新課標(biāo)引導(dǎo)下“指數(shù)函數(shù)（第一課時(shí)）”教學(xué)再設(shè)計(jì)

肖輝

[摘? 要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的實(shí)施是深化普通高中課程改革的重要環(huán)節(jié)，更加突出以學(xué)生發(fā)展為本，把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，著重提出培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 課程結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大的變化，更加關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、知識(shí)之間的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)文化，課程內(nèi)容以主題式展開替代過去的模塊組合. 核心素養(yǎng)并不是與生俱來的，而是通過后天教育習(xí)得的. 只注重知識(shí)點(diǎn)的課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)科視角就容易受限，不利于培養(yǎng)學(xué)生從全局看問題和解決問題的能力，從而難以聚焦學(xué)生核心素養(yǎng)的形成. 單元教學(xué)可以站在“學(xué)生為本”的角度，以學(xué)科具體核心素養(yǎng)為綱領(lǐng)，整合優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，避免狹隘的課時(shí)視角，以“大觀念”的視野讓學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)得到提升.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);單元教學(xué)設(shè)計(jì);指數(shù)函數(shù)

章建躍博士在2012年《中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版）》的“編后漫筆”中提出：“注重整體性才是好數(shù)學(xué)教學(xué).”具體來說，就是“教學(xué)中應(yīng)注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過類比、聯(lián)想、知識(shí)的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問題的能力”.

單元教學(xué)設(shè)計(jì)是在整體把握教材的基礎(chǔ)上，用全局的眼光、系統(tǒng)的方法把教材中具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)進(jìn)行整合、重組并形成相對(duì)完整、動(dòng)態(tài)的教學(xué)設(shè)計(jì). 主張學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)該是一個(gè)整體，從目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況來看，大多數(shù)教師還是把精力放在具體某節(jié)課上，只注重細(xì)節(jié)的處理，而忽視了教材的整體性與系統(tǒng)性. 這種“只見樹木不見森林”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的知識(shí)碎片化，難以形成一個(gè)完整的知識(shí)體系，進(jìn)而導(dǎo)致部分學(xué)生知識(shí)遺忘率偏高、基礎(chǔ)不扎實(shí)等問題. 而單元教學(xué)設(shè)計(jì)正是在新課標(biāo)的背景下，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，整體把握教材，對(duì)教材中具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)進(jìn)行整合、重組并直指學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì).

那么，如何實(shí)施單元教學(xué)設(shè)計(jì)？筆者以“指數(shù)函數(shù)（第一課時(shí)）”為例，嘗試實(shí)施單元教學(xué)設(shè)計(jì).

在“指數(shù)函數(shù)”的教學(xué)過程中，筆者用五個(gè)大問題串聯(lián)起了整節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容：

問題1：請(qǐng)拿出一張白紙（面積記為單位1），分別記錄這張白紙經(jīng)過一次、兩次、三次對(duì)折后的層數(shù)與面積. 經(jīng)過x次對(duì)折后，其層數(shù)y、面積S分別與x有怎樣的關(guān)系？這兩個(gè)關(guān)系中，變量之間能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？

問題2：以上兩個(gè)關(guān)系式里有何異同點(diǎn)？如何定義指數(shù)函數(shù)？有沒有類似的經(jīng)歷或經(jīng)驗(yàn)？

問題3：對(duì)于一個(gè)新的函數(shù)，我們可以研究哪些內(nèi)容？

問題4：該如何研究呢？有沒有成功的經(jīng)歷或經(jīng)驗(yàn)？

問題5：通過今天的學(xué)習(xí)，我們?nèi)绾窝芯恳粋€(gè)新函數(shù)？請(qǐng)說說你的研究思路.

設(shè)計(jì)意圖分析：

問題1直指指數(shù)函數(shù)的定義，雖然是一個(gè)特殊的問題，但是將為后面特殊問題一般化做出鋪墊. 新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要循序漸進(jìn)地加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，因前面學(xué)生剛剛學(xué)完函數(shù)概念不久，部分學(xué)生不一定能完全消化，此處?kù)柟陶J(rèn)知，為后續(xù)探究順利做鋪墊.

問題2通過尋找關(guān)系式中的異同點(diǎn)，歸納概括關(guān)系式中的本質(zhì)特征. 類比一次函數(shù)用y=kx+b（k≠0）的形式表示，反比例函數(shù)用y=■（k≠0）的形式表示，二次函數(shù)用y=ax2+bx+c（a≠0）的形式表示，且對(duì)其一般形式上的系數(shù)都有相應(yīng)的限制，讓學(xué)生嘗試從以往的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中尋找解決新問題的方法，建立探索未知向已知轉(zhuǎn)化的意識(shí).

問題3的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生回顧研究函數(shù)問題的一般指向——圖像和性質(zhì)（值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等）. 這個(gè)問題，明確了研究方向.

