

[5]劉紅梅.二重積分計算巧用對稱性簡化求解[J].普洱學院學報，2018（06）：45-47.