探其成因,究其本質
——妙尋外接球專題研究*

四川省內江師范學院數(shù)學與信息科學學院(641100) 田 甜 徐小琴

關于空間幾何體外接球問題僅在人教A 版必修二“空間幾何體的結構特征”中有所體現(xiàn),其中包括特殊空間幾何體的結構認識及其結構基本量計算.因此,學生在面對此類題目時易產生對問題本質理解不清晰、直觀想象能力差等問題,進而產生的心理方面畏難情緒.依據(jù)波利亞四個解題步驟,引發(fā)問題思考,其中基于問題的學習可讓學生逐步確定他們?yōu)榻鉀Q問題需要學習什么知識以及怎樣提出解決策略[1].針對此類問題,可先引導學生從以下幾個方面思考: 空間幾何體的外接球的定義是什么? 球面是由什么特殊結構組成的?該組成成分與空間幾何體外接球心之間存在不變的關系嗎?通過一系列問題推進思考,引導學生利用特殊化思想思考問題成因,感知不同空間幾何體結構形成外接球體過程中的特殊因素,進而具有方向性的將此類問題進行轉化.

1 特殊化——降維法

圖1

平面圖形是空間圖形的簡單形式,球體是由無限個圓面組成的,充分利用球體中截面圓的特殊要素作用.抽象出截面圓圓心與空間幾何體外接球球心連線垂直于截面圓以及截面圓心向球心移動過程中該點到截面圓圓弧上各點的距離保持不變的性質(圖1),想象以截面圓為橋梁,搭建空間幾何體與截面圓之間的聯(lián)系,直觀出空間幾何體中特殊平面圖形外接圓心可生成外接球球心的現(xiàn)象.

1.1 感知思想

從結構良好的例題出發(fā),在對題目的理解中發(fā)掘已知數(shù)據(jù)條件, 嘗試借助空間幾何體與外接球體中的共同特殊因素——截面圓,演繹推理出空間幾何體中特殊平面圖形的外接圓圓心可沿垂直于外接圓圓面方向生成外接球心;再建立體現(xiàn)關鍵要素的空間截面直觀圖形去簡化空間幾何運算維度、空間復雜度進而量化球半徑,從中感知利用降維法思想構造空間幾何體外接球的充足理由性以及適用性,在此階段完成低級學習目標.

例1如圖2 所示,在邊長為4 的正方形紙片ABCD中,AC與BD相交于O, 剪去ΔAOB, 將剩余的部分沿OC,OD折疊,使OA,OB重合,則以A(B),C,D,O為頂點的四面體的外接球表面積為____.

圖2

圖3

圖4

思路分析此平面圖經翻折后形成的三棱錐A -OCD(圖3) , 借助三棱錐A - OCD中特殊平面ΔOCD的外心O1,將其沿垂直于面ΔOCD方向移動(圖4),使其能滿足到三棱錐A-OCD中所有頂點距離相等的一般性來生成球心O2,抓住外接球球心O2到其中任意一個特殊點(C、O、D)的距離與到一般點(A)的距離相同來進一步量化,建立關于球半徑的關系等式.

解析因為ΔOCD為等腰直角三角形,其斜邊上的中點O1為外心, 外接圓半徑r=O1O=利用平面ΔAO2O量化O2O=O2A,構造外接球球心O2,建立關于球半徑的關系等式解出則S=4πR2=24π.

變式如圖5,ABCD-A1B1C1D1是棱長為1 的正方體,S-ABCD是高為1 的正四棱錐,若點S,A1,B1,C1,D1在同一個球面上,則該球體的表面積為____.

思路分析該空間幾何體為正方體與正四棱錐的組合,但幾何體的外接球可看作S-A1B1C1D1的外接球,借助特殊元素正方形A1B1C1D1的外接圓圓心,使用相同策略來移動截面圓圓心生成S -A1B1C1D1外接球球心并建立球半徑等量關系.

