基于APOS理論的“勾股定理”教學設計

廣東省廣州市第十六中學(510631) 梁鎮輝

美國數學教育家杜賓斯基等發展了一種APOS 理論,以A(活動)、P(過程)、O(對象)、S(概型)四個階段,協助學生建立數學概念.這種建構主義下的學習心理學理論,貼近數學教育的實踐,有效幫助教師在教學過程中揭示數學本質,引領學生“火熱思考”,經歷數學的發現與再現過程,體驗數學概念與法則等的形成過程,發展高階數學思維,并在頭腦中建立和完善知識結構.勾股定理不是一串形式上的符號,它有豐富的內涵實質.因此,筆者認為在課堂教學過程中,注重知識的探究過程和思想方法滲透,有助于學生真正理解勾股定理.

下面是基于APOS 理論指導下的“勾股定理”(人教版八年級下冊17.1)教學設計:

1 內容和內容解析

1.1 內容

勾股定理的探究、證明及簡單應用.

1.2 內容解析與過程簡述

勾股定理的背景導入:

我國古代數學書《周髀算經》等記載研究了直角三角形三邊的平方關系;古希臘數學家畢達哥拉斯于觀察地板的生活情境中發現了直角三角形的某種數量關系;2002年北京國際數學家大會會徽呈現的“趙爽弦圖”......都為勾股定理的發現與重現過程提供豐富的活動素材.本課題要研究的內容是直角三角形三邊平方關系, 研究的過程是從特殊到一般,研究的基本方法是從幾何直觀切入,證明定理的關鍵是利用割補法求以斜邊為邊長的正方形面積.在A(活動)階段的初始過程中,趙爽弦圖有利于學生感受定理的直觀背景,為抽象概括定理提供感性基礎.

勾股定理的探究過程:

①學生通過觀察正方形面積和差關系得到三邊平方的和差關系,發展“以形解數”的綜合能力;從分析等腰直角三角形三邊關系到分析一般的直角三角形三邊關系,從邊長為特殊數的、具體的數值到一般情況,經歷“特殊到一般”的數學研究過程,在典型的范例和具體操作中進行有益的數學思考.在A(活動)階段的關鍵環節中,引導學生對正方形面積關系作猜想與表達,并聯想到三邊的平方數量關系,是適合學生操作的活動.直角邊長的一般化探究過程可暴露勾股定理的內涵,可引導學生樸素的數學思考.

②學生通過合作計算正方形面積的活動, 歸納“割補法”是定理證明的思路.通過計算推導出一般結論,體會數形結合思想,發展形象思維.在P(過程)階段中,學生不是停留在操作具體數值的直角三角形邊長關系的層面上,也不是僅知道如何計算正方形面積關系的層面上,而是上升到抽象層面,即整體上把握分析勾股定理的特征.使定理的形成由“活動”向“程序”轉換,推導、得出勾股定理的形式化表達,“凝聚”為“a2+b2=c2”.至此,勾股定理不再是冰冷的一串符號,而是一個有血有肉的的式子(定理).此外,學生也深入理解了a、b是直角邊邊長,而c是斜邊邊長的具體含義;這個等量關系是通過“出入相補”原理證實的.

③通過解決實際背景的問題,獲知勾股定理是一個重要的數學工具,常用來求解線段長度或距離問題,與分類討論、方程思想方法融合;最終師生共同分享學習收獲.在O(對象)階段,學生把勾股定理作為一個對象,比較、區分非直角三角形的三邊關系;在實際的問題情境中尋找滿足勾股定理的感性信息,把線段長或距離問題轉化勾股定理的邊長計算問題.在S(概型)階段中,通過學生回顧勾股定理的探究過程以及解決問題的過程,從而建立起綜合的心理圖式,培養數學建模、方程思想等數學素養,發展正向遷移能力.本設計中,S 階段不全是一個獨立的教學環節,而是穿插于各個環節中,是一邊探究一邊總結數學思想方法,領會數學探究的基本策略.學生經過總結后,頭腦中建立起具體的勾股定理實例、勾股定理形式化抽象過程、完整的勾股定理定義,勾股定理與數形結合、面積恒等、數學建模、分類討論、方程思想的聯系,乃至與非直角三角形的區別聯系.

基于上述分析,本節課的重點是: 探索并證明勾股定理.

2 目標和目標解析

2.1 目標

(1)經歷勾股定理的探究過程.了解關于勾股定理的一些文化歷史背景,通過對我國古代研究勾股定理的成就介紹,培養學生的民族自豪感.

(2)能用勾股定理解決一些簡單問題.

