例談概率教學中興趣的培養(yǎng)*

廣東省廣州市第七中學(510080) 陸曼麗

隨機現(xiàn)象在日常生活中隨處可見,概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性學科.概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義.高中的“概率”,是在學生義務教育階段學習的基礎(chǔ)上,學習概率的某些基本性質(zhì)和簡單的概率模型,加深對隨機現(xiàn)象的理解,并學習用隨機模擬的方法估計簡單隨機事件發(fā)生的概率.概率知識的教與學是現(xiàn)在數(shù)學新課程的一個重要內(nèi)容,因而,高中概率對于教師和學生來說都是十分重要的.但是,由于受到應試教育和傳統(tǒng)教育方法的影響,高中概率的教學重點都放在死記硬背概念和重復練習技巧之上,忽視了概率本身培養(yǎng)學生辯證能力的價值.

在概率統(tǒng)計的教學實踐,引入一些與日常生活貼切,能吸引學生興趣的例題,并對這些典型實例重點講解,充分發(fā)揮這些實例的典型示范功能, 培養(yǎng)和提高學生的學習興趣,拓展學生的思維和辨析能力.

1 從糾正生活中的“偏見”入手,培養(yǎng)學習概率論的興趣

我們可以通過舉出日常生活中的大量實例,讓學生能動手實驗,正確理解隨機事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性,并能嘗試澄清日常生活中存在的一些錯誤認識.

在講古典概型的概率計算時,引入學生能夠隨手動手做的試驗例子: 拋一枚硬幣,出現(xiàn)正反兩面的可能性都是那么一枚硬幣拋兩次是不是一定至少出現(xiàn)一次正面? 并讓學生拿出自己身身邊的硬幣來做試驗.當然,絕大多數(shù)學生最后都得到“不一定”的結(jié)論.雖然這是一個看似淺顯的道理,但是把事件發(fā)生的可能性由推廣到時,很多學生就不太理解了,例如,“中獎率為的彩票,買1000 張彩票一定能夠中獎? ”他們都認為這個命題是正確的,為什么? 這是我們生活中很多感覺的誤區(qū).如何糾正呢? 可以用如下例子引入,進一步激發(fā)學生的學習興趣.

例題1某班有40 個人,問至少有兩個人的生日在同一天的概率是多少? (以一年有365 天記)

解: 令A={40 人中至少有兩個人的生日相同},A={40個人生日全都不相同}, 樣本空間所含的樣本點共有36540個, 而事件A 是一個復雜的事件, 但其對立事件卻相對簡單, 可利用公式P(A) = 1- P(A) 求解, 易知=0.109.從而P(A)=1-P(A)=0.891.

把此題推廣,若將班級人數(shù)變換則得出不同的結(jié)果,如表1 所示.

表1

絕大多數(shù)同學對其概率的估計都會得出與其直覺很不相同的答案,都認為概率很小,幾乎是不可能的.在解答該問題時,教師可先給學生們答案是89.1%.而該答案與學生的直覺是很不相同的,從而他們會質(zhì)疑該答案,產(chǎn)生其結(jié)果為何而得之的求知欲望.

由表1 可見當每班有23 人就差不多半數(shù)以上的班會發(fā)生這種事,而當每班有50 人時幾乎肯定會發(fā)生這種事.

例題2已知一個家庭有3 個小孩,且其中一個為女孩,求至少有一個男孩的概率(假設家庭小孩為男女是等可能性的).

解: 該家庭有三個小孩的樣本空間Ω={男男男,男男女,男女男,男女女,女男男,女男女,女女男,女女女},而已知其中一個為女孩,故三個小孩全為男孩是不可能的,則縮小了的樣本空間為Ω0={男男女,男女男,男女女,女男男,女男女,女女男,女女女}.設A為表示“至少有一個男孩”,所以

為了真正把握概率的思想實質(zhì),教學中應當注意轉(zhuǎn)變學生的思維方式, 并在此基礎(chǔ)上活化學生頭腦中的概率思想,優(yōu)化學生的思維方式,提高學生的思維品質(zhì).優(yōu)化學生的思維,有時還需要注意糾正學生的一些措施和偏見.

