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——記疫情背景下一道高三在線調考試題的網絡教學

湖北省武漢市第二十六中學(430030) 程 軻

2020年初,一場疫情從武漢開始席卷中華大地,身在武漢的筆者目睹了一幕幕或難忘或感人的畫面,感受到了英雄的武漢人民強大的戰斗力,以及全國各地同胞對武漢馳援的真情.筆者主動請纓,下沉社區,為武漢這座英雄城市的復蘇,貢獻一份力量.

經歷疫情后,社會在經濟、文化、教育等方面都發生了很大變化.其中,教育行業的變化尤為劇烈,線上與線下相結合的教育教學方式將會是未來教育發展的新方向.借助信息化手段,利用優秀的軟件,增強線上和線下的教學效果,是擺在每個教育人面前的新思路.

疫情期間, 2020年3月7日, 在武漢市教育科學研究院統一組織下, 武漢市全體高三學生參加了一次特殊的考試——武漢市2020 屆高中畢業生學習質量檢測.這應該是人類歷史上首次因為疫情的原因,將原本應該在教室進行的全市范圍的調研考試放在線上進行.得益于武漢市教育科學研究院、市區教育局及各個學校精心的安排組織,本次考試圓滿完成.

筆者目前執教高二,將試卷第一時間分享給學生.這套試卷難度適中,知識點分布全面,不少試題推陳出新,可見命題團隊付出很多心血.在學生在線提交的解答中,筆者發現,理科數學第16 題,學生錯誤率頗高.

原題如下:

16.在三棱錐S -ABC中, 底面是邊長為3 的等邊三角形,若此三棱錐外接球的表面積為21π,則二面角S-AB-C的余弦值為____.

本題條件敘述言簡意賅,但題目中涉及的空間位置關系不好想象,如果是平時課堂教學,筆者肯定會和同學們在教室面對面充分討論, 一起來一點點構筑出題目敘述的空間位置關系;而在線教學只能通過電腦屏幕和話筒,這就為我們暢談此題制造了屏障.筆者深入思考,決定借助GeoGebra軟件來進行一場數學可視化教學, 將同學們的思考, 利用GeoGebra 軟件可視化呈現出來.經過與同學們的交流,取得了較好效果,現摘錄如下:

生1: 根據題目條件,我們可以先畫出一個底面邊長為3的等邊三角形的三棱錐S-ABC;

師: 如何保證底面三角形的邊長是3 呢?

生2: 我們可以考慮建立一個空間直角坐標系, 在xOy平面中, 定義再在xOy平面外任意選取一點作為S點,這樣就可以得到一個底面是邊長為3 的等邊三角形的三棱錐S-ABC;

師: 好的,你說得很具體,這樣我們就可以交給計算機幫助我們繪制這個圖形了,這里我使用的是GeoGebra 軟件來幫助我們畫出這個圖形,如圖1:

圖1

圖2

生3: 生2 不完全對, 這里的S點不能隨便選取,要滿足后面的條件“SA=考慮到SA2+AB2=SB2,S點應該在過A點與xOz平面平行的平面內,以A為圓心,為半徑的一個圓上運動.

師: 先做出圓柱x2+z2= 3 和平面y=它們的交線即為過A點與xOz平面平行的平面內, 以A為圓心,為半徑的一個圓,如圖2.并全程屏幕共享讓同學們看到作圖的過程,并引導學生多角度觀察,如圖3、圖4.

圖3

圖4

師: 如何作出三棱錐S-ABC的外接球呢?

生4: 只要找到三棱錐的外接球的球心就好辦了,可以利用三棱錐的外接球的球心到三棱錐的各個頂點的距離相等,而在空間,到兩個點距離相等的點的集合是這兩點連線段的中垂面.這樣,我們只需做出線段AB、BC、CA的中垂面,找到它們的交點即可.

生5: 我同意生4 的想法,但不認同他的做法,因為線段AB、BC、CA的中垂面的交點的軌跡是過ΔABC的外心與ΔABC所在平面垂直的一條直線,三棱錐S-ABC的外心在這條直線上,但是無法確定外心的具體位置.我們應當選擇不共面的三條線段, 例如做出線段AB、BC、SB的中垂面,找到它們的交點即可.

師: 做出線段AB、BC、SB的中垂面,找到它們的交點G,如圖5.利用屏幕共享讓同學們看到作圖的過程,并引導學生多角度觀察,如圖6.

圖5

圖6

師: 以G為球心,GA為半徑做出球G,如圖7,并引導學生多角度觀察,如圖8.

圖7

圖8

師: 現在這個題的空間位置關系我們已經搞清楚了,接下來如何求二面角S-AB-C的余弦值呢?

生6: 取SB的中點F,OC上靠近O的三等分點E,則E、F分別為ΔABC、ΔSAB的外心,∠EOF即為所求二面角S -AB -C的平面角,且GE⊥平面ABC,GE⊥平面ABC;

由4πR2= 21π, 得R2=OG2=GB2- OB2=R2-= 3,GF2=GB2-BF2=R2-BF2=GE2=GB2-BE2=R2-BE2=則ΔGEO∽= ΔGFO,根據以上數據關系,可得∠GOF=二面角S-AB-C的余弦值為

師: 按照生6 的描述,利用GeoGebra 做出如下圖9,并引導同學多角度觀察,如圖10,通過計算,每位同學都得到了正確答案.

圖9

圖10

至此,同學們在贊嘆數學的美妙的同時,也感嘆GeoGebra 的強大.

在當前信息化教育背景下,GeoGebra 作為一款優秀的動態數學教學軟件,理應被引進中學數學課堂.數學教師可以隨時隨地用口袋里的手機,為明天的課程所需要解決的幾何問題畫出準確的圖形,為代數問題寫出嚴謹規范的步驟;還可以和學生共同合作來完成.這無疑會大大提高數學教學的效率,并極大的激發學生學習數學、研究數學的積極性.