2.2 目標解析

目標(1): 在A 階段,引導學生觀察2002年數學大會會徽,分析當中存在的圖形以及全等直角三角形關系,導入本節課的探究內容.經歷畢達哥拉斯發現勾股定理的過程,在邊長一般化后,繼續操作發現正方形面積關系,得到三邊關系,重現勾股定理的幾何特征.暴露勾股定理的內涵——“數形結合”思想方法,教會學生“出入相補”是解決問題的策略,并由正方形面積聯想到邊長的平方,最終對三邊關系進行樸素的數學思考.在P 階段,把兩個特殊直角三角形的三邊關系作為一個整體,分析歸納其結構特征后作出一般意義下的猜想, 積累數學活動經驗, 獲知定理的內涵, 發展抽象思維.在O 階段,學生以勾股定理為對象,展現和重現勾股定理的證明過程,對趙爽弦圖的含義作出解釋,增強民族自豪感回應引言中有關數學大會會徽的特別含義;了解其它證明方法,增強學習數學的自信心.

目標(2): 在O 階段,讓學生在實際的問題情境中,篩選出滿足勾股定理的感性信息,感悟勾股定理主要應用于線段長或距離的計算問題,根據實際問題建立勾股定理模型,理解運用a2+b2=c2這個形式上的式子,體會“已知直角三角形的兩邊長能求第三條邊的長度”的具體內涵.

3 教學問題診斷分析

學生要從觀察正方形面積關系聯想到三邊的平方關系,在給定的“地板”和“網格圖”中是容易的,但是要從等腰直角三角形過渡到一般的直角三角形(直角邊長變化了),計算斜邊上的正方形面積,推導勾股定理存在較大困難,而這個難點就在于學生要運用“出入相補”原理,想到合理割補圖形的方法求以斜邊為邊的正方形面積.因此,需要在A 階段初次引入趙爽弦圖(數學大會會徽)時,有意識引領學生進一步分析圖形的“拼圖”方式,在給定的“網格圖”后,啟發學生合情推理,從幾何直觀角度猜想割補的方式.這樣有利于學生自然合理地發現和證明勾股定理.到O 階段,學習推導了勾股定理的形式表達a2+b2=c2后,進一步解釋去網格后的趙爽弦圖的含義.

基于上述分析,本節課的教學難點是: 勾股定理的探究和證明.

4 教學過程設計

4.1 “活動”A 階段

重現勾股定理的發現過程——只要發現到某兩個正方形面積之和等于第三個正方形面積,聯想到某兩邊平方和等于第三邊平方.

理解勾股定理,需要一定數量的活動(操作),才能有利于學生進行“反省抽象”.“活動”讓學生親身體驗勾股定理的現實原型,感受直觀背景和勾股定理間的關系.

問題1國際數學家大會最高視屏的全球性數學學科學術會議,被譽為數學界的“奧運會”.2002年在北京召開了第24 屆國際數學家大會.圖1 就是大會會徽的圖.你見過這個圖案嗎? 它由哪些我們學習過的基本圖形組成? 這個圖案有什么特別的含義?

師生活動教師引導學生尋找圖形中的直角三角形、正方形;從“三垂直模型”角度說明直角三角形全等的關系;從“出入相補,面積相等”角度說明大正方形、四個直角三角形、小正方形面積的數量關系;從“線段和差”角度說明兩直角邊之差等于小正方形的邊長.指出通過今天的學習,就能理解會徽圖案的特別含義.

設計意圖“依綱靠本”重視教材的引言教學,從國際數學家大會的會徽說起,設置懸念,引入本課課題.同時經過對“趙爽弦圖”在分解圖形、關注線段數量關系、探究面積數量關系三個方面進行仔細觀察、猜測、說明、歸納等思考,“面積法”對于后階段研究勾股定理起到了思路和方法上的啟示和借鑒作用.

問題2相傳2500 多年前,畢達哥拉斯有一次在朋友家作客時,發現朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數量關系.我們也來觀察一下地面的圖案,看看能從中發現什么數量關系.

師生活動方案1: 教師拋出圖1,指導學生依照問題意思,在圖中用紅筆圈出一個等腰直角三角形并啟發學生參考問題1 研究圖形的三個方面(組合形式、線段、面積),嘗試發現三邊的數量關系,分享描述發現結果的過程.教師給于肯定,在學生回答基礎上指導學生歸納得出結論: 等腰直角三角形中,兩直角邊構成的正方形面積之和等于斜邊構成的大正方形面積.

方案2: 教師在方案1 無果后,舉出具體例子(圖2),學生獨立觀察圖形,分析、思考其中隱含的規律.通過直接數等腰直角三角形的個數/割補的方法將藍色小正方形中的等腰直角三角形補成一個大正方形,得到結論: 藍色小正方形的面積之和等于紫色大正方形的面積.