圖5

圖6

解析__如圖6,四邊形A1B1C1D1的外接圓半徑為r=將截面圓圓心進行移動,使其滿足到特殊點C1和一般點S距離相同,即O1S=O1C1.在面SAA1C1C中R=解出所以球表面積為S=4πR2=

1.2 回顧策略

要及時思考題目中的困難之處及輔助轉化的特殊元素起的作用,嘗試去了解題目中怎樣的敘述條件產生了怎樣的阻礙,最后又是借助什么來化解阻礙,為什么它能起作用? 能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎[2]? 教學中及時針對不同階段、類型的題目特征、解題思路、解題步驟進行回顧,辨認出題中信息的特征,發(fā)現(xiàn)題目本身的相關現(xiàn)象,讓學生有機會、有意識去反思解題過程中的解題關鍵、注意事項、數(shù)學方法、數(shù)學思想、數(shù)學結果等,直觀呈現(xiàn)問題本質[3].針對降維思想方法,投射到以上題目類型特征上可引導學生進行如下回顧思考:

(1)你能歸納出例1、變式中利用降維法來構造外接球球心并求解出外接球半徑的解題步驟嗎? (2)空間幾何體具有怎樣的“關鍵特征”能利用降維法策略來構造外接球球心?(3)你是如何簡化畫出該空間幾何體的圖形? 其中哪些是畫圖中的關鍵要素? 畫出簡化后的圖形對你的解題提供了怎樣的幫助作用? (4)你是選取空間幾何體中怎樣的圖形來構造截面圓的? 它們?yōu)榻忸}中哪些方面提供了怎樣的幫助作用?

1.3 巧用思想

將結構簡單向結構復雜的空間幾何體外接球例題過渡,觀察空間幾何體的顯性特征, 調用解題策略與聯(lián)系舊認知,識別新特征,發(fā)掘新題目中隱性特征的條件轉化,發(fā)現(xiàn)并提出新問題,反思轉化過程,創(chuàng)造更具有層次性的想象與解題策略,經歷一個由低級學習到高級學習的過程[3].

例2在三棱錐A-BCD中,ΔBCD是邊長為3 的等邊三角形,AB=二面角A-BC-D的大小為120°,則此三棱錐外接球表面積為_____.

圖7

圖8

思路分析法1: 如圖7,在三棱錐A-BCD中構建外接球,調用原策略以等邊三角形ΔBCD來構造球體中的截面圓,再利用已知信息點二面角A-BC -D為120°以及棱長長度,提取平面AFO1O與平面OO1D來建立并量化三維球心Q與二維圓心O1之間的位置關系等式.

法2: 如圖8,ΔABC也同時為特殊的直角三角形, 其截面圓圓心為AC中點O2, 使用兩次原解題策略, 所以過球心O的線段OO1、OO2垂直于平面BCD、平面ABC, 取BC中點E, 連接EO2,由中位線定理得EO2⊥AB,且ED⊥BC,則與信息點二面角A-BC -D為120°接洽,提取平面DO2E建立并量化球心O與圓心O1、O2之間的位置關系等式(圖9).

圖9

具體解法略.

例3已知三棱錐S-ABC中ΔABC是邊長為1 的正三角形,SC為球的直徑,且三棱錐S-ABC的體積為則三棱錐S-ABC外接球的體積為____.

思路分析如圖10,法1: 與上述題型不同點為提供三棱錐S -ABC體積量, 外接球球心O已被定位在SC中點, 但仍然需要求解的是球半徑, 調用原有解題策略, 思考S -ABC體積量與球心O的結合形式,特殊圖形正三角形ΔABC的截面圓圓心O1與球心O的連線垂直于ΔABC,再結合SC為OC的2 倍來量化三棱錐S -ABC體積,進而求解球半徑以及外接球體積.

圖10

圖11

法2: 以量化S -ABC體積為首要思考, 如以常規(guī)以ΔABC為底,對應的高無法量化,想象以S -ABC的某棱長為高,尋求中間所垂直截面為底;由直徑所對應的圓周角為直角得: ∠SBC= ∠SAC= 90°, 則ΔSBC∽= ΔSAC,嘗試以SC為高構造底面ΔAEB,則SC⊥ΔAEB,同時在ΔSAC、ΔAEB中利用面積一步量化AE、DE、SΔAEB,最終將其代入三棱錐體積公式可得球半徑.

