教“融通”的數學

【摘 要】“融通數學”的教學理念要求數學教學應融化概念與原理、融合思路與方法、融入文化與生活，達到溝通知識聯系、打通體系結構、悟通本質規律的目的，其教學設計應遵循“順木之天，以致其性”“立乎其大，小不能奪”“務本為本，本立道生”等原則。

【關鍵詞】融通數學;概念教學;整體結構;數學本質

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）11-0076-05

【作者簡介】陸建，江蘇省濱海中學（江蘇濱海，224500）校長，正高級教師，江蘇省特級教師，“江蘇人民教育家培養工程”培養對象。

“融”指融化、融合;“通”指通達、通透。融則通，通則透，“融”是過程，“通”是目的，“透”是最佳狀態。“融通”指融會貫通，把各方面的知識融化匯合、貫穿聯系，得到全面而透徹的理解。“融通數學”意指在數學教學中，要突出知識的聯系與遷移，把握知識的整體性與系統性，通過教學各要素之間的融合，實現整個教學結構之間的通達，從而促進學生的自我建構與完整發展，提升學生的核心素養。[1]

“融通數學”要求數學教學應融化概念與原理、融合思路與方法、融入文化與生活，達到溝通知識聯系、打通體系結構、悟通本質規律的目的。因此教師在教學過程中，要深刻理解教學內容，把握知識內在聯系，優化知識生成方式，挖掘數學思想方法，吃透數學內容本質，說到底就是要教“融通”的數學，而不是教“混沌”的數學。下面以人教版高中數學必修一“充分條件與必要條件”的教學設計為例，談談本人的粗淺想法，敬請同行批評指正。

一、教學實踐

1.問題情境先引領。

問題1：小王是某高校的碩士研究生，想報考李教授的基礎數學專業博士生，小王給教授發了封郵件，闡述了自己的理由：“我不想比別人差，父母也要我考博?！笨墒墙淌诮o他的回復是：“你考博的理由不‘充分?！边@是為什么呢？

問題2：黨的十八屆五中全會提出“十三五”期間，必須堅持“創新、協調、綠色、開放、共享”的發展理念，特別強調，堅持綠色發展是保持中華民族永續發展的“必要條件”，這里的“必要條件”是什么含義呢？

【設計意圖】很多數學概念都有深厚的現實背景，充分條件和必要條件也不例外。事實上，在我們的日常生活中，面對兩件事情，常常需要進行比較、分析，然后作出判斷，進而明確它們的關系，充分條件和必要條件就是其中的兩種特殊關系。因此本環節中，教師從學生身邊熟悉的實例引入，讓學生先行理解生活中“充分”“必要”的意義，在此基礎上自然地揭示課題。從生活中的用語到數學中的定義，過渡自然、銜接順利，能夠激發學生學習的興趣和探究的欲望，啟發學生用數學的眼光觀察世界。

2.“推出”符號簡表達。

一般地，當命題“若p則q”為真命題時，記作p?q;當命題“若p則q”為假命題時，記作p [?]q。

問題3：下列空格處應該填“?”還是“[?]”？

（1）x2>4? ? ? ? ? ?x>2;

（2）a，b都是奇數? ? ? a+b是奇數;

（3）n是4的倍數? ? ? n是2的倍數。

【設計意圖】數學符號語言具有抽象性、統一性、簡潔性的特點，它能準確明了地刻畫數學對象的本質特征。此處引入數學“推出”符號“?”，既簡化了數學命題的表達，又表明了命題的真假，可謂“一舉兩得”。而“推出”符號連接的兩個數學判斷到底具有什么樣的關系呢？接下來學習的充分條件和必要條件就反映了它們的關系，因此，“?”符號的適時引入，為簡約化表達概念提供暗示和鋪墊，助推了充分條件和必要條件定義的順利生成。

3.自主建構巧生成。

問題4：根據剛才的討論，你能嘗試著給充分條件和必要條件下定義嗎？

追問1：根據充分條件和必要條件的定義，你能舉例說明嗎？

追問2：在定義中，為什么取名“充分條件”“必要條件”而不用其他名稱呢？

【設計意圖】“一個好的例子勝過一千次說教”，通過追問1，讓學生自己舉例，深化學生對概念的理解，鞏固形成的概念認知。通過追問2，深入挖掘“充分”“必要”的內涵，p是q的充分條件，表明p成立一定能夠充分地保證q的成立，p對q來講是充分的、足夠的、盡量的;q是p的必要條件，表明要使p成立，q的成立是必要的、必須的、必不可少的，或者說若q不成立，p也一定不成立。3個問題環環相扣、層層深入，隨著問題的討論和解決，學生對概念的理解不斷深化，思維的腳步不斷逼近概念的核心，數學抽象素養得到有效發展。

