高中數學直觀想象能力培養策略探尋

郭龍祥

[摘? 要] 數學研究的對象是數與形，數與形不是截然分開的，“形”可以用“數”來描述，“數”可以展示“形”的特征. 因此，要想真正實現數形結合，就必須為學生尋找到一個堅實的基礎，這個基礎體現在素養方面的直觀想象素養. 直觀想象包括兩點，即幾何直觀與空間想象. 毫無疑問，直觀想象的直接研究對象是“形”，而“數”則是作為研究“形”的工具而存在. 幾何直觀可以理解為空間想象的基礎，空間想象可以理解為幾何直觀的思維延伸. 學生的直觀想象能力要想得到有效的培養，關鍵要做兩個工作：一是讓學生有一個有效的數學模型，這個模型越清晰，學生的幾何直觀就越清晰，這個模型所包含的關系越豐富，學生的幾何直觀也就能夠伸出更多的觸角;二是學生要有足夠的推理能力與想象能力，只有這樣才能將新的問題情境中的信息與原有的模型產生聯系.

[關鍵詞] 高中數學;核心素養;直觀想象

在高中數學學科核心素養的組成要素當中，直觀想象是六個要素之一，在教學中必須想方設法予以落實. 從核心素養培育的角度來看，直觀想象素養是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養. 其主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路. 有時候對直觀想象還有更為通俗的理解，也就是認為直觀想象是幾何直觀與空間想象的結合. 這樣的理解也是有道理的，數學研究的對象是數與形，數與形又不是截然分開的，除了人們熟知的數形結合之外，每個高中數學教師也都知道：“形”可以用“數”來描述，“數”可以展示“形”的特征. 因此，要想真正實現數形結合，就必須為學生尋找到一個堅實的基礎，這個基礎體現在素養方面就是直觀想象素養. 本文試就直觀想象素養，談一談筆者的一些實踐基礎上的認識，以及相關的思考.

■核心素養視角下的直觀想象理解

要培養學生的直觀想象素養，教師首先要對直觀想象有深刻的理解，只有建立了科學的理解，才能用正確的理念引導生成正確的教學行為. 既然直觀想象已經成為數學學科核心素養的要素之一，那么在核心素養的視角之下理解直觀想象，也就成為高中數學教師的必然選擇. 從上面的通俗理解來看，直觀想象包括兩點，即幾何直觀與空間想象. 毫無疑問，直觀想象的直接研究對象是“形”，而“數”則是作為研究“形”的工具而存在.

同時直觀想象還存在著一種依存關系：幾何直觀更多的是描述學生看到幾何圖形之后產生的直觀感覺，而空間想象則是在幾何直觀的基礎上，學生通過想象建構起來的新的結果（圖形）. 因此，幾何直觀可以理解為空間想象的基礎，空間想象可以理解為幾何直觀的思維延伸. 所以，培養學生的直觀想象素養，就要搞清楚這種邏輯關系，也只有搞清楚這種邏輯關系，才能認識到直觀想象有利于促進學生的知識與能力的形成，有利于提高學生分析和解決問題的能力，從而養成良好的數學思維習慣、創新意識以及應用數學意識與欣賞數學之美. 例如，在高中立體幾何的知識體系當中，正方體是一個基本的圖形. 作為立體幾何中最為規則的圖形，正方體是空間中點、線、面的結合，是一個基本的數學模型，也是培養學生幾何直觀的一個基礎性模型. 這種模型在促進學生思維提升的方面有著重要的作用.

舉一個例子，要讓學生求一個正四面體（如圖1）外接球的表面積和體積，學生會感覺比較困難，因為要確定球心的位置與球的半徑，是比較難以尋找突破口的.

更加深入的分析表明，學生之所以難以突破，是因為大腦當中缺乏必要的幾何模型. 如果學生大腦中的正方體模型比較清晰，那就可以將正四面體還原到正方體當中（如圖2）. 這樣的一個還原，就是幾何直觀的結果，只要學生大腦當中有清晰的正方體模型，并且以此直觀作為基礎進行想象，那么正四面體自然就會出現在正方體當中，從而為問題解決開辟新的視角.