解析如圖10, 法1: ΔABC外接圓半徑r: 2r=因為OO1⊥ΔABC,勾股定理得:OO1=又因為O為SC中點, 則S-ABC中面ΔABC的高為2 倍OO1,因此:VS-ABC=· BCsin 60° ·2OO1=解得R= 1,VO=

法2: 因為SC為球的直徑,AC=CB, 則ΔSBC∽= ΔSAC; 在SC上作過點A的垂線交點E, 則BE⊥SC,即SC⊥ΔAEB;在ΔSAC中SΔSAC=AC=· AE, 得AE=在ΔAEB中:DE=因此:VS-ABC=解得:R=1,

例4四面體ABCD滿足AB=CD=AD=BC=BD=2,則四面體ABCD的外接球的表面積為____.

思路分析四面體ABCD中已知信息點均為棱長; 若采用原策略以外表面的等腰三角形來構造截面圓,因無法定位該平面相對的頂點在該等腰三角形上的投影點以及利用其他輔助因素,則無法建立球心與圓心之間的等式關系;聯(lián)系到等腰三角形性質,連接AE、BE,利用CD、AB的中點E、F沿著垂直于其線段的直線運動,建立關于球心O的定位關系等式:OB=OD,進而解出外接球半徑.其實質是球體中球弦線的中點與球心連線垂直于該球弦線.

解析如圖11, 取CD的中點E, 取AB的中點F, 連接BE、AE, 因為四面體ABCD每個面都是等腰三角形, 所以AE⊥CD、BE⊥CD、AE=BE=則CD⊥ΔABE, 即CD⊥EF,EF=因為OB=OD: 則則SO=4πR2=7π.

1.4 更新策略

回顧空間幾何體復雜結構加深的例題破解過程,讓學生去發(fā)現(xiàn)、思考、創(chuàng)造與改進簡單結構例題的解題策略、收獲深層次的經驗策略;通過對比不同題目之間的信息點特征,明晰解題過程中針對題目中不同現(xiàn)象是運用如何的性質、如何連接構造策略、如何簡化問題背景等方法,其達到的目的又是什么,其中的什么方法或性質是問題考查的本質以及輔助因素的作用,形成連接性更強的網狀認知結構.在逐步更新外接球解題策略中需思考: (1)利用構造截面圓解決外接球問題時,構造多個截面圓與構造一個截面圓在解題方法上有區(qū)別嗎? 當構造多個截面圓時,問題解決的步驟會發(fā)生怎樣更新? (2)回顧例4,無法構造截面圓,是通過空間中怎樣的輔助因素推進問題解決的呢? (3)圓作為球體的特殊結構,當圓中的性質類比到球體中,呈現(xiàn)出怎樣的表現(xiàn)形式? (4)利用降維法來解決不同特征空間幾何體外接球問題的基本思想與一般方法是什么?

2 填補模型法

數(shù)學模型的應用是對高中數(shù)學知識實現(xiàn)深層次、特征板塊理解的一個重要方式,可促進構造模型的數(shù)學核心素養(yǎng)能力提升.投射到具有特殊線面結構的空間幾何體,它們可由簡單的空間幾何體構造出來,以它的特殊成因為輔助因素可將具有一定性質特征的空間幾何體填補成新空間幾何體,利用新舊空間幾何體的球心位置、球半徑不變的性質將問題化歸求解.

例5正三棱錐S - ABC中,M、N分別是棱SC、BC的中點,且AM⊥MN,若側棱SA=求正三棱錐S-ABC外接球的表面積____.

思路分析利用題目中正三棱錐S -ABC中等腰三角形三線合一性質推理可得S - ABC中對棱是相互垂直;再由條件AM⊥MN,利用中位線定理轉化到SC⊥AM,即可由直線與面垂直的判定定理推理出SC⊥ΔSAB, 即SC⊥SA,SC⊥SB, 可聯(lián)想到空間直角坐標系, 將其轉化為其原體模型長方體.

圖12

圖13

解析如圖12, 取AB的中點為點D, 連接SD、CD, 因為S - ABC為正三棱錐, 則SA=SB=SC,AB=BC=CA=所以SD⊥AB,CD⊥AB, 因此AB⊥ΔSDC, 則AB⊥SC;M、N分別是棱SC、BC的中點, 且AM⊥MN, 由中位線定理得SC⊥AM, 所以SC⊥面SAB, 即SC⊥SA,SC⊥SB, 如圖13, 可將三棱錐S - ABC填補成以SB、SC、SA為長寬高的長方體, 則球半徑:R== 3, 則S=4πR2=36π.

