高中“解三角形”教學難點與對策

顏亞新

【關鍵詞】解三角形;高中數學;教學難點

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）11-0068-02

就高中數學的教與學而言，“解三角形”就是在充分理解正余弦定理的基礎上，運用相關定理和方法去解決與三角形有關的問題的思維過程，它包括求解三角形的邊長、角度、周長和面積以及與三角形相關的幾何問題，還有與之相關的實際應用問題。在高中階段，“解三角形”問題往往形式多樣，變化豐富，問題設置巧妙，知識交匯較多，這也就必然提升了題目難度，從而使得解決問題的思維方式多變，破解方法也多種多樣。

結合自身的教學實踐和學生的訪談調查，除了學生自身內在動機和自我效能感之外，筆者歸納了學生在學習“解三角形”時常遇到的幾種困難。這里對相應的教學策略進行初步探討，以期拋磚引玉。

1.“角化邊”還是“邊化角”的選擇困難和漏解問題。

筆者根據學生作業的完成情況以及與學生的訪談，發現學生不僅容易出現“角化邊”與“邊化角”的選擇困難，還常出現漏解的問題。例如，已知△ABC內角A，B，C的對邊是a， b， c，若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），則該三角形的形狀為? 。學生在解類似題的過程中，會出現“角化邊”還是“邊化角”的選擇困難，此外還會出現兩種漏解情況：一是在運用“角化邊”時算得c2（b2-a2）=（b2+a2）（b2-a2），卻誤將關系式中的（b2-a2）簡單約去，忽略了a=b的情況;二是在運用“邊化角”時算得sin2B=sin2A，卻只得到2A=2B，漏了A+B=[π2]的情況。

針對此種情況，要指導學生進行正、余弦定理的推導，幫助學生真正從數學的視角去理解定理，而不是僅僅依靠對定理公式及其變式的機械記憶。在證明余弦定理時，我們除了可以采用向量法，還可以考慮坐標法、作高法、正弦定理證明等方法。此外，根據學生的解題錯誤，要結合典型例題和變式，及時強調這兩種方法中容易出現的漏解問題，幫助學生厘清可能出錯的原因，也給學生自主感悟和思考的空間。當然，教學中不應只是簡單的口頭強調，必須要在適當的習題訓練量中予以強化。

2.三角函數的恒等變換與綜合應用問題。

高中的“解三角形”問題一般是有一定綜合性的，不僅是正、余弦定理的應用，還會牽涉三角函數、三角恒等變換以及平面向量等相關知識。例如，已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊是a， b， c，若[ba] + [ab] = 6cosC，則[tanCtanA] + [tanCtanB] 的值是? ?。解決此類問題的關鍵是切化弦、兩角和的正弦公式及誘導公式。因此，教學中要選擇并借助典型例題，將相關知識進行適當的、必要的鞏固和應用性聯系，促使學生形成完整的知識儲備，引領學生在解三角形中形成知識鏈接的意識和能力。當然，需要提醒的是，學生在三角函數的化簡運算中經常會出現錯誤，我們就要在教學訓練中引起足夠的重視，要盡量避免學生在解題中“會而不對、對而不全”的現象。

3.正余弦定理的理解與三角形面積范圍問題。

這類問題的共同特征就是已知三角形的一邊及其對角，求另外兩邊的和、積、平方和的取值范圍（或最值）問題。已知條件相同，求解的問題不同，但解決的方法可以是相同或相似的，而且問題之間是可以相互轉化的。這類題型主要是考查“解三角形”中的正弦定理、余弦定理、三角函數、均值不等式和函數的值域等內容，知識覆蓋面廣，解法也多樣，能比較全面地考查學生的數學基本素養。在這類問題的解法教學中，可以引導學生從多個角度去進行解法的探究，如利用正弦定理，可以化邊為角，從而轉化為三角函數的值域問題;利用余弦定理，建立其某些變量之間的等量關系，再利用基本不等式去求解;充分利用數形結合思想，通過三角形的面積進行適當轉化;結合余弦定理，轉化為利用三角形的中線去求解;利用向量數量積（基底思想）進行解三角形問題的解答;等等。

4.“解三角形”的數學建模與實際應用問題。

在這類實際應用問題的解答中，學生往往在讀題審題、數學運算方面存在問題，但更深層次的原因是數學抽象和數學建模意識和能力的欠缺。《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，高中數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六個方面。其中數學建模素養是指對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型并解決問題。數學建模是運用數學知識去解決社會生產和生活實際問題的基本手段，是促進學生數學理解的有效路徑，也是推動數學科學發展的不竭動力。就高中“解三角形”問題而言，教師需要選擇一些較易理解和較易進行數學建模的問題，引導學生在真實的情境中從三角形的視角去抽象認知、提出問題，運用數學思維去分析實際問題、建構認知模型，使用“解三角形”的代數和幾何知識的視角去尋找條件差異、確定解題方法，進行邏輯縝密、計算嚴謹的求解過程，運用合理的數學方法去檢驗自己的解題結果，以此再嘗試去改進和優化已有思維模型，實現數學學科核心素養的培育。

（作者單位：江蘇省吳江中學）