問題4是本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)，是學(xué)生思維的制高點(diǎn). 讓學(xué)生思考、明確研究函數(shù)的思路和方法是重要的，它屬于觀念、意識(shí)層面. 教師通過“如何研究”這一問題的提出，引導(dǎo)學(xué)生提煉出如何研究一個(gè)新函數(shù)的一般思路：

（1）利用指數(shù)函數(shù)的定義及其解析式研究函數(shù)的性質(zhì)——從數(shù)的角度.

（2）利用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)——從形的角度.

筆者對(duì)問題4還設(shè)計(jì)了以下追問：

追問1：有沒有成功的經(jīng)歷或經(jīng)驗(yàn)？啟發(fā)學(xué)生回憶具體函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)等）的研究方法與研究結(jié)論，以及一般函數(shù)的研究方法和路徑，學(xué)生較順利地提出了兩種研究思路：（1）利用指數(shù)函數(shù)的定義及其解析式研究函數(shù)的性質(zhì)——從數(shù)的角度;（2）利用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)——從形的角度.

追問2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的解析式，你能得出它的哪些性質(zhì)？會(huì)不會(huì)還有其他性質(zhì)呢？根據(jù)解析式能發(fā)現(xiàn)它的部分性質(zhì)，但“數(shù)缺形時(shí)少直觀”，要研究它的更多性質(zhì)需要借助函數(shù)的圖像，那么如何獲取指數(shù)函數(shù)的圖像？

函數(shù)的學(xué)習(xí)不是孤立的，而是要站在知識(shí)系統(tǒng)整體的高度設(shè)計(jì)之上. 根據(jù)解析式理性分析，再通過圖像直觀感受. 研究指數(shù)函數(shù)的圖像是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，描點(diǎn)法作圖是學(xué)生必會(huì)的基本功，通過讓學(xué)生動(dòng)手畫圖，加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)圖像的認(rèn)識(shí).當(dāng)然，讓學(xué)生作圖不是為了作圖而作圖，而是為了總結(jié)得出畫指數(shù)函數(shù)圖像的基本方法——描點(diǎn)法和三點(diǎn)作圖法，為以后比較快捷地畫出指數(shù)函數(shù)圖像奠定基礎(chǔ);指數(shù)函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)本著類比、由一般到特殊和由特殊到一般的思想，充分利用幾何畫板進(jìn)行展示，不斷讓學(xué)生做和說，讓學(xué)生思考指數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律，觀察圖像的共同特征，這樣由前面對(duì)指數(shù)函數(shù)圖像的深度剖析，得出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可謂是水到渠成的事情.

問題5是開放型問題，總結(jié)并回顧本節(jié)課內(nèi)容，從知識(shí)和方法的角度都有不同的收獲和體會(huì). 怎樣研究新對(duì)象、解決新問題更是需要不斷地嘗試與總結(jié).

通過五個(gè)大問題的提出，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題→提出問題→尋找解決問題的思路（特殊）→得到解決問題的一般方法（一般）→將其推廣至解決更多問題（特殊）. 通過學(xué)生的自主探究活動(dòng)，使學(xué)生掌握了指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，這是本節(jié)課的一條明線;同時(shí)，在探索對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的過程中，讓學(xué)生建構(gòu)研究新函數(shù)的一般方法，也完成了本節(jié)課的一條暗線的鋪排. 整個(gè)教學(xué)過程以具體問題來驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行思考的系統(tǒng)化方式很好地營(yíng)造了課堂對(duì)數(shù)學(xué)問題的分析和討論的氛圍，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 更為重要的是，學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力的養(yǎng)成和數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，正是在一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決中完成的，通過數(shù)學(xué)建模使得學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)逐步向數(shù)學(xué)理性思維發(fā)展，豐富了學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)過程.

“指數(shù)函數(shù)”這節(jié)課站在單元整體教學(xué)的高度，無論從本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)還是重難點(diǎn)的把握，我們都可以看出，本節(jié)課的教學(xué)有兩條線索：一條是明線，即對(duì)于指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的理解與把握;另一條是暗線，即怎樣研究一類未知的函數(shù)，對(duì)其基本思路和方法的探究，這也是今后研究和學(xué)習(xí)的一條主線. 從表面上看，我們的教學(xué)是按照明線的目標(biāo)步步深入的，但從本質(zhì)上看，對(duì)于暗線的探究更為重要，一方面它不但推動(dòng)了明線的發(fā)生和發(fā)展，另一方面著眼于將研究函數(shù)的方法內(nèi)化為學(xué)生的一種能力，在探究過程中鍛煉思維，為整個(gè)單元的教學(xué)建立了研究問題的范式. 單元教學(xué)設(shè)計(jì)回歸了學(xué)生本位，賦予學(xué)生選擇和主動(dòng)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)和能力，鍛煉了學(xué)生的獨(dú)立學(xué)習(xí)能力. 從數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想、基本方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等方面，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有了一個(gè)整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和理性精神.