初中數(shù)學“二次函數(shù)”概念教學的有效性策略

金榆潔

【摘要】本文以“二次函數(shù)”教學為例，結(jié)合具體教學片段，立足建模思想、函數(shù)思想、類比思想和直觀思想，從創(chuàng)設(shè)問題情境、追求“深”“透”“精”、處理課堂意外、關(guān)注學生實際四個維度來探索“二次函數(shù)”概念教學的有效性策略.

【關(guān)鍵詞】概念教學;二次函數(shù);有效性

李邦河院士認為，數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！數(shù)學概念的學習是數(shù)學能力提升的核心，是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的根本.概念教學與解題技巧兩者存在密切關(guān)聯(lián)，概念教學是強化解題技巧的基礎(chǔ)，解題技巧是有效概念教學的直接反映.如果將概念與技巧的位置交換，以表層的解題教學代替深層的概念教學，就違背了數(shù)學教育的初衷.因此，探索概念教學的有效性策略具有深刻的現(xiàn)實意義.

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入函數(shù)概念

問題情境能夠幫助學生在數(shù)學知識與生活經(jīng)驗之間建立橋梁，能夠以生動的方式呈現(xiàn)數(shù)學知識，降低教學內(nèi)容的抽象性.問題情境的創(chuàng)設(shè)要注重科學性、合理性，如果在教學中過分強調(diào)情境創(chuàng)設(shè)，而忽略了新課內(nèi)容和學生的實際需要，那么這種不恰當?shù)那榫撤炊鴷箤W生失去興趣，難以達到理想的教學效果.因此，教師在創(chuàng)設(shè)問題情境時，不能盲從主流，需要考慮現(xiàn)實因素.

以“二次函數(shù)”問題情境創(chuàng)設(shè)為例，設(shè)計如下教學片段.

多媒體展示問題1，2和3：

問題1：門前有一塊不規(guī)則的大草坪，在讀幼兒園的小凡突然靈光閃現(xiàn)，想用一條10米長的繩子在那里圍一塊長方形小草坪，以便搭建城堡.想一想，它的長和寬分別是多少米時，草坪面積是最大的？

問題2：小凡和媽媽一起去逛超市，看到一種草莓口味的餅干.這種餅干售價為每千克15元，則小凡購買餅干的金額y元與餅干重量x千克之間有什么關(guān)系？你們能不能列出式子？

問題3：有一家口罩制造廠，若每天安排20位工人，則每人每天可加工口罩120個;若工廠招聘新員工，則每增加1人，每天每人可少加工口罩4個.目前口罩供不應(yīng)求，工廠領(lǐng)導希望每天加工口罩的數(shù)量最多.能不能運用數(shù)學知識幫幫忙？

師：現(xiàn)在四位同學為一組，討論問題1，2，3能分別用什么函數(shù)式來表達？

組1：y=-x2+5x，y=15x，y=-4x2+40x+2400.

師：這組同學對題意有了透徹的理解.接下來進一步思考，將上面這三個函數(shù)表達式分分類.

組2：第一類是一次函數(shù)y=15x，第二類是y=-x2+5x和y=-4x2+40x+2400.

師：很好，這組的同學敏銳地發(fā)現(xiàn)了一次函數(shù).說到一次函數(shù)，大家是否還記得一次函數(shù)的概念？

組3：一次函數(shù)的表達式是y=kx+b（k≠0）.

師：看來大家對一次函數(shù)的印象很深刻.它是關(guān)于自變量的一次式，且自變量一次式前的系數(shù)不為零.

師：我們知道了第一類是一次函數(shù)，那么第二類是什么函數(shù)呢？大家有什么新發(fā)現(xiàn)嗎？

生：……

從問題1，2，3中抽象概括出y=-x2+5x，y=15x，y=-4x2+40x+2400的過程，就是建模過程.建模思想要求學生在較高觀點下提煉問題的本質(zhì)，運用數(shù)學語言來簡化、刻畫和解決問題.教師要從學生的心理特點和學習現(xiàn)狀出發(fā)有意識地滲透建模思想.此外，問題情境與“在讀幼兒園的小凡”這樣活生生的人物及生產(chǎn)口罩這樣的實際結(jié)合起來，添加了生活元素，弱化了數(shù)學的抽象性.

深度的情境創(chuàng)設(shè)是數(shù)學概念教學實現(xiàn)從表層符號學習進入知識內(nèi)在的結(jié)構(gòu)意義理解的必要條件，也是重要的教學設(shè)計途徑.教師要從游戲性、故事性、問題性、真實性、重復性、科學性等維度提高概念教學的情境創(chuàng)設(shè)水平，通過再現(xiàn)生活場景，讓學生感悟數(shù)學來源于生活，激發(fā)學生學習數(shù)學知識的熱情，促進后續(xù)有效課堂的順利打造.因此，設(shè)計合適的問題情境是提高二次函數(shù)概念教學有效性的重要策略.

