例談數學課堂問題設計時需要考慮的幾個方面

范秀艷

摘要：課堂教學中要有一個好的問題。要想設計的問題有質量，至少要考慮到：問題的難易要適當;反映教學內容的本質;問題要明確，容易被學生理解;發揮先行組織者的作用;選擇恰當的問題情境;考慮到學生會怎么回答。

關鍵詞：問題設計;問題情境;教學內容

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）01-105

講授法是課堂教學中主要的教學方式，但也容易造成“滿堂灌”[1]。因此，最好是把教師要講的某些內容，以問題的方式提出，讓學生思考、說出答案，用來代替教師的講授。因為學習的內容是學生自己親身經歷、思考得出的，學生能更好地理解、記憶、印象深刻，進而提高課堂的教學效率。

因此，我們教師的主要工作是提一個（些）好的問題。要想設計的問題有質量，就必須經過深思熟慮，至少要考慮到以下幾個方面。

一、問題的難易要適當，問題太難，學生思考不出來;太簡單，學生不用怎么思考就隨口說出來了

問的問題要有一定的思維含量，讓學生經過思考之后能得到答案。例如，學習“三角函數誘導公式”時，有位教師設置了這樣的問題：設角α，β的終邊與單位圓的交點分別為P，P′點，當角α，β的終邊關于x軸對稱時，思考：（1）P，P′兩點的坐標有什么關系？（2）角α，β的三角函數有什么關系？

這樣的問題，思維含量很低，學生不用怎么思考就可以說出答案了，特別是給了圖之后，答案幾乎一眼看穿。一個原因是問題設置的臺階過于密集，二是把關鍵的P，P′點寫了出來。P，P′點是解決問題的“題眼”，是“一層窗戶紙”，不能輕易點破，應該讓學生自己畫圖找到這兩個點，進而得到兩個角的三角函數的關系。

可以改為：根據任意角三角函數的定義，思考當角α，β的終邊關于x軸對稱時，α，β的三角函數的關系。這樣問，對學生的思維才有適度的挑戰性。

二、問題要“有意義”，也就是要反映教學內容的本質

沒有“意義”的問題，一定會太難或者太簡單。例如，在學習橢圓的時候，很多教師會給出許多橢圓的實例，像觀看“神舟”飛船太空飛行的錄像，然后問學生“飛船的飛行軌跡是什么？”這個問題就很簡單也沒有意義，因為從問題情境中看不出橢圓的任何特征。讓學生觀看由兩個圖釘和一條細線畫出橢圓的過程，然后問學生“你能從橢圓的作圖過程中得到橢圓上的點的特征嗎？”這樣的問題才能起到引起學生思考、引導學生思維的作用。

又如，在學習對數運算性質時，很多老師都是先給出幾組特殊的數：（1）log33，log39，log327;（2）log24，log28，log232;（3）……然后讓學生觀察、猜測，得到對數的運算性質logaM+logaN=loga（M·N）。接著教師會問，這個性質如何證明？這個問題就特別的難，按照這種方式得到的對數運算性質，基本上沒有學生能證明，除非特別聰明或者預習、看過書上證明過程的。因為問題的情境與問的問題之間沒有任何關系，從問題的情境中找不到證明的方向。因此，對于設計的問題，當學生回答不上來時，我們就應該考慮一下這個問題問得是不是沒有反映到教學內容的本質。

三、問題要盡可能提得具體、明確，易于被學生理解

在證明正弦定理時，通常的方法都是通過作高把任意三角形轉化為直角三角形進行證明。很多時候，學生只畫出銳角三角形進行證明，這樣的證明是不嚴謹的，應該證明在鈍角三角形中正弦定理也成立。那么當學生只證明正弦定理在銳角三角形中成立后。應該怎么啟發學生，讓學生知道鈍角三角形也需要說明呢？有位老師的問法是：“上述證法能行嗎？[2]”這個問題就不明確（“能行嗎”是指證法錯誤還是不全面），也不具體（哪個地方不行）。課堂上，學生面面相覷，不知道老師問的什么意思。還以為證明正弦定理在銳角三角形中成立的證法是錯誤的。我們可以這樣問：“上述證明過程是否嚴謹、全面？”若學生沒明白，再追問“即過A點作BC邊上的高，垂足應該在什么位置？”這也是證明過程中要分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的原因。學生自然能發現當角B或角C為直角時，垂足D與B點或C點重合，當角B或角C為鈍角時，垂足在線段BC外。這樣的問法能讓學生知道為什么要分銳角，鈍角和直角。不光知道是什么，還知道為什么。

四、要利用好“先行組織者”

