一道解析幾何習題的解法及教學啟示

趙海莉

[摘 要]最值是高中數學解析幾何中的常考問題，涉及的知識點較多且具有一定的技巧，對學生的分析、計算能力要求較高.因此，很多學生遇到最值問題沒有思路，在測試中失分嚴重.針對這一情況，教學中教師應做好最值問題的深入分析，結合具體例題向學生展示不同解法，并做好不同解法的評價.

[關鍵詞]解析幾何;最值;解法;啟示

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0020-02

在解析幾何最值問題教學中，多數教師采用先講解例題后進行訓練的教學思路，對習題本身缺乏深入的分析，導致部分學生在稍微改變習題的條件時，便不知所措.究其原因在于學生對習題缺乏全面的認識，對解題方法缺乏深入的分析，教師在教學中缺乏針對性引導.

一、習題及解法

解答：（1）題目給出A、B兩點的坐標以及圓C的方程，要證明AB為圓C的直徑.可運用圓的幾何性質“直徑所對的圓周為直角”證明，而直角在高中可使用向量的積為0進行體現，通過“OA+OB=OA-OB”找到A、B兩點坐標之間的關系，并設以AB為直徑的圓上任意一點M，運用[MA·MB=0]，求出該圓的方程，當其剛好為圓C的方程時即得證.

其剛好為圓C的方程，得證.

（2）解法一：由點到直線的距離，可聯想到先確定該點即圓心C.運用已知條件，求解出圓心C的軌跡，最終求解出p的值.

二、解法分析

第（2）問的解法三最為常規，通過運用點在拋物線圖像上和第（1）問的結論構建點坐標之間的關系.通過點到直線的最值，對相關的表達式進行整理，借助二次函數求最值知識求得p的值.該種解題方法適合大多數學生.解法一與解法三思路類似，不同的是解法一求出了圓心的軌跡.兩種方法難度相當，但解法一的思路不易想到.解法二計算起來相對簡單，解題效率較高，其間接應用了直線的平移知識，但該思路很難被學生想到.綜合來看，三種解法雖有所差異，但殊途同歸.教學中教師可要求學生根據自己的實際情況，認真學習適合自己的解題方法，并不斷訓練，真正掌握.

三、教學啟示

通過對上述三種解法的分析，筆者從題目考查的知識點以及解法兩方面思考，得到一些啟示.

1.解析幾何最值習題考查知識的啟示

解析幾何最值習題看似難度較大，但通過對上述題目的分析可知，其考查的知識點都是學生熟悉的，如上述例題中涉及的基礎知識有拋物線方程、向量、點到直線的距離等，只不過將知識進行了巧妙的整合.最值與解析幾何知識相結合的題型較多，教學中教師應做好解析幾何最值題型的匯總與分析，與學生一起分析不同題型考查的知識點，掌握習題的解題技巧，使學生在學習中有針對性地做一些綜合性習題，感受最值、解析幾何知識的綜合應用，在夯實基礎知識的同時，提高其思維的靈活性.

2.解析幾何最值習題解題方法的啟示

解答解析幾何最值習題時，選擇正確的解題方法尤為關鍵.通過上述三種解法的對比分析可知，三種解法在計算煩瑣度、解題耗時上還是存在差別的.因此，在以后的教學中，教師應鼓勵學生多反思解題方法，嘗試著進行一題多解，看能否從另外角度入手尋找更為簡便的解題方法，并鼓勵學生圍繞解析幾何最值習題的解題方法展開討論，做好解題方法的總結.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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[3]? 蔡旭平.例析解析幾何最值問題的五種策略[J].中學數學，2018（5）：65-68.

[4]? 蔡旭平.例析解析幾何最值問題的五種求解策略[J].高中數學教與學，2018（5）：16-18.

[5]? 劉小梅.例析解析幾何中最值問題的求解方法[J].中學數學研究，2017（12）：46-48.

（責任編輯 黃桂堅）