4.多元聯系深挖掘。

（1）集合的視角。

問題5：設集合A={x|x≥1}，B={x|x>0}，則“x∈ A”是“x∈ B”的什么條件？

設集合M =（-∝，1）∪（1，+∝），N={x|x2-1≠0}，則“x∈ M”是“x∈ N”的什么條件？

從這兩個問題的解決中，你能得到什么一般性的結論？

【設計意圖】數學知識是相互聯系的，數學教學要利用和加強這種聯系，實現多元勾連，幫助學生形成良好的認知結構。本環節借助帶有集合背景的兩個問題，引發學生從集合的視角對充分、必要條件進行再認識和思考，學生在對兩個問題的共同特征進行比較分析的基礎上，抽象概括出反映兩個數學判斷之間關系的充分、必要條件也可以用集合的包含關系來刻畫和描述，數學知識的聯系性使數學知識互聯互通、觸類旁通，同時滲透了“特殊與一般”的數學思想，進一步發展了“數學抽象”的數學素養。

（2）命題的視角。

一段對白：在由p?q對充分、必要條件進行定義時，小p和小q曾有過一段有趣的對話——

小p得意地對小q說：“有我就有你，我總算把你拿下了！”小q不服氣地說：“你別高興得太早，要知道，沒有我就沒有你！如果我不在了，你也活不成，請你勿忘我！”小p想想小q說的也對：更何況“沒有我也可能有他，而有他卻不一定有我呢？”想到這，小p趕忙向小q道歉，從此兩人不再爭吵，平等相處。

問題6：你覺得他們兩人說的有道理嗎？為什么？

問題7：戰國時期思想家墨子的著作《墨經》中有一段話：“有之則必然，無之則未必然;無之則必不然，有之則未必然?！边@兩句話與充分、必要條件有聯系嗎？談談你的理解。

【設計意圖】在定義充分、必要條件時，p，q之間具有關系“p?q”，那么p，q之間是否還具有其他的推出關系呢？這對理解充分、必要條件至關重要。為了突破這個難點，本環節利用擬人化的手法，將p與q的關系寓于風趣的對話之中，幽默生動的語言把充分、必要條件與命題的關系表述得清清楚楚、活靈活現、易于理解。同時利用《墨經》中的兩句話來佐證上述關系，再現古人的智慧，滲透數學文化。本環節既為充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件概念的生成形成鋪墊，又運用了類比思想，發展了邏輯推理的數學素養。

（3）拓展的視角。

問題8：我們在定義充分、必要條件時，只關注p?q，至于q能否推出p并非我們關注的重點，但q?p與q [?]p還是有區別的，請談談你的想法。

師生共同分析q?p說明p對q是必要的;q [?]p說明q對p不充分，p對q是不必要的，由此得出下列概念：

如果p?q且q [?]p，那么稱p是q的充分不必要條件;

如果p [?]q且q?p，那么稱p是q的必要不充分條件;

如果p?q且q?p，那么稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件;

如果p [?]q且q [?]p，那么稱p是q的既不充分又不必要條件。

問題9：我們能否從集合和命題的角度來說明上述幾個條件呢？

師生共同梳理相關知識，達成下列共識：

從命題角度看，若原命題為真，逆命題為假，則p是q的充分不必要條件;若原命題為假，逆命題為真，則p是q的必要不充分條件;若原命題和逆命題同時為真，則p是q的充要條件。

從集合角度看，若A? B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件。

【設計意圖】類似于集合A? B，可以得出A? B或A= B一樣，p是q的充分條件，僅表明p?q，但q?p卻不一定成立，于是，就有必要對p是q的充分條件進行進一步細化拓展。通過解決上述兩個問題，把p與q的關系區分為四種情況，并聯系命題和集合來理解，使學生對概念的理解進一步升華。在本教學環節中，教者從集合、命題、拓展等三個不同的視角對概念進行多元表征，打通了知識的前后聯系，使學生的數學理解自覺地進入融會貫通的狀態，期間數學抽象、邏輯推理等數學素養得到了進一步發展。

5.運用概念助理解。

例1：下列各題中，p是q的什么條件？（在“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分又不必要條件”中選一個）

①p：四邊形是正方形

q：四邊形的四條邊相等

②p：兩直線平行? q：內錯角相等

③p：x2+x-2=0? ? q：x-1=0

④p：a2>b2? ? ?q：a>b

例2：不列各題中，p是q的什么條件？（在“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分又不必要條件”中選一個）

①p：x2-2x-3<0? q：x2-x-2<0

②p：|m|≠3? ? ? ? ? ? q：m≠3

③p：f（0）=0 q：f（x）是R上的奇函數

④p：b2=ac q：a，b，c成等比數列

⑤p：x+y≠3 ? ? ? q：x≠2或y≠1

問題10：你能總結一下判斷充分條件，必要條件的方法嗎？

【設計意圖】四種條件的選擇與判斷是常見的題型，這類問題常以相關數學知識為載體，考查學生對概念的理解和運用。本環節通過兩個例題進行實戰演練，在解題實踐中鞏固充分、必要條件的認知，同時總結出相應的判斷方法，即定義判斷法、反例否定法、集合關系法、等價命題法，從而揭示解題規律、領悟方法本質，有利于提升學生歸納、概括的數學能力和數學抽象素養。

