對一道平面幾何問題的推廣

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 王永輝

題目(2007年全國高考四川卷理科第11 題)如圖1,l1,l2,l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線,l1與l2間的距離是1,l2與l3間的距離是2,正三角形ABC的三個頂點分別在l1,l2,l3上,則ΔABC的邊長為( ).

圖1

圖2

1 問題的推廣

結(jié)論1如圖2,l1,l2,l3是同一平面內(nèi)的三條平行線, ΔABC的頂點A,B,C分別在l1,l2,l3上,l1與l2間的距離是m,l2與l3間的距離是n,B在l2上固定,∠ABC=α(0＜α ＜π) ,AB:BC=k(k ＞0) , 則這樣的三角形在全等的意義下是唯一的.

證明: ∠ABC=α, 0＜ α ＜ π,AB:BC=k,k ＞0, 設(shè)AC交l2于D, ∠ABD=θ, 0＜θ ＜α, 從而由AB:BC=k,得當

下證θ存在且唯一.

0＜ α ＜cosα≥ 0, 0＜ θ ＜ α.?k ＞0,=tanα,存在唯一的θ ∈(0,α),使得?k ＞0, 存在唯一的θ ∈(0,α), 使得tanθ=cosα ＜0,0＜θ ＜α,tanθ ＞0或tanθ ＜tanα.

特別地, 若k=存在唯一的使 得tanθ=若0＜k ＜-存在唯一的使得

結(jié)論2如圖2,l1,l2,l3是同一平面內(nèi)的三條平行線, ΔABC的頂點A,B,C分別在l1,l2,l3上,l1與l2間的距離是m,l2與l3間的距離是n,B在l2上固定,∠ABC=α(0＜α ＜π) ,AB:BC=k(k ＞0) , 則時SΔABC有最小值即ΔABC的面積是關(guān)于頂角兩邊之比k的函數(shù),且當兩邊之比等于對應(yīng)平行線的距離之比時,面積最小.

證明:由結(jié)論1, tanθ=得cos2θ=則sin2θ= 1-cos2θ=從而AB=

2 應(yīng)用

例1對于本文開篇的高考題, 應(yīng)用結(jié)論2,AB=由于m=1,n=2,α=1, 則AB=與上述結(jié)論一致.

例2(2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽第二試第1 題)如圖3,A是兩平行直線l1、l2之間的定點,且點A到直線l1、l2的距離分別為AM= 1,AN=設(shè)ΔABC的另兩個頂點B,C分別在l1、l2上運動,且滿足

圖3

(1)試判斷ΔABC的形狀,并證明你的結(jié)論;

3 反思

數(shù)學(xué)題目有無限多,但解題方法和典型題目一般是有限的.探究經(jīng)典題目背后的一般結(jié)論就在創(chuàng)新.只要我們善于開動腦筋,勤于思考,勇于提問,那么解決問題的能力必然會突飛猛進.對于結(jié)論1,給定三角形,求作分別過三角形三個頂點的平行線有無數(shù)種可能,但三條平行線之間的距離比若固定,滿足條件的平行線是唯一的,換句話說這相當于結(jié)論1的反問題也是正確的.我們也可以動態(tài)地考慮結(jié)論1 的正反問題,以反問題為例,固定三角形,過三個定點作平行線,讓平行線在平面內(nèi)繞各自三角形頂點轉(zhuǎn)動,觀察平行線之間的距離變化情況.對于結(jié)論2,三角形面積的最小值恰恰在固定角兩邊長之比與平行線間距離比相等時達到最小,這恰恰是和諧之美,數(shù)學(xué)之美.