例6三棱錐S - ABC中,SA=BC=SB=AC=則三棱錐的外接球的體積為____.

思路分析分析可得三棱錐S - ABC的結構特征為對棱相等,此特殊空間幾何體的產生是利用長方體中三個不同外表面的對角線連接來切割長方體形成的;因此求S-ABC的外接球就相當于該長方體的外接球.

圖14

解析如圖14, 將三棱錐S -ABC補成長方體, 設長方體的長為a, 寬為b, 高為c; 由幾何關系得:AB=則:a= 3,b= 1,c= 2;外接球半徑R=

回顧反思對部分特殊空間幾何體引入填補模型法構造外接球可彌補在降維法中難尋截面圓以及球弦線的局限,能拓寬處理特殊幾何體的認知范圍,討論空間幾何體外接球的不同解題方向,生成模型解題策略.培養(yǎng)主動去理解并整合特殊幾何體的形成、點線面之間的性質等,建立更強、更豐富的知識聯(lián)系,積累更深的知識經驗,在以后解題過程中起引導作用.針對以上外接球例題的回顧思考: (1)空間幾何體具有怎樣的“關鍵特征”能利用策略填補模型法來間接求解問題? (2)填補模型法相對于降維法解決空間幾何體的外接球問題的解題策略有怎樣不同,其中各自的優(yōu)勢與劣勢是什么? (3)利用填補模型法來構造具有相應特征的空間幾何體外接球,其中體現(xiàn)了怎樣的思路轉化、數(shù)學思想,它們?yōu)榻忸}中哪些方面提供了怎樣的幫助作用?

3 動態(tài)綜合應用

動態(tài)空間幾何體外接球是指空間幾何體在變化過程中形成大小不變的外接球問題.觀察幾何體在變化過程中變與不變的現(xiàn)象,探尋出不變量與所需對象蘊含的不變關系,變化量在變化過程中與題中關鍵要素之間的變化規(guī)律,再利用相應約束條件,推導出特值或區(qū)間條件下的目標值.

例7點A,B,C,D在同一個球的球面上,AB=BC=1, ∠ABC= 120°, 若四面體ABCD的體積最大值為則這個球的表面積為____.

圖15

圖16

思路分析如圖15, 四面體ABCD外接球心O與以ΔABC構造截面圓的圓心O1連線OO1垂直于ΔABC是不變的,點D是變化的,即四面體ABCD的高在變化,如圖16,利用球體中圓面的對稱、等效性,提取過特殊點B、O1、O的截面圓來追蹤點D的運動規(guī)律,則點D在圓(球)面的上頂點處可取最值,即四面體ABCD固定,再調用原策略,可求出外接球表面積.

解析ΔABC的外接圓半徑r== 1,點D在球面上頂點處可得到高的最大值, 又因為DO1⊥ABC, 所以其中O1D=R+得R=則外接球表面積SO=4πR2=

回顧反思回顧探究外接球與動態(tài)空間幾何體所隱含的不變性質關系的過程、探索變化過程中形成對應關系的過程、搭建不變量與變化量、未知量與已知量橋梁的過程等,針對動態(tài)問題的阻礙生成解題策略.針對以上例題思考: (1)動態(tài)空間幾何體求外接球的解題步驟與利用以上原策略求外接球的解題步驟之間有何異同? (2)你是如何發(fā)掘出例7 中不變量與變量呢? 它們在題目中起著怎樣輔助作用呢? (3)歸納出處理動態(tài)空間幾何體外接球問題可采用的思路,與前面靜態(tài)空間幾何體的解題中運用的數(shù)學方法、思想的相同與不同點是什么?

4 總結

利用帶“空間特征”的解題策略板塊,推進元認知教學的模式,在元認知提示語下逐步激活和提取不同空間幾何體外接球問題情境下對應的策略和對經驗的敏感性,同時整個學習過程是由自己建構形成的,其中生成的解題策略、經驗具有很強的遷移性, 能易遷移到具有公共特征的認知活動之中[4],最終能發(fā)展學生“一般地看”空間幾何體外接球這類問題,即形成球體與空間幾何體組合類問題的本質直觀,其中學生不但生成了針對不同特征空間幾何體外接球問題的解題方法、思想,更為重要的是還生成了處理空間幾何體相應“特征”的明晰性解題事實[3].