6.自主小結促提升。

問題11：請你談談本節課學習了哪些內容？有什么收獲和啟發？試畫出本節知識內容的網絡結構圖。

通過學生思考、自主小結、反饋交流、教師修正，并得到下列知識網絡結構圖：

[定義判斷法][充分非必要條件][必要條件][反例否定法][集合關系法][等價命題法][判斷方法][必要非充分條件][充要條件][充分條件][建構聯系][集合關系][命題真假]

【設計意圖】本環節通過讓學生回憶學過的知識、滲透的數學思想方法、經歷的數學體驗感悟，再讓學生畫出知識網絡結構圖，從而對教學內容進行整合，將零散的知識積聚、優化，形成結構緊湊的知識體系，使本節課的教學達到了融會貫通的良好境界。

二、教學反思

1.順木之天，以致其性。

“順木之天，以致其性”出自唐代文學家柳宗元的《種樹郭橐駝傳》，意指只要順應樹木自然生長的規律，充分發展它的習性，就能使樹木活得久且長得好。這句話啟發我們在教學中，要順應數學概念發生發展的規律，尊重知識的邏輯合理性，促進學生自然地獲取概念、生長知識;同時也要順應學生思維發展的規律，教學生學會思考，進而發展理性思維，提升核心素養。數學概念的產生往往是自然而然、順其自然的，而不是別扭的、強加于人的。數學教學應以自然的引入、自然的問題、自然的啟發，讓學生自然地參與到數學概念的建構中來，自然地融會貫通、生長思維、提升素養。

本設計以兩個生活中的情境為認知起點，沿著充分、必要條件概念發生、發展的線索，設計了11個環環相扣的問題，自然地展開探究的畫卷，幫助學生積累數學活動經驗，有效地促進了數學概念的孕育、拔節和生長。同時教師引導學生聯系集合、類比命題、拓展推廣和探尋判斷方法，順應學生思維發展的規律，不斷激發學生進行綜合、分析、歸納、概括、聯想等思維活動，滲透思維策略的指導，使學生對概念的理解得到自然的深入，數學抽象、邏輯推理等數學核心素養得以有效的發展。

2.立乎其大，小不能奪。

數學認知結構是學生頭腦中的數學知識，按照自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點，組合成的一個具有內部規律的整體結構，對數學概念深刻理解、融會貫通的標志是學生頭腦中是否形成了良好的概念知識結構?！睹献印防镉芯涿裕骸跋攘⒑跗浯笳?，則其小者不能奪也?！睆娬{抓住中心或者重點環節，其他方面就會環繞中心而不偏離，這句話啟發我們，數學概念教學應該注重整體，抓大放小，避免被繁雜的細節所干擾。要以建立系統完善、聯系緊密的數學概念認知結構，滲透數學思想方法，進而探究研究問題的一般思路等作為課堂教學的中心任務。

本節課中，教師通過問題情境、學生活動、意義建構、數學理論、數學應用、回顧反思等課堂內容組織形式，緊密聯系集合、命題等知識，打通知識壁壘，幫助學生形成關于“充分、必要條件”的知識結構;通過小結提升，繪制知識網絡結構圖，畫龍點睛、錦上添花，使學生形成的概念認知逐步結構化、緊密化、整體化。在知識建構的過程中，學生深深地體會到了研究新的數學對象的一般思路，即“對同類對象進行比較、歸納共同本質屬性、下定義、概念辨析，與相關數學對象比較、分類、概念應用”等，以此優化學生的思維品質，養成“數學地”思考問題的習慣，從而發揮數學學科育人的作用。

3.務本為本，本立道生。

“君子務本，本立而道生”，孔子的這句話借鑒到數學教學中，提醒我們只有把握了數學本質，才能準確地理解與建立相關的數學概念、公式、思想方法，把握其在解決問題中體現的規律和作用，從而產生深度學習。因此，數學教學要突出知識之間的溝通聯系，探尋聯系之中的共性，挖掘其中的數學內涵，凸顯數學內容的本質，促進理解的融通。充分、必要條件的本質是描述兩個數學判斷之間條件關系的一種數學語言，而集合、命題也是刻畫數學對象的常用語言，從這一認識出發，教學設計突出了充分、必要條件與命題、集合之間的聯系，瞄準共性、顯化本質，多角度地表征概念，幫助學生把握概念的內涵，優化了學生的認知結構。

“融通數學”順應數學知識發生發展的規律，以問題為抓手開啟思維、展開探究、追尋本質，努力構建符合學生認知特點的整體結構，促進理解的融會貫通，有效地提升了核心素養，需要我們在今后的教學實踐中不斷地研究和探索。

【參考文獻】

[1]陸建.促進理解融通 提升核心素養——基于“融通數學”理念的“拋物線標準方程”教學設計[J].中學數學月刊，2019（8）：24-26.