取之不竭,用之不盡
——基于教材資源再開發的經典賞析

江蘇省徐州市第一中學(221000) 朱思念

南通市教育科學研究院高中數學教研員曾蓉老師曾在一次專家報告中說: 教材,取之不竭的試題寶庫,巧妙嫁接聯通出新,情境改編推陳出新,關注模型遷移出新,抓住本質歸真出新.

當然,教材并不只是試題寶庫.數學教科書上的例題、習題都是編著者經過精心思考反復斟酌形成的,它不僅很好的承擔了大綱中要求掌握的知識載體,而且還準確體現課程標準的要求,傳達一種信息,引領未來考試的基本方向.如果我們在日常教學與學習中留心品味,可以發現,有些例題、習題可能還站在整個數學體系的高度上,承前啟后,體現出編著者的獨具匠心.

案例一 普通高中課程標準實驗教科書數學(必修四)第51 頁第19 題

一鐵棒欲通過如圖所示的直角走廊,試回答下列問題:

(1) 證明棒長L(θ) =

(2)求L(θ)的最小值(用計算器或計算機);

(3)解釋(2)中所求得的L是能通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值.

這個案例主要是受一篇文章啟發而引起的思考,文章發表于《中學生數學》2016年9月刊,出自常青藤實驗中學錢思源同學之手,令人驚訝,愛不釋手.

首先把問題簡單化,不等寬的直角走廊,換成等寬直角走廊,再將不計厚度的木棒變成有寬度能靈活轉動的平板車,而后將等寬直角走廊變為非等寬直角走廊,再將等寬直角走廊變為等寬折線形走廊,最后將等寬直角走廊變為等寬彎角走廊,才暫時完結他的問題研究之旅.變化示意圖如下:

這將一道本身就很有趣的應用題, 變得更“活潑開朗”了,如此的學習之旅如何能不吸引學生的眼球? 再試想,如果我們的學生都像這位同學這么創造著,那么我們的課堂將會多么的繽紛多彩,我們的孩子怎么可能只會是個解題的機器?

當然,變化肯定不止如此,放開讓孩子們處理的話,作為課堂主導的老師估計也會眼花繚亂的吧.那么作為主導者,我們要起好主導作用:

1.《普通高中數學課程標準》中明確提出,高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習探究活動,讓學生體驗數學發現和創造的立場,發展他們的創新意識.學生自主編題是近來嘗試進行的一種新型高三復習課教學方式,通過教師示范引領學生自主編題,使學生成為課堂主體,有效激發其學習興趣,優化數學思維,建構知識網絡,提高創新意識和能力.學生自主編題是很好的一種方法手段,但要根據問題情境、問題難度、解決方法等確定修編的時間,否則課堂有可能無法完成.

2.突出重點、突破難點這是必須要實現的.這個問題的重點肯定是數學模型的建立和解決,難點一是數學問題的解決,二是解釋目標函數的最小值是通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值.

3.從思源同學寫的文章看,這應當是他在高三年級時的作品,而這個問題的題源是高一年級的任務,所以作為課堂的主導者,對這個問題的引導處理,要隨時間不同而不同.高一年級應當著重于問題的理解、數學模型的建立和解決,而高三年級的時候應當著重于問題的分解、探究、變形和延伸,而且問題的審視和解決還可以再上一個高度,因為這個問題的數學本質其實是過定點的線段的最值問題,可以用解析法解決它.這樣,不僅這個問題更精彩了,數學的課堂和孩子們的學習將更精彩.

案例二 普通高中課程標準實驗教科書數學(必修四)第42 頁例題2

一半徑為3m 的水輪,水輪圓心O距離水面2m,已知水輪每分鐘逆時針轉動4 圈,如果當水輪上點P從水中浮現時開始計算時間.

(1)將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數;

(2)點P第一次到達最高點大約要多長時間?

對這個案例的思考就要回溯到很久之前了,2013年筆者參加校內評優課的課題是:“函數y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質”,后來又觀摩了省評優課,收獲了很多.但隨著時間的推移,教材的不斷研究、探索,筆者越來越想推翻之前的很多構想.通過這些年對各地的教材、江蘇省內各版本的教材的對比、品讀、研磨,筆者心中的脈絡越來越清晰.

首先江蘇省內教材變化比較如下:

內容1995年10月第2 版2012年6月第4 版2020年新版____標題函數y =A sin(ωx+φ)_____________________________________________的圖像函數y =A sin(ωx+φ)的圖像函數y =A sin(ωx+φ)問題情境物理工程技術簡諧運動摩天輪上一點_________________________________________________________________________________________________________________________的圓周運動名詞介紹最值,在振動量中開始在簡諧運動背景下問題情境之后問題提出無問題設置直接給出問題結合問題情境提出研究方法通過三組例題分別給______________________________________出三個要素的影響以問題串的方式逐步給出并解決_____以問題串的方式逐步給出并解決__

從教材的比較中可以看出,即將使用的新版教材的突出變化是新問題情境的設置,這個設置自然承上,完美啟下,同時解決一個后續教學難點,一舉三得.

