現(xiàn)象教學：讓數(shù)學教學更自然

孟俊

[摘? 要] 現(xiàn)象是比情境更真實的學習素材，現(xiàn)象教學主張“回到問題本身”，強調(diào)用現(xiàn)實的素材去觀察世界、思考世界、表達世界. 文章借用現(xiàn)象教學觀點設(shè)計了“直線與圓的位置關(guān)系”課程，進行了課堂實踐教學，并給出了設(shè)計原理分析和實踐結(jié)果評價.

[關(guān)鍵詞] 直線與圓;現(xiàn)象教學;教學設(shè)計

現(xiàn)象教學主張“回到問題本身”，提倡面向現(xiàn)實世界，通過對現(xiàn)象的觀察和思考，形成心理和符號的表征，形成自己的語言，使數(shù)學知識的生成和發(fā)展自然合理. 下面就以“直線與圓的位置關(guān)系”為例，談談現(xiàn)象教學視角下的概念教學.

■學情分析

上課班級是高一（11）班，學生的基礎(chǔ)較好，但是在探索問題時，思維的深度和廣度相對薄弱. 通過積極參與學生的思維，發(fā)現(xiàn)和解決教學活動中的問題，理解和掌握數(shù)學思想和方法，在教學中及時關(guān)注學生反饋的信息，循序漸進地開展教學，為后面的學習鋪平道路.

■教材分析

直線和圓是學生熟悉的圖形，初中平面幾何對直線與圓有了一定的研究. 本節(jié)課在這基礎(chǔ)之上，進一步研究直線與圓的位置關(guān)系，深刻理解幾何問題代數(shù)化的重要性. 這一課進一步增強了學生觀察、概括、探究問題的能力，為下面圓與圓的代數(shù)研究積累經(jīng)驗.

教學的目標：

（1）掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離;

（2）會用代數(shù)法和幾何法來判定直線與圓的三種位置關(guān)系;

（3）會用直線與圓的位置關(guān)系解決一些實際問題，提高學生的思維能力.

教學的重難點：直線與圓的三種位置關(guān)系的判斷方法及其運用.

■教學實錄

1. 現(xiàn)象呈現(xiàn)

師：請同學們拿出紙和筆，一起來畫一條直線與一個圓.

師：你發(fā)現(xiàn)直線與圓存在怎樣的位置關(guān)系呢？

生：有三種位置關(guān)系：

師：初中講過的直線與圓有什么位置關(guān)系呢？

生：相交、相切、相離.

師：很好. 我們發(fā)現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系，如何度量呢？

生：以公共點的個數(shù)可以判斷直線與圓的三種位置關(guān)系：

師：圖1和圖3的公共點的個數(shù)是清楚的，因此很容易得到相離和相交的位置關(guān)系. 但是判斷圖2的公共點是一個還是兩個并不容易，不易判斷是否相切.

追問：如果公開點的個數(shù)不易判斷，該怎么辦？

生：我們需要知道直線l和圓O的方程，聯(lián)立方程后確定解的個數(shù)，從而得到交點的個數(shù).

師：要聯(lián)立方程，我們就要知道直線和圓的方程，這就需要建立直角坐標系了. 大家能否類比兩條直線的交點知識研究直線與圓的位置關(guān)系？

生：設(shè)圓O：x2+y2+Dx+Ey+F=0，直線l：Ax+By+C=0，聯(lián)立方程Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0，根據(jù)解的情況來判斷直線與圓的三種位置關(guān)系.

師：很好. 我們知道，雖然這個數(shù)字是直觀的，但有些細節(jié)是肉眼看不出來的. 這時，我們需要用計算的方法來量化和用數(shù)字來解釋問題，而“形”和“數(shù)”之間的橋梁就是直角坐標系.

師：從方程的角度出發(fā)，分析了直線與圓的位置關(guān)系，把問題看清楚了. 現(xiàn)在讓我們做這樣一個實驗性的探索.

問題：（1）在紙上畫一條直線，畫出很多圓，這些圓都是同心圓;（2）在紙上畫一個圓，在紙上移動尺子（將尺子的邊緣當作直線）. 想一想：在變化的過程中，除了公共點的個數(shù)外，其他數(shù)量的變化是什么？

生：圓心到直線的距離以及半徑都在改變.

師：請同學們在前面三張圖中分別畫出圓心到直線的距離以及半徑.觀察概括：從圓心到直線的距離d與半徑r之間的關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系有什么聯(lián)系？

生：當圓心到直線的距離d大于半徑r時，直線與圓相離;等于半徑r時，直線與圓相切;小于半徑r時，直線與圓相交.

師：講得很好. 在解析幾何中，當我們知道圓心的坐標和直線的方程時，圓心和直線之間的距離就可以計算出來，這樣我們就可以“量化”這個距離. 能具體一點嗎？

生：設(shè)直線l：Ax+By+C=0，圓O：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），則圓心O（a，b）到直線l的距離d=■. 當d>r時，直線l與圓O相離;當d=r時，直線l與圓O相切;當d

設(shè)計意圖：兩種判斷方法結(jié)合圖像，以代數(shù)法通過計算來判斷，將幾何問題代數(shù)化，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的重要性. 通過拋出現(xiàn)象，讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從而流暢地自主完成對直線與圓的位置關(guān)系的推導.

2. 現(xiàn)象表述

師：非常好！你能總結(jié)出幾種判斷直線與圓之間位置關(guān)系的方法？

生：兩種方法：

設(shè)計意圖：得到的兩種判斷方法，都是從“形”的角度出發(fā)，以“量”的關(guān)系來表示，從而使學生流暢地自主完成了直線與圓的位置關(guān)系的判斷，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的重要聯(lián)系，實現(xiàn)了思維的“內(nèi)化”和“優(yōu)化”.