二、追求“深”“透”“精”，講解函數(shù)概念

“深”“透”“精”指的是知識的深度和厚度.流于表面的知識，最終會隨著知識體系的擴大和知識難度的增大而逐漸被淡忘.只有將知識講“深”，學生才能舉一反三，并內(nèi)化到自身的數(shù)學框架之中;只有將知識講“透”，學生才能透過現(xiàn)象領(lǐng)悟本質(zhì);只有將知識講“精”，學生才能牢固掌握，依托積累的數(shù)學知識解決問題.教師在講解函數(shù)概念的同時，需要無形地滲透類比等數(shù)學思想方法，這不僅是一個“明確概念”的要求，還是一個“用心感悟”的過程.

以上述“二次函數(shù)”問題情境的后續(xù)教學為例，闡明“深”“透”“精”的具體操作及意義.

師：我們接著剛才的問題研究，能不能知道第二類函數(shù)的名稱？

生：……

師：聯(lián)系一次函數(shù)的概念來看第二類函數(shù)，表達式含有x2，可以稱為什么呢？

生：二次函數(shù).

師：猜想正確.根據(jù)一次函數(shù)的概念，試著運用類比的方法，描述你心中的二次函數(shù).

生：表達式像y=ax2+bx+c這樣的函數(shù)就是二次函數(shù).

師：前面組3提到一次函數(shù)的表達式時，明確指出k≠0，這是為什么？

生：當k=0時，y=b，而b是一個常數(shù).此時，不存在未知數(shù)x.

師：若a=0，y=ax2+bx+c是一次函數(shù)、二次函數(shù)還是常數(shù)？

生：當a=0時，y=bx+c，此時是一次函數(shù)或者常數(shù).

師：對，“二次函數(shù)”中“二次”是針對x2而言的，如果不存在x2，那也就稱不上是二次函數(shù)了.

函數(shù)思想是指利用運動和變化的觀點、集合與對應(yīng)內(nèi)在聯(lián)系去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系，直接或間接地運用函數(shù)圖像、性質(zhì)等知識對問題進行分析、轉(zhuǎn)化和解決的思想.譬如，研究投籃后籃球運動的路線或噴水池中噴出水柱的最大高度問題，就能實現(xiàn)生活實例與函數(shù)思想的有效結(jié)合.教師通過類比一次函數(shù)來引導學生猜想第二類函數(shù)名稱，體現(xiàn)了“深”;教師針對學生回答得不太嚴謹?shù)母拍睿釂枮槭裁匆拗苉≠0的條件，體現(xiàn)了“透”;教師以問題串的形式，步步追問，最終讓學生對概念形成了深刻理解，體現(xiàn)了“精”.

章建躍教授認為：適當應(yīng)用反例，羅列一些似是而非、容易產(chǎn)生錯誤的對象讓學生辨析，是促進學生認識概念的本質(zhì)、確定概念的外延的有效手段.概念教學與其他領(lǐng)域的教學有所不同，它允許錯誤概念的存在.不嚴謹，甚至是錯誤的概念也有利于學生掌握正確的概念，其關(guān)鍵在于“揭示存在的沖突與矛盾”.因此，將知識講“深”、講“透”、講“精”是提高二次函數(shù)概念教學有效性的隱含條件.

三、處理課堂意外，獲得驚喜收獲

學生有著活躍的思維和獨特的個性，充滿著無限的活力和創(chuàng)造力，會不時地給課堂帶來許多意外和驚喜.教師應(yīng)鼓勵學生在數(shù)學課堂上發(fā)出不同的聲音，促進其自由發(fā)展.處理未知的課堂意外考驗教師的教學藝術(shù)，教師運用自己的教學智慧解決課堂意外，能夠進一步推進數(shù)學概念教學的深化，這也是教師教學水平和能力的反映.

在前面鋪設(shè)層層情境和復習回顧一次函數(shù)的概念后，可能會發(fā)生如下情形.

師：猜一猜第二類是什么函數(shù)，有何特點？和已經(jīng)學習的一次函數(shù)是否存在差別呢？

生：是二次函數(shù).

師：什么是二次函數(shù)？

生：是指表達式是y=ax2+bx+c，并且要求a≠0這樣的函數(shù).

