立足最近發展區 培養有序思維

邵歡歡

[摘 要]在初中幾何學習起始階段，應立足學生最近發展區，注重培養學生的有序思維，發展合情推理能力和邏輯推理能力，以使學生的思維從盲目變為有序.

[關鍵詞]最近發展區;有序思維;全等三角形

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0003-02

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，通過義務教育階段的數學學習，學生能運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.在教學實踐中，教師要培養學生科學的思維方式，養成良好的思維習慣，在分析和解決問題的過程中逐步形成良好的思維品質.

有序思維是指思考和解決問題時遵循一定的順序，按照特定的線索和步驟去探索，步步向前推進，直至完成任務、實現目標的一種思維方式.有序思維可以使學生的思維從盲目變為有序。培養學生的有序思維是培養學生思維能力最基本、最重要的途徑，是提高學生分析和解決問題能力的重要抓手.

筆者曾執教過一節區級公開課《全等三角形復習》，全等三角形是初中幾何的基礎知識之一，是七年級學生初步學習幾何證明，培養“幾何直觀”和邏輯推理能力的起始內容。現階段的學生應用合情推理能力和邏輯推理能力不太強.授課學校的學生剛學完HL判定定理，對全等三角形的認識比較淺，學生幾何基礎水平不高.筆者立足以上學生的最近發展區，將教學設計定位于基礎知識的復習與鞏固、基本技能的操作與訓練，培養學生的有序思維，發展學生的合情推理能力和邏輯推理能力，提高學生分析與解決幾何問題的能力.

一、體驗開放題，培養有序思維

[例1]如圖1，在△ABE中，點D在AB上，點C在AE的延長線上，連接CD，交BE于O，AD=AE，要使△ABE?△ACD，需添加一個什么條件？

設計意圖：學生剛學完全等三角形的五個判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS、HL，對于它們之間的區別與聯系，學生還不是很清晰，在選擇合適的判定定理證明兩個三角形全等時，還存在困難，因此筆者設計了例1，教學時引導學生先尋找有利于證明兩個三角形全等的條件：AD=AE和∠A=∠A，即已知一邊和一角，再對照五個判定定理，添加合適的條件，引導學生思考：想要使用SAS定理，可以添加AB=AC;想要使用ASA定理，可以添加∠AEB=∠ADC;想要使用AAS定理，可以添加∠B=∠C.

通過開放題的練習，培養學生的有序思維：先尋找證明△ABE和△ACD全等的已知條件，再選擇判定定理，最后確定需添加的條件.讓看似感覺無序的題目，在有序思維的指引下，找到解題的思路，同時也復習了SAS、ASA、AAS等判定定理.

練習：如圖2，已知OB=OC，要使△ABO?△ACO，需添加一個什么條件？

設計意圖：再次練習開放題，培養學生的有序思維.先尋找證明兩個三角形全等的已知條件：OB=OC和OA=OA，即已知兩邊，再對照五個判定定理，引導學生思考：如果選擇SAS定理，需要添加∠AOB=∠AOC;如果選擇SSS定理，需要添加AB=AC.

開放題的答案有多個，學生初次解答感覺沒有頭緒，其實其蘊含的內在規律是可以探究的.教學中，教師要引導學生有條理、有序地分析問題，要從呈現解題結果的教學，轉換到揭示解題思維過程的教學.在體驗開放題的學習中，學生逐漸形成有條理的、比較嚴密的思維習慣，使思維能夠從無序狀態向有序狀態轉變.

二、感悟關聯性，培養有序思維

[例2]如圖3，在四邊形ABOC中，已知AO平分∠BAC，AO平分∠BOC，點F在AO上，連接BF，CF.

（1）求證：△ABO?△ACO;

（2）求證：BF=CF..

設計意圖：本例題的教學分為兩個階段，第一階段，依次解答兩個小題.第（1）題考查學生應用ASA定理判定兩個三角形全等的能力;第（2）題考查學生應用全等三角形性質的能力.引導學生從結論開始分析，執果索因，進行合情推理.要證BF=CF，需證△FBO?△FCO，易證∠FOB=∠FOC和FO=FO，再需證明一個條件即可.由（1）知△ABO?△ACO，可得BO=CO，從而兩個三角形全等得證，結論得證.第二階段，對例2進行變式，刪除第（1）題，保留第（2）題，追問：如何進行證明？在第一階段分析的基礎上，繼續引導學生執果索因，要證BF=CF，需證△FBO?△FCO，再需證明一個條件即可.可根據已知條件證明△ABO?△ACO，可得BO=CO，從而結論得證.變式通過刪除第（1）題，增加了題目的難度，延長了合情推理的過程，進一步訓練學生的有序思維.

學生的思維并沒有固定模式，如果任由其發展，就很容易走偏.數學題目分為條件和結論兩部分，數學題目的解答就是根據已知條件和數學原理推導出結論，條件與結論有密切的關聯.因此，探究這種關聯就成為思考數學題目的主要任務.七年級學生在學習全等三角形知識時，幾何直觀和邏輯推理都處于初步階段，引導學生執果索因，開展合情推理，感悟條件與結論之間的關聯，有利于培養學生的有序思維.

三、添加輔助線，培養有序思維

[例3]如圖4，在△ABC中，AB=AC，點O為BC的中點，過點O分別作OM⊥AB，ON⊥AC，垂足為M、N，求證：OM=ON.

設計意圖：引導學生從結論開始分析，執果索因，進行合情推理.要證OM=ON，需證△MBO?△NCO，而已知OB=OC和∠BMO=∠CNO，只需要再證一個條件即可.根據現有的條件無法得到證明這兩個三角形全等的條件.由于七年級學生還沒有學習等邊對等角及角平分線定理，因此想到添加輔助線，聯想到AB=AC和OB=OC，聯結AO，易證△ABO?△ACO，從而得到∠B=∠C，則△MBO?△NCO得證，進而OM=ON得證.

解答幾何證明題時，在現有的圖形條件下不能進行有效的證明，需要添加輔助線，從而掃清思維障礙，為正確解題提供幫助.輔助線的添加是有規可循的.《中學數學課程標準與內容分析》中指出“數學中抽象的對象絕不是無根之木、無源之水”.幾何證明題的解答，需要找到它的“根”和“源”，它的“根”和“源”是建立在幾何直觀與合情推理的基礎上的，而合情推理的開展又是建立在有序思維的基礎上的.本題在合情推理時，發現證明△MBO?△NCO還缺少一個條件，這就是添加輔助線的“源”，再根據AB=AC和OB=OC兩個條件，想到聯結AO，證明△ABO?△ACO，從而得到∠B=∠C，補全了證明全等缺少的條件.通過本例題的教學，啟發學生添加輔助線，厘清思路，找到條件與結論的關聯，既正確解答了數學問題，又培養了學生的有序思維.

在數學教學中，教師不僅要傳授數學知識，而且要培養學生的有序思維;要有意識地引導學生開展合情推理，引導學生有步驟、有條理、漸進式地開展數學學習活動，從觀察、表達、操作以及實踐等諸多環節著力培養學生的數學有序思維，讓學生的思維從“無序”到“有序”，養成良好的數學思維習慣，為今后的學習、生活和可持續發展打下堅實的基礎.

（責任編輯 黃桂堅 ）