從教材的演變中我們也可以看出,研究目標的提出和研究方法日趨自然和成熟.作為課堂教學的主導者,我們應該:

1.整體把握教材結構的同時,要注意細節不同背后所隱含的道理.

在1995年10月第二版教材中,作函數y=Asin(ωx+φ)簡圖時用的是“五點法”,而在新教材中卻是用電腦或其他作圖工具直接給出的.是因為科技進步使然嗎? 筆者認為,不是.

五點法, 是“三角函數的圖像與性質”中利用正弦線作出正余弦函數圖象之后, 發現函數y=sinx,x ∈[0,2π] 的圖像起著關鍵作用的點有五個:描出五點后,y=sinx,x ∈[0,2π] 的圖像形狀就基本確定了, 因此在精確度要求不太高時我們常常先找出這五個關鍵點,然后用光滑的曲線將它們連接起來就得到了函數的簡圖,這種方法稱為“五點法”.

也就是在已知函數圖像與性質符合正余弦曲線特征的時候才能用五點法作圖,而對于函數y=Asinx,y=sinωx,y= sin(x+φ),我們并不知道它們的形狀,怎么能用五點法呢? 所以,在教學中應當避開這一點,否則這里的推理就毫無邏輯可言.同時也建議在新版本教材編寫時,“三角函數的圖象與性質”這部分內容的例題做適當的調整,否則我們在此處已經研究φ、A、ω對函數的影響,后面章節的設問、解答不就多此一舉了嗎?

2.該部分內容的教學有兩處將會用較長時間完成,一是問題的情境的解決,二是幾組對比函數圖像的作圖.

對于問題一,這是本節的一個難點,為什么? 這個問題需要將實際問題轉化為數學問題,而且問題的轉化和解決用的是三角函數的定義,但實際上對于三角函數定義,絕大多數同學都處于“斷章取義”的層次,現實情況使得這個問題的透徹解決,不能成行.故而讓學生先自學、揣摩,而上課時首要的環節就是學生討論自己在自學中確定的問題.小組解決不了的問題集中起來,班級共同努力解決.這樣一方面可以解決、深化問題知識,更重要的是尊重學生主動探究的傾向,發展學生互助合作的團隊精神,落實數學育人的目標.

而后開始教師的問題串,首個問題是讓學生思考說明問題情境解決的理由,以此鞏固深化三角函數的定義,同時清晰明確本節課的目標任務.

對于問題二,前文筆者已經說過用五點法作正余弦函數圖像,可行,但用它做函數y=Asin(ωx+φ)的圖象不合適,這是用我們即將要推導的結論作工具去推導結果,這樣的邏輯推理是不成立的.那么剩下的畫圖方法就還剩圖像變換和描點法了,前者理論性強,后者時間長,故而這個也不適合在課堂上慢慢琢磨.

所以將自學學習任務,提前布置,學生總結學習心得,并確定學習中碰到的問題.這樣不僅解決了以上兩個突出問題,更重要的是把學生的個體行為提升為群體行為,使得學生成為了教學活動活動的真正主體,提高其學習的興趣,增強其學好的信心,養成其良好的學習習慣.學生做教師,個個躍躍欲試,反思與質疑就是爭奪話語權的工具.再者,沒有閱讀的教學,想要落實課程目標,一切如浮云.

3.正如前文所說,上課伊始,教師要把課堂放給學生.先鄰位同學提出、討論并解決每個人自己確定的問題,而后小組討論確定各組的問題,教師把問題集中,將問題拋向課堂.這是藝術等待,等待不僅包括時間維度的延長,留給學生思考的時間,讓每名學生都能進入問題情境狀態,還包括心理層面上教師對學生有所期待的心理.

當然,這節課也不能就在這樣的開放中結尾,教師要精巧提問,將課堂推向縱深.開放課堂,藝術等待,精巧提問,目標達成.

波利亞在《怎樣解題》中將解題分為四步——理解題目,擬定計劃,執行計劃和回顧.由此可看出,解題后的反思是解題的重要組成部分.通過回顧完整的答案,重新審查解答,可鞏固知識,培養解題能力.也就是說,沒有任何一個題目是徹底完成的,總還會有事情可做,在充分的研究和洞察后,我們可以將任何解法加以改進,無論如何,總可以深化我們對答案的理解,解題后反思可以將不同的問題相互聯系,不同知識相互聯系,也可以將已獲得的解題方法或結果利用到其他問題的求解.養成反思的習慣,可獲得一些條理分明,隨時可用的知識,將會提高你的解題能力.反思是學好數學的助力劑,也是教好數學的助力劑,對教材的深入研究、發掘、積累是教師反思的途徑之一,在這個過程中師生都將不斷領悟數學思想方法,感悟數學本質,提高分析問題、解決問題的能力則是水到渠成.

教材是一切數學問題解決依據所在,同時它也是例題寶庫、習題寶庫、試題寶庫, 取之不盡, 用之不竭, 我們要用好,維護好這個寶庫.