師：它的表達式為什么是y=ax2+bx+c？你是怎么得到的？

生：因為關(guān)于自變量的一次式，我們稱作一次函數(shù)，而第二類函數(shù)中有x2，它是自變量的二次式.

師：為什么要求a≠0？

生：通過提前預(yù)習知道的.

師：預(yù)習的習慣在數(shù)學學習中至關(guān)重要.a≠0是二次函數(shù)概念中容易遺漏的條件，大家能不能與一次函數(shù)相聯(lián)系來思考一下a≠0是怎么得到的？

類比思想是根據(jù)某個概念已知的特征來推測另一概念可能相應(yīng)存在的特征，并且這兩個概念之間存在著一定的隱性聯(lián)系.類比將具有相同特征的概念聯(lián)系起來，不斷拓寬學生的知識面.學生通過這兩類具有相似特征的函數(shù)的類比，可以進一步推導出二次函數(shù)的概念與性質(zhì).

當教師提出問題“什么是二次函數(shù)”時，預(yù)設(shè)學生表達不完整，教師在學生遺漏a≠0的基礎(chǔ)上強調(diào)其重要性，加深學生的印象，以達到強化的作用.在上述教學片段中，學生的回答與教師預(yù)設(shè)的教學安排不一致時，教師能夠變通化解課堂意外，通過與學生對話，步步深入，指向教學目標，有效地強化二次函數(shù)的概念.因此，恰當?shù)靥幚碚n堂意外是提高數(shù)學教學的“催化劑”.

四、關(guān)注學生實際，總結(jié)函數(shù)概念

數(shù)學教學必須以生為本，了解學生可能面臨的困難，如難以從生活實例中抽象出函數(shù)表達式、難以把握函數(shù)思想、難于納入已有的函數(shù)體系等.教師在二次函數(shù)課堂的最后總結(jié)時，可以讓學生自由分組，自主討論一次函數(shù)概念與二次函數(shù)概念的共同點和不同點，逐漸將教學重心轉(zhuǎn)移到“教會學生會學知識”，將課堂的一部分時間交給學生，讓他們在討論中碰撞出火花，實現(xiàn)知識的內(nèi)化.

師：現(xiàn)在自由分組，根據(jù)今天所學的知識，討論一次函數(shù)與二次函數(shù)的概念有什么異同點.

經(jīng)過5分鐘的討論，分享討論成果.

組1：我發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的表達式不同.

師：還有沒有其他不同點？

組2：“一次”和“二次”，簡單地說就是次數(shù)的區(qū)別.

師：對，次數(shù)是兩者最大的區(qū)別，二次函數(shù)是在一次函數(shù)基礎(chǔ)上“次”的推廣.

師：它們又有什么共同點？

組3：都屬于函數(shù)的領(lǐng)域，有助于刻畫客觀世界和解決具體問題.

師：還有其他的共同點嗎？

組4：一次函數(shù)要求k≠0，二次函數(shù)也要求a≠0.

師：對，也就是要求未知數(shù)的次數(shù)最高項系數(shù)不能為0.

教師在學生自由討論、發(fā)言的基礎(chǔ)上，以書面化、數(shù)學化的語言描述兩者的差別，如表1所示.

教師在總結(jié)函數(shù)概念的過程中，要注重滲透數(shù)學直觀思想.以表格的形式總結(jié)一次函數(shù)概念與二次函數(shù)概念的異同，使學生直觀地認識到二次函數(shù)的概念并透徹地理解兩者之間的異同點.其中，直觀在實質(zhì)上是指借助某種手段或形式使復雜的數(shù)學問題變得形象、易于理解，不能將其簡單地理解為用圖形表達數(shù)學含義.

在上述教學片段中，教師立足于學生現(xiàn)狀進行有效的探索，將“關(guān)注學生”“從學生出發(fā)”落到實處，適當降低數(shù)學知識的認知難度，增加具有趣味性的討論、活動環(huán)節(jié)，依托自由討論鼓勵學生交流學習收獲，讓學生自主構(gòu)建函數(shù)概念網(wǎng)絡(luò).因此，關(guān)注學生實際是提高二次函數(shù)概念教學有效性的立足點.

總 結(jié)

創(chuàng)設(shè)問題情境，降低了概念教學的抽象性和距離感;追求“深”“透”“精”，將厚重的數(shù)學知識講薄、講清晰;處理課堂意外，深化概念生成，獲得意外收獲;關(guān)注學生實際，使學生在數(shù)學學習和心理成長上都取得一定的發(fā)展.總之，從上述四個維度入手精心設(shè)計教學內(nèi)容和無聲地滲透數(shù)學思維方法，有助于實現(xiàn)二次函數(shù)概念的精準教學.

【參考文獻】

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