設計意圖勾股定理源于生活的觀察思考,畢達哥拉斯地板的發現是勾股定理的起因,也是一個典型例子.學生接受以面積的方法探究勾股定理,化簡探究思維難點,節省教學時間,提高了課堂效率.方案1 是激發學生想象力,將生活場景抽象為數學問題的能力,盡可能讓學生自主重復畢達哥拉斯的發現,突出學生學習的主體作用.方案2 是基于學生尚未經歷畢達哥拉斯發現,且無法自主重復發現勾股定理過程下,突出教師的引導作用.

追問: 由這三個正方形的邊長構成的等腰直角三角形三條邊長之間有怎樣的數量關系?

師生活動教師引導學生直接由正方形面積等于邊長的平方,歸納到: 等腰直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

設計意圖從最特殊的等腰直角三角形入手,把既得的正方形面積關系(也是勾股定理的幾何意義)聯想到三邊的平方關系,為進行初步的一般化探究作好鋪墊.

問題3在網格中,任意畫出一個直角三角形(注意不是等腰直角三角形,三個頂點落在格點上,即直角邊都是整數).以它的三邊為邊長的三個正方形是否也有類似的面積關系?

師生活動教師觀察和指導學生畫出合意的直角三角形,作出對應的正方形;學生投屏展示作出的圖,寫下正方形面積關系,分享尋找面積關系的過程和方法.教師作出肯定,在學生回答的基礎上(結合示例)歸納面積計算方法是“割補法”,即把邊長不在網格線上的正方形(如正方形C)用橫豎線段分割為四個小直角三角形和一個小正方形,或者沿著網格線補充為一個更大的正方形,而這個大正方形是由四個小直角三角形和原來的正方形“拼成”.教師引導學生得到結論: 兩直角邊構成的正方形面積之和等于斜邊構成的大正方形面積.

設計意圖網格中的直角三角形也是一種特殊情況;網格背景下圖形面積計算方便;學生通過具體的操作(作圖、觀察、計算、發現、猜想)進一步體會割補法,理解具體的勾股定理結論.為程序P 階段思維的騰飛進階打下基礎,在O 階段的無網格背景下探究直角三角形三邊關系提供方法借鑒.

追問: 從問題3 中,說說你所畫出的直角三角形三條邊之間有怎樣的數量關系?

師生活動師生類比問題2 中的追問,進一步體會由正方形的面積等于邊長的平方,掌握勾股定理的證明基本方法,歸納出: 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

設計意圖該追問能為學生通過豐富的實例(活動),再次對直角三角形三邊長的數量關系進行“樸素思考”,恰當地將直角三角形三邊關系和正方形面積關系的相關信息組織起來,形成新的意義,即本節課的內容—勾股定理.

4.2 程序(P)階段

綜合分析勾股定理幾何和代數特征, 反思提煉“a2+b2=c2”的形式猜想.

“程序”階段是學生對前述具體“活動”進行思考,經歷思維的內化、概括過程,學生在頭腦中對活動進行描述和反思,抽象出勾股定理所特有的性質,即“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”.

問題4同學們思考以上兩個探究直角三角形三邊長關系過程中,兩個關系式中有什么共同特點?

師生活動教師鼓勵引導學生歸納至少三個結論: ①都是直角邊構成的正方形面積之和等于斜邊構成的正方形面積; ②都是兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方; ③三邊都“帶上”平方.

設計意圖程序階段需要教師更多啟發學生思考,通過特列反思提煉勾股定理的特征,盡可能讓學生用自己的語言描述程序,發展學生的抽象概括能力.

4.3 對象(O)階段

合理猜想勾股定理的符號形式并作證明和簡單應用.

問題5在前面的問題中,我們討論直角三角形的邊長都是具體的整數.如果直角三角形(任意邊長)兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c.通過前面的探究活動,猜一猜,直角三角形三邊之間有什么數量關系?

師生活動教師引導學生得到猜想:a2+b2=c2.

設計意圖在“地板”和“網格”背景下,通過觀察和分析等腰直角三角形和一般化的直角三角形三邊關系,學生已經有較為充分的“活動”經驗,綜合分析上述兩個典型特例結構后,容易得出猜想.

問題6如圖所示,你能證明猜想的合理性嗎?

師生活動學生通過獨立思考(教師視察情況適當提點要證明猜想成立首先聯想到勾股定理的幾何意義,可以參考前述問題的割補法,邊長關系轉化為正方形的面積關系).用a,b表示C的面積.用“割”的方法可得到.用“補”的方法也可得到.經過整理得到a2+b2=c2,即直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

設計意圖勾股定理作為一個“對象”來求證.從“地板”和“網格”背景到“無圖”情況下,由具體數值到一般情況下直角三角形的三邊關系,并通過證明定理的合理性.學生對勾股定理經歷完整的探究、發現、演繹證明過程.

