讓數學課帶點哲學的味道

黃夏炎

[摘 要]數學教師讓數學課堂帶點哲學味，能開闊學生視野，提高學生理解和應用數學的能力.

[關鍵詞]哲學;數學課;味道

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0009-02

歷史上，數學是哲學的一個分支.勾股定理的發現和證明者畢達哥拉斯是人類歷史上第一個堪稱偉大的數學家和哲學家，他從數學的角度出發去解釋整個世界，這在總體上指引了自然科學的發展方向，極大地影響了后來的科學家;大數學家牛頓有一本巨著《自然哲學的數學原理》，在這本書中，牛頓不但總結出了力學基本原理，還創造性地用微積分學理論去闡述物體的運動規律，揭示了哲學中“運動”這一概念的數學解釋，提供了科學思維體系的樣板.可以這樣說，一切數學理論都是從哲學延伸而來，最后又歸結于哲學.

既然如此，我們教師在高中數學教學中，不妨讓數學課帶點哲學的味道.

一、數學中“普遍聯系”的思想

哲學中，“普遍聯系”是指事物的聯系具有普遍性.任何事物的各個內部要素之間是互相聯系的，任何事物也與周圍的其他事物相互聯系著.

一個不太明顯的規律是“圓的面積函數的導函數是周長函數”，這是事物內部（此處論域是“圓”）要素之間的聯系;而球的體積函數的導函數是球面積函數，這也是事物內部（此處論域是“球”）要素之間的聯系.而圓與球在“對高維量函數求導得低維量函數”上的相似性，則體現出了不同事物間的聯系.

二、“因果律”的思想

因果律是所有事物間最重要、最直接的關系.因果律有三大法則.

第一個法則是“果由因生”.這是指事物的發生有其時間序列性，不能倒置.

第二個法則是“事待理成”.這是指事物的發展有其客觀性、必然性.中學數學中，“事待理成”主要體現為演繹推理的廣泛使用.數學公理的確立是建立在大量直觀事例之上的歸納結果;定理的證明則是建立在公理之上的演繹結果.中學數學教學中的推理，主要是演繹推理;數學歸納法雖號稱“歸納法”，其證明過程本質上還是演繹推理.事物的發展條件變了，結果就可能會變化，“理”不同，則“事”也可能不同.

[例4]判斷“垂直于同一直線的兩條直線平行”是否正確.

因為“同位角相等，則兩直線平行”，所以初中生給出的答案是“正確”.但是，高中階段的結論是“垂直于同一直線的兩條直線平行或相交或異面”，所以高中生給出的答案是“錯誤”.不同學段學生對同一問題的結論不同的原因，就是推理的初始條件發生了變化：由“同一平面內的兩條直線垂直于同一條直線”變成了“空間中兩條直線垂直于同一直線”.

第三個法則是“有依空立”.這是說，“存在”依托“空無”而得以產生，具體來說，就是“否定之否定”，事物內部矛盾雙方對舊事物否定的一方居主要地位時，舊事物就被否定了，新事物就產生了.

高中數學學習中，正難則反的解題策略，補集的思想，反證法，甚至是選擇題中的“排除法”，都是體現了因果律的“有依空立”的法則.

三、運動的觀點

從運動的觀點看，真理是相對的，哪怕數學也是如此.“平行線不相交”是歐幾里得幾何學的基石之一，但這不是絕對真理.在黎曼幾何的理論體系里，平面內任何兩條直線均有交點，平行的兩條線也是如此（或者說，在黎曼平面上，過直線外一點無法作出與這條直線不相交的平行線）.黎曼幾何在廣義相對論中有著基礎性的應用，而廣義相對論在其誕生以來的諸多實驗中均已得到了驗證.顯然，黎曼幾何與《星際迷航》里的“克林貢語”不一樣，并非只是存在于人腦中的 “思維體操”“空中樓閣”，而是與歐氏幾何并行不悖的真理.這就提示我們，看待一個數學結論，不能認為“除此以外都是錯的”，對“真理”也要“包容匯通”.

不光數學結論是“運動”的，是“發展演進”的，數學方法也是可以且應該發展演進的，最常見的現象是“一題多解”.從學生認識同一問題的不同解法的心理歷程來說，一定是先想到最常見、最簡單的解法，然后在新的思維角度、新的知識工具的支持下，獲得新的解法，這便是個人角度的數學方法的演進.初中數學課上，求二次函數的最值點是用配方法得以解決的;高中數學課上，用導數求二次函數最值點簡單快捷.高中學段兩角差的余弦公式的推導，早先是用兩點間距離公式和余弦定理來推導，在引入向量知識后，則轉而采用向量方法“算兩次”來推導，簡單了許多.而余弦定理的證明過程也因為引入了向量作為工具，而進行了一次“升級”，大大精簡了定理的證明過程.

哲學告訴我們，運動是絕對的，靜止是相對的.紛繁復雜的不同的問題外殼之下，是否有著一樣的解決之道呢？

[例6]（1）平面上兩兩相交的[n]條直線最多把平面分成幾個部分？

（2）平面上兩兩相交的[n]個圓最多把平面分成幾個部分？

（3）平面上兩兩相交的[n]條拋物線最多把平面分成幾個部分？

（4）空間中兩兩相交的[n]個球面最多把空間分成幾個部分？

在中學數學課上，如果能聊點與教學內容有聯系的哲學思想，使之雜糅在數學內容、數學方法、數學策略中，興許能讓學生跳出數學，以更高的觀點來看待數學內容和數學學習.

（責任編輯 黃桂堅）