3. 現(xiàn)象應用

例1：已知直線4x+3y-40=0和圓x2+y2=144.

（1）判斷它們的位置關(guān)系;（2）如果相交，弦長是多少？（解答略）

設(shè)計意圖：引導學生比較判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法（代數(shù)法和幾何法）的優(yōu)缺點. 求弦長時可以求出交點的坐標，也可以由半弦長■、半徑r及弦心距d所構(gòu)成的“特征三角形”求解，更要強調(diào)“特征三角形”的重要性.

例2：自點A（-1，4）作圓（x+2）2+（y-2）2=1的切線l，求切線l的方程，并求切線的長. （解答略）

設(shè)計意圖：進一步發(fā)現(xiàn)圖形的重要性.通過幾何畫板的演示讓學生獨立思考，形成求切線的不同情形，同時提供給學生漏根后的補救方法，培養(yǎng)思維的嚴謹性.

師：本節(jié)課我們有什么收獲？

生1：判斷和研究直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：幾何法和代數(shù)法.

生2：解決問題時要數(shù)形結(jié)合，善于用幾何法處理問題.

生3：……

設(shè)計意圖：課堂總結(jié)是課堂教學不可缺少的部分，學生通過自主歸納本節(jié)課的主要內(nèi)容、掌握的思想和方法，并在教師的指導下通過小組合作繪制思維導圖，培養(yǎng)學生形成自主學習、獨立思考、歸納合作等良好習慣，真正達到我們所倡導的現(xiàn)象教學.

■教學反思

1. 現(xiàn)象教學——在拓展研究中提高解決問題的能力

康托爾說過：“數(shù)學的本質(zhì)在于它的自由.”開展豐富多樣的課堂探究是實現(xiàn)數(shù)學自由的外在表現(xiàn). 這堂課在教學設(shè)計上充分體現(xiàn)了探究式教學的理念，即現(xiàn)象教學所倡導的“回到問題本身”，而我們所研究的正是直面問題本身. 本節(jié)課的難點如何從代數(shù)和幾何兩個方面來刻畫直線與圓的位置關(guān)系，如何提高學生的主觀參與度. 筆者設(shè)置了直線與圓的公共點的個數(shù)不好判斷的問題，在學生的最近發(fā)展區(qū)尋找現(xiàn)象，營造讓學生跳一跳可以夠到的感覺，激發(fā)學生的興趣，讓學生主動參與課堂活動. 對于圓心到直線的距離d與半徑r的比較的探究，無論是設(shè)置動圓還是動直線，都充分讓學生自由談論，并讓代表小組發(fā)言，讓學生充分參與探究活動. 在探索的過程中，學生解決問題的能力自然會提高. 在真實現(xiàn)象面前，學生有了真實的思維，獲得了自己真實的知識.

2. 現(xiàn)象教學——在知識構(gòu)建過程中培養(yǎng)學生的思維能力

在現(xiàn)象教學中，當把直線與圓的位置關(guān)系作為需要知道的“現(xiàn)象”呈現(xiàn)給學生后，學生便進行了真實有效的思考，體驗了自主形成知識的過程，形成了探究的意識和能力. 數(shù)學教學不僅是數(shù)學知識的傳授，數(shù)學教育最重要的目標是通過數(shù)學知識的教學來培養(yǎng)學生的思維能力. 為了培養(yǎng)學生的思維能力，教師可以加深并通過有針對性的問題，拓展學生的思維. 在這節(jié)課中，教師通過拋出現(xiàn)象，讓學生積極思考，引導學生積極參與整個教學過程，通過學生參與活動的全過程，學生的思維不斷深化，在輕松愉快的課堂氣氛中，自然而然地掌握了知識，提高了思維能力.

3. 現(xiàn)象教學——在合作探究的引領(lǐng)下強化學生問題意識

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：教師應鼓勵學生積極主動地參與教學活動. 現(xiàn)象教學強調(diào)面對真實的素材，重在知識的自然生成，在對真實的素材進行思考時，人的思維自然流淌. 筆者認為，教師的啟發(fā)和引導應與學生的自主探究和合作交流有機結(jié)合，使探究活動成為正常的課堂教學. 現(xiàn)象教學是一種開放的教學模式. 在本課中，學生自己畫直線和圓，找出直線與圓之間的位置關(guān)系，并進一步研究判斷方法——幾何法和代數(shù)法. 這些思想和方法是在學生積極參與的過程中自然產(chǎn)生的. 學生在小組合作、生生之間的多維互動，激發(fā)學生強烈的學習興趣，有利于學生“問題意識”的培養(yǎng)，學生在質(zhì)疑、反思中形成獨立思考的能力，真正培養(yǎng)了學生的“四基”和“四能”.

■結(jié)語

當知識教，學生成了知識的記憶者;當能力教，學生成了解題的熟練工;當現(xiàn)象教，學生成了開眼看世界的人. 給予學生現(xiàn)象，他們可以用數(shù)學的眼光去觀察，用數(shù)學的思維去思考，用數(shù)學的語言去表達. 現(xiàn)象教學，讓我們“回到問題本身”，讓學生經(jīng)歷、體驗數(shù)學知識產(chǎn)生發(fā)展的自然性和合理性，讓概念自然流暢地生成，數(shù)學的課堂將充滿樂趣、生機勃勃！讓現(xiàn)象教學走進課堂，真正地做到讓數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根！