問題7展示我國古代數學家對勾股定理的研究,欣賞周髀算經中的趙爽弦圖.

師生活動教師展示下圖,并介紹: 這是三國時期的趙爽在注解《周髀算經》中給出的.他指出: 四個全等直角三角形(朱實)可以如圖圍成一個大正方形,中間部分就是一個小正方形(黃實).其實就是我們剛才證明勾股定理的第一種方法了.也是我們問題1 中出現的會徽圖形,這個會徽的含義相信同學們能從勾股定理方面作出解釋和評價.勾股定理的證明方法多于400 多種,有興趣的同學可以繼續研究.

設計意圖勾股定理作為一個“對象”在史料方面豐富了學生對該定理的認識,以趙爽弦圖了解我國古代數學家對勾股定理的發現及證明作出的貢獻, 提升學生民族自豪感,增強自信心.通過介紹趙爽弦圖,回顧“割”圖找面積關系,把面積關系轉化為直角三角形三邊長關系,貫通于探究勾股定理活動的主線.結合史實,回應引言會徽圖案的內涵,學生能解決疑惑.鼓勵學生了解勾股定理的其它證明方法,增強學生學習數學的自信心.

練習1求下圖中字母所代表的正方形的面積.

設計意圖學生應掌握三個正方形的面積關系,能將正方形的面積關系和直角三角形三邊之間的關系進行聯系,鞏固勾股定理的幾何意義,對“勾股形結構”進行簡單的識別運用.

變式1如圖,是一株美麗的勾股樹.所有的三角形都是直角三角形, 四邊形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的邊長分別是12,16,9,12.求最大正方形的面積.

設計意圖進一步體會以直角三角形三邊為邊長的正方形的面積關系,把勾股定理作為一個數學對象,把圖形分解為三層“勾股形結構”,感受“勾股樹”的美麗.

4.4 圖式S 階段

構建勾股定理知識圖式

問題8①你能回憶并回答直角三角形三邊關系嗎? 你能用數學符號表示這一關系嗎? (直角邊平方和等于斜邊的平方) ②在探究勾股定理的過程中,正方形的面積起到什么作用? 體現了什么數學思想方法? (邊長聯想到正方形面積,面積轉化為邊長的平方.體現了轉化思想.) ③用面積法證明勾股定理時,計算正方形面積的方法是什么? (割補法) ④在直角三角形中,已知兩邊長求第三邊時,使用勾股定理要注意什么嗎? (區別清楚直角邊、斜邊) ⑤勾股定理作為一個計算直角三角形邊長的工具,什么時候可以用? (已知直角三角形兩特定邊長時可直接用,已知直角三角形任意兩邊長時要分類討論,已知直角三角形兩邊關系且第三邊邊長時可結合方程思想用)

師生活動教師指導學生對本課堂教學過程進行反思總結,歸納勾股定理知識點.教師在黑板上進行對應板書

設計意圖此時勾股定理應當作為一種綜合的心理圖式存在于腦海里,在學生個體的數學知識體系中占有特定位置.教師分別從勾股定理的實例性質、抽象(一般化) 過程、完整的定義角度引導學生掌握勾股定理形成的方法, 將之壓縮為“a2+b2=c2”形式符號成為對象,使其與分類討論、方程思想聯系,完善和建構好勾股定理的心理圖式,在日后遇到問題時能快速有效提取信息解決問題.

5 教學反思

本節課受到顧繼玲教授啟發,“勾股定理具有經驗性和演繹性,因此以探究學習為主去設計活動是比較恰當的,只是其中仍包含了一定成分的接受學習.”在活動A、P、O 階段都十分突出了“探究的過程與方法”,以勾股定理的探究作為教學重難點,依據學生的實際水平,有層次安排了三個探究活動,探究層次從特殊等腰直角三角形—網格下一般化的直角三角形—去網格的任意直角三角形,學生掌握情況良好,有效突破了教學重難點.

本設計認為“勾股定理為策略性知識”,學生必須在“做”的過程中“悟”出勾股定理的內涵.特別在P 階段突出學生為學習的主體地位,讓學生對各種活動操作作出“反省抽象”,對勾股定理用自己恰當的方式進行描述和理解,營造生態課堂,真正讓學生“自主建構知識體系”.

教學過程初期,學生就“為什么要研究正方形面積關系”感到不解,更是不容易把面積和邊長平方關系作出聯系.此處本人還是采取“接受學習”的方式作出處理,在O 階段處理會徽內涵的時候作了回應.因此本人認為雖然以幾何直觀切入勾股定理的探究不太自然,但是可以在教學過程中讓學生體會這種處理方式的好處妙處,也許是教會學生處理幾何圖形性質的一種方法.