■基于核心素養培養直觀想象能力

從以上分析可以發現，直觀想象能力確實支撐著學生的問題解決能力，這無論是從應試的角度來看，還是從核心素養培育的角度來看，都有著非常重要的價值. 對此有相關的研究表明，從“數學史與數學教育”（HPM）的視角去設計和實踐不失為一種好的培養學生直觀想象能力的選擇，尤其是借鑒古代數學家的思想與智慧，應用“圖說一體”“幾何模型”和“經典反例”等實例來提高學生從直觀想象到推理論證和理解的能力，以逐漸培養學生的直觀想象素養. 來看一個課例：一道高考題的問題解決.

如圖3，在多面體A■B■D■-DCBA中，四邊形AA■B■B，ADD■A■，ABCD都是正方形，E是B■D■的中點. 現有一過A■，D，E的平面交CD■于F點.

（1）證明：EF∥B■C;

（2）求二面角E-A■D-B■的余弦值.

實際教學中當學生看到的是一個多面體時，立即會感覺到難度的存在，再加上是一個立體圖形，學生的空間想象能力如果跟不上，那么這道問題的解決就會遇到非常大的挑戰.

所以在解決這個問題的時候，筆者首先想到的是幫助學生進一步鞏固一個模型，這個模型就是上面提到的正方體模型. 絕大多數情況下，學生大腦中所儲存的正方體模型，就只是一個形體的存在，對其中的規律或者說關系并不十分清晰. 因此，教師教學的第一個任務就是幫學生豐富這個模型. 對此筆者的做法是：在幻燈片上繼續呈現一個正方體，明確最基本的關系，如各邊相等，等等. 其后，研究正方體的對角線（包括體對角線與面對角線，要把相應的線畫出來），然后尋求關系，如面對角線跟體對角線垂直，體對角線（如圖4中的BD■）被相應的面（如圖4中的AC■D■）分為1∶2的兩段，等等.

這樣一個教學過程，雖然與解題并不直接相關，但是卻豐富了學生對正方體這個模型的認識，客觀上也就為學生的幾何直觀奠定了更為豐厚的基礎. 在此基礎上引導學生去想象——想象的方向就是這個基本圖形與要解決的問題中的圖形的關系. 學生通過對比可以發現，如果把原題中的多面體補全了，補成一個正方體，那就可以得到一些基本的關系，而通過這些基本關系的運用，就可以實現問題的求解. 由于這個過程與直觀想象能力的培養距離較遠，因此這里就不再占用篇幅贅述.

回到直觀想象能力培養這個主題上來，在上面的課例當中可以發現，學生的直觀想象能力要想得到有效的培養，關鍵要做兩個工作：一是讓學生有一個有效的數學模型，這個模型越清晰，學生的幾何直觀就越清晰;這個模型所包含的關系越豐富，學生的幾何直觀也就能夠伸出更多的觸角. 二是學生要有足夠的推理能力與想象能力，只有這樣才能將新的問題情境中的信息與原有的模型產生聯系. 而從核心素養培育的角度來看，這種基于較為完整的、清晰的幾何直觀模型的合理想象，就應當是學生在數學學習中表現出來的關鍵能力，也因此培養學生的直觀想象能力的過程，就是培養學生數學學科核心素養的過程.

■直觀想象培養不是一個孤立過程

大量的課例分析可以積累大量的教學經驗，而大量的教學經驗表明，直觀想象的培養其實并不是一個孤立的過程，很大程度上可以將其理解為一個系統工程. 初步的研究表明，在直觀想象的培養過程中，學生需要進一步借助幾何直觀來發展空間想象能力，增強用圖和識圖的能力，體會空間幾何特征的刻畫方法和刻畫的本質，培養創新思維. 進一步的研究發現，當把直觀想象解析為幾何直觀與空間想象之后，直觀想象能力培養的邏輯也就變得很清楚了，也就是上面所強調的，在幾何直觀的基礎上培養學生的空間想象能力. 之所以說這是一個系統工程，是因為在鞏固學生的幾何直觀基礎的時候，教師也有大量的工作要做. 在上面的課例當中可以發現，幾何直觀常常需要模型作為支撐，于是這就涉及數學學科核心素養中的數學建模;空間想象需要學生進行有邏輯的推理與想象，于是這又涉及邏輯推理，其中還有可能涉及運算，等等. 因此，一個直觀想象將數學學科核心素養中的多個要素組織在一起，從而形成一種系統的學習形態. 因此，在培養學生直觀想象能力的時候，教師一定要有系統思維，絕對不能將直觀想象孤立起來，否則那樣的教學過程，一定不能讓學生的直觀想象素養真正落地.