“先行組織者”的利用能給學生指明問題的思考方向（怎么學）、讓學生知道要學習哪些內容以及為什么要學習這些內容。

例如，學習對數運算性質時，“先行組織者”應該包括這樣的兩點：1.對數logaN=b是由指數ab=N定義的，對數的問題可以轉化為指數的問題，如求log927，即求滿足9x=27的x的值（讓學生知道即將學習的對數運算性質應該如何證明）;2.學習一個對象就需要研究它的運算，數的運算包括+、-、×、÷、乘方等（為什么要學習對數的運算性質、學習哪些內容）。比如學習指數之后就研究了同底指數的乘法am·an=am+n、除法am÷an=am-n和乘方（am）n=amn（指數的加法和減法沒有規律）。然后就可以提出問題：你覺得對數會有哪些運算性質，通過什么途徑進行推導？學生首先想到的肯定是logaM+logaN、logaM-logaN、logaM·logaN、logaMlogaN等。由“先行組織者”，推導的思路也是轉化為指數。

“三角函數誘導公式”可以更進一步的改為：三角函數與（單位）圓是緊密聯系的，它的基本性質是圓的幾何性質的代數表示（為什么學）。圓有很好的對稱性：以圓心為對稱中心的中心對稱圖形，以任意直徑為對稱軸的軸對稱圖形，特別地x軸、y軸、直線y=x、y=-x是特殊的直徑（學什么）。你能否根據任意角三角函數的定義（怎么學），討論一下終邊與角α的終邊關于原點、x軸、y軸以及直線y=x對稱的角與角α的三角函數之間的關系？

五、要利用好的問題情境

數學來源于自然和生活，很多數學概念就是從生活當中的實例抽象出來的。像這些實例的應用對理解數學是有幫助的。如學習“數軸”時就可以用這樣的問題情境：在一條東西向的馬路上，有一個汽車站牌，汽車站牌往東3m和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站牌往西3m和4.8m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境。這樣的實際問題也是數軸產生的原因，只不過數學上學習的內容更加抽象而已。

數學課堂還是要解決數學問題，我們可以從別的方面得到解決數學問題的靈感，如果課堂上花大量的時間用于解決這些非數學的問題情境來得到靈感，是得不償失、事倍功半的。

六、設計的問題要考慮到課堂上學生會怎么回答，與我們希望學生說出的答案，二者不一致時怎么處理？

在得到兩角和（差）的正切公式tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ以后，教材（蘇教版，必修4）上有個思考：兩角和與差的正切公式在結構上有什么特點？對于這個問題，我們希望學生得到的答案是：有兩個角正切的和（差），還有兩個角正切的積。但是學生不一定一下就能說出這個答案，學生的答案可能是：公式是個分式（因為前面學習的兩角和與差的正弦、余弦公式都是整式）。兩角和的正切公式的分子也是和，分母是差;兩角差的正切公式，分子是差，分母是和。當學生有這樣的回答時，我們可以采用追問的方式，讓學生的觀察更本質一些，如：公式是個分式，分子、分母的結構特點呢？分子是和，是哪兩個和;分母是差，是哪兩個差？

教學設計的時候如果考慮到學生會怎么回答，能夠更好地修改教學設計。如學習等差數列時，有位教師設計了這樣問題（摘自網絡，章建躍博士的講座《數學教育的取勢、明道、優術》中舉的例子）：觀察下列數列，你有什么發現？

（1）0，5，10，15，……

（2）5.5，7.5，9.5，11.5，……

（3）0，2.5，5.0，7.5，……

這個問題沒有指明思考的方向和角度，問題提的不夠明確，另外也沒有考慮到學生會怎么回答。教師是想讓學生觀察這三組數列的共同特點的（問題可以改為：這三個數列有什么共同的特點），我們希望學生的答案是：每個數列的后一項和前一項的差是個定值。但是這三組數列并不是只有這一個共同點：每一個數都是非負數;每個數都是5的倍數;每個數列都是遞增數列……如果能轉換一下身份，考慮到學生會怎么回答，就不會設計這樣的數列了。

問題的主要作用是要引起學生的思考，很多時候教師問學生的都不是本文所說的問題，如：畫出一條直線與圓相交，問學生直線與圓是什么位置關系。實際上是用學生的嘴把教師要說出的話說出來，和老師說沒有什么兩樣。另外，設計問題時還要考慮到問題問的難度了，沒有學生能回答上來怎么處理，給出怎樣的提示、改變問題提問的方式等等。

參考文獻：

[1]曹才翰，章建躍.中學數學教學概論[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]章建躍.如何把握啟發學生思維的度[J].中小學數學（高中版），2014（11）.

（作者單位：連云港市厲莊高級中學，江蘇 連云港222000）