立體幾何問題教學(xué)之我見

丁偉偉

[摘 要]立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要知識，是高考的必考內(nèi)容.相關(guān)習(xí)題復(fù)雜多變，解題方法千差萬別.為提高學(xué)生的解題能力，教師應(yīng)做好相關(guān)題型的總結(jié)，分析各題型特點(diǎn)，做好解題思路以及解題細(xì)節(jié)的分析.

[關(guān)鍵詞]立體幾何;高中數(shù)學(xué);教學(xué)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0011-02

立體幾何不僅包括很多的概念，還包括一些定理.筆者在教學(xué)該部分知識時發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生能夠正確敘述概念、定理，但是在解題時卻出現(xiàn)很多的問題.因此，教學(xué)中教師應(yīng)圍繞具體例題多給予學(xué)生解題指導(dǎo)，使其掌握不同題型的解題方法，并鼓勵學(xué)生做好解題總結(jié).

一、“球”問題教學(xué)

二、“截面”問題教學(xué)

截面問題是高中立體幾何的重要題型之一.很多習(xí)題并不會在圖形中繪制出截面，需要學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識以及自身的經(jīng)驗(yàn)判斷截面的形狀，進(jìn)而求解有關(guān)截面的相關(guān)參數(shù).為提高學(xué)生解答該題型的能力，教師應(yīng)注意運(yùn)用多媒體技術(shù)，為學(xué)生展示常見立體幾何圖形不同角度下截面的形狀.同時，為學(xué)生講解相關(guān)的解題技巧.根據(jù)題干給出的圖形，嘗試著繪制出截面的形狀，而后運(yùn)用已知條件進(jìn)一步對截面的形狀進(jìn)行判斷.另外，求解有關(guān)截面的最值問題，則需要設(shè)出合理的參數(shù).結(jié)合設(shè)出的參數(shù)表示出一些線段的具體長度，最后根據(jù)點(diǎn)線面之間的關(guān)系，建立函數(shù)模型，借助函數(shù)知識進(jìn)行求解.需要注意的是，為保證解題的正確性，應(yīng)明確所設(shè)參數(shù)的取值范圍.例如，已知正四棱錐的[P-ABCD]的底面是邊長為3的正方形，O為P點(diǎn)在底面上的射影，PO=6，Q為AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q且與PA、BD都平行的截面為正五邊形EFGHL，求該截面面積的最大值.

解答該題需要根據(jù)題意繪制出對應(yīng)的圖形，先大致確定截面與立體幾何之間的位置關(guān)系.根據(jù)題意可繪制如圖2所示的圖形.題目要求截面面積的最大值，則需要表示出截面面積的表達(dá)式.顯然根據(jù)所學(xué)的立體幾何知識不難證明GEFQ與GHLQ為兩個全等的直角梯形.通過設(shè)出AE的長度，需要注意的是AE的長度取值范圍為（0，3）.另外，運(yùn)用比例關(guān)系不難表示出EF、QG的長，問題也就迎刃而解.

三、“翻折”問題教學(xué)

一些學(xué)生不會繪制翻折后的圖形，搞不清翻折前后邊與不變的關(guān)系，導(dǎo)致不會解題.為幫助學(xué)生更好地解決該類問題，教師講解立體幾何知識時，應(yīng)圍繞所學(xué)設(shè)計相關(guān)的實(shí)踐任務(wù)，鼓勵學(xué)生親自動手進(jìn)行折紙訓(xùn)練.要求學(xué)生先思考、想象一些折疊后的形狀，然后使用白紙進(jìn)行折疊驗(yàn)證，加深對翻折問題的認(rèn)識與理解.另外，運(yùn)用多媒體技術(shù)為學(xué)生動態(tài)展示一些折疊操作，幫助學(xué)生了解平面與立體圖形之間的聯(lián)系，尤其引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題干描述進(jìn)行折疊操作，以便更好地找到解題思路.如：在直角三角形ABC中，[AC=1]，[BC=x]，D為斜邊AB的中點(diǎn)，將三角形BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得[CB⊥AD]，則x的取值范圍為_____________.

該題目具有一定難度，教學(xué)中，要求學(xué)生準(zhǔn)備一張白紙，根據(jù)題干描述先進(jìn)行翻折操作，直觀感受翻折過程，找到不變的量，然后對比翻折前后各個點(diǎn)，嘗試著繪制出翻折后的立體幾何圖形.經(jīng)過學(xué)生的認(rèn)真感受，成功地繪制出了翻折后的立體圖形，并且取BC的中點(diǎn)為E，得到[DE=12AC=12]，[AD=CD=BD]等量關(guān)系.最終通過設(shè)出BC的長度，借助三角形的三邊關(guān)系以及立體幾何知識，求出了x的取值范圍為[0，3 ].

四、“軌跡”問題教學(xué)

高中立體幾何軌跡問題一般難度較大，學(xué)生在各類測試中的失分率較高.為提高學(xué)生解題的正確率，一方面，向?qū)W生講解軌跡問題的類型，使其對該類問題有個整體的認(rèn)識.立體幾何軌跡問題一般包括判斷軌跡的形狀、求解軌跡的長度兩類.其中軌跡形狀主要為所學(xué)的幾何圖形，如圓、線段等.要求軌跡長度，其形狀一般較為特殊，要么為某一線段，要么是某一圓弧;另一方面，教學(xué)中既要注重為學(xué)生講解相關(guān)例題，又要組織學(xué)生開展相關(guān)的訓(xùn)練，使其真正的理解、掌握相關(guān)的解題方法.訓(xùn)練后要求學(xué)生做好總結(jié).例如，如圖3所示為棱長為1的正方體[ABCD-A1B1C1D1]，E、F、P分別為B1C1，C1D1，CD的中點(diǎn)，Q為正方形BCC1B1內(nèi)的動點(diǎn)，若PQ∥平面AEF，則Q點(diǎn)的軌跡長度為_______________.

為使學(xué)生切實(shí)打牢基礎(chǔ)，能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識解答相關(guān)習(xí)題，實(shí)現(xiàn)解題能力的提高，立體幾何教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及具體教學(xué)內(nèi)容靈活采用多種教學(xué)方法，鼓勵學(xué)生積極開展自學(xué)活動，將相關(guān)知識徹底搞清楚.另外，做好相關(guān)題型的分析，使學(xué)生掌握不同題型的解題方法.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

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[4]? 李暐.談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)立體幾何教學(xué)的體會[J].課程教育研究，2019（28）：132.

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（責(zé)任編輯 黃桂堅）