2 從博彩的角度認識概率論,提升學生的學習興趣

美國數(shù)學家哈爾莫斯指出: 定理、證明、概念定義、理論、公式、方法中的任何一個都不是數(shù)學的心臟,只有問題是數(shù)學的心臟.概率論也不例外,重視問題的分析、解決、應用和推廣是概率論思維問題性的精髓.

講到數(shù)學期望時,利用博彩中的問題會有助于學生興趣的培養(yǎng),激發(fā)學生的興趣.

例題3袋中裝有大小相同的球12 個(6 紅6 白)博彩者從中摸出6 個球,摸出6 個球的結(jié)果與博彩者獲利情況如下:

6 球為同色(即全白或全紅)———50 元.

6 球顏色之比為1: 5——10 元.

6 球顏色之比為3: 3———-10 元.

問該博彩游戲的獲利者是誰?

該題是一道典型的求隨機變量數(shù)學期望的例題,即令X表示博彩者贏錢數(shù),求EX.

X -10 0 10 50 P(X =k)200 462 225 462 36 462 1 462

E(X) =-≈-3.44,表明博彩者每摸一次,平均給攤主3.44 元錢.

該類型的題目可進一步開闊學生的視野,拓寬學生的數(shù)學思維.學生也可自己設置問題令該題的解答更有趣.

問題1: 如何設置游戲規(guī)則,才能使博彩者不虧?

問題2: 如何設置游戲規(guī)則,才能使博彩者獲利?

問題3: 如何設置游戲規(guī)則,才能是一場公平的游戲?

通過此類題目的解答,不僅使學生提高對概率學習的興趣,也使他們看到現(xiàn)在隨處可見的彩票吸引了很多人,如何計算中獎的概率,使他們看到中獎的概率是非常的小,若要參與購買彩票應有正確的心態(tài),不能只為中獎.

3 從利用概率論方法解決代數(shù)不等式證明入手,將學生的學習興趣變成一種習慣

概率論的理論和方法向各個基礎(chǔ)學科的滲透是近代科學技術(shù)發(fā)展的特征之一.概率論是一門特殊的數(shù)學課程,它與我們的日常生活是息息相關(guān)的,揭示的是隨機現(xiàn)象中隱藏的規(guī)律.我們知道描述和研究隨機現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學,稱為或然數(shù)學.而概率論是歷史上最先出現(xiàn)的或然數(shù)學分支.在我們的教學中,學生們都普遍覺得概率論與其它數(shù)學分支幾乎沒有什么必然的聯(lián)系.而當我列舉如下的例子讓他們思考,并提示他們雖然這是一個代數(shù)的證明問題.但是我們用概率的知識來解答將使其解題變得簡單易懂.

例題4已知a≥1,b≥1,c≥1,試證:a2bc+ab2c+abc2+1 ≤ab+ac+bc+a2b2c2.

證: 由于a≥1,b≥1,c≥1,不能直接把它們看成是某些事件的概率,由式子中a,b,c的對稱性,可以先把原不等式恒等變形,兩邊同除以a2b2c2,得

根據(jù)形式的相似性,設計下述古典概型來證.

設有三個口袋,甲袋中有ab個球,其中有一個紅球; 乙袋中有ac個球,其中有一個紅球;丙袋中有bc個球,其中有一個紅球;從每袋中各取一球,至少有一個紅球出現(xiàn)的概率.

令Ai={從i袋中取出紅球},i={甲, 乙, 丙}; 則且A甲,A乙,A丙相互獨立,從而有

把握住了問題的關(guān)鍵,類似證明題即可迎刃而解.

4 總結(jié)

日常生活中存在著大量的隨機現(xiàn)象,比如下雨、風險與投資、彩票、感冒等等.在教學時,教師應該引導學生通過對各種案例的分析,體會概率問題的實用性.典型的、貼近生活的例題的選擇能讓學生很快的愛上數(shù)學.數(shù)學地理解問題、數(shù)學地思考問題、數(shù)學地解決問題,不僅會影響著學生的思維方式,而且影響著他們的生活方式和價值觀.他們所受的數(shù)學訓練、所領(lǐng)會的數(shù)學思想和精神,在他們?nèi)蘸蟮膶W習和生活中無時無刻不在發(fā)揮著積極的作用.