淺析高中概率統(tǒng)計(jì)中的運(yùn)算

吳道凱

摘要：運(yùn)算能力既是統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的核心，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六大能力之一。在課程設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)中可以通過培養(yǎng)學(xué)生樹立科學(xué)的運(yùn)算思維意識(shí)，掌握恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法，鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)據(jù)運(yùn)算的實(shí)踐活動(dòng)，拓展和提高數(shù)據(jù)運(yùn)算觀念，使學(xué)生自覺地去分析數(shù)據(jù)提取信息，遇到問題時(shí)通過科學(xué)的運(yùn)算方法收集數(shù)據(jù)來解決問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：運(yùn)算能力? 核心素養(yǎng)? 課堂教學(xué)? 概率統(tǒng)計(jì)

在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中經(jīng)常有學(xué)生老是抱怨題目信息量大，數(shù)據(jù)多，解題速度慢，運(yùn)算跟不上影響綜合成績(jī)的提升。把問題歸結(jié)于基礎(chǔ)不牢靠，刷題量不足等因素，究其原因，這是一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的問題。

高中的概率統(tǒng)計(jì)從內(nèi)容看，主要包括排列組合，二頂式定理，隨機(jī)抽樣，用樣本估計(jì)總體，變量的相關(guān)性，隨機(jī)事件的概率，古典概率，幾何概型，回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差，正態(tài)分布等相關(guān)知識(shí)。

重點(diǎn)是用樣本估計(jì)總體，古典概率，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差，應(yīng)用回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)思想方法解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力，主要強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，以實(shí)際問題為背景，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，突出培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)與概率的思想和數(shù)據(jù)處理能力及應(yīng)用意識(shí)。

但無論是哪一部分內(nèi)容，體現(xiàn)在解題過程中至少有90%以上的結(jié)論是通過運(yùn)算來獲取。可以這么說，運(yùn)算能力的強(qiáng)弱反映了一個(gè)學(xué)生處理問題的能力。

運(yùn)算能力強(qiáng)的學(xué)生主要表現(xiàn)在破題快，解題過程中能夠快速、靈活地運(yùn)用法則、定理、性質(zhì)、公式等，這類學(xué)生比較善于觀察、比較、分析、挖掘提煉信息。事實(shí)上，這是與記憶能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力以及空間想象能力等其它認(rèn)識(shí)能力相互滲透、相互支撐形成的一種綜合的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，它不是簡(jiǎn)單地通過足量的刷題就可以形成的。

根據(jù)解題的復(fù)雜程度，我們可以把運(yùn)算細(xì)分成以下兩種類型：

①簡(jiǎn)單運(yùn)算：即簡(jiǎn)單的套用公式，定理，法則，定義的運(yùn)算。這一類運(yùn)算比較直觀，看起來“死板”“機(jī)械”，可以通過大量的練習(xí)得以提高，這是決定運(yùn)算速度的淺層次原因，這里不再贅敘。

②思維運(yùn)算：即通過分析和綜合，抽象和歸納，類比和聯(lián)想，構(gòu)造和建模的一種需要通過思索提煉的綜合運(yùn)算。這一類運(yùn)算具有一定的深刻性和創(chuàng)造性，有其深度與廣度，這是主宰運(yùn)算速度的深層次原因。

例如下面甲、乙兩個(gè)學(xué)生對(duì)例題的解法：

例一，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：

求：至少2人排隊(duì)等候的概率.

[解] 記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F彼此互斥.

甲解法：記“至少2人排隊(duì)等候”為事件H，則H=C+D+E+F，所以P（H）=P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.

乙解法：記“至少2人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G，所以P（H）=1-P（G）=1-0.26=0.74

題目難度不大，但比較甲、乙兩人的運(yùn)算，不難看出，甲的方法有一定的運(yùn)算量，且分類層次較多，因此，不僅難以提髙速度，反而易出錯(cuò);相反，乙在其思想方法下，幾乎沒什么運(yùn)算量，運(yùn)算速度快。

可見，運(yùn)算是思維的“載體”，不是簡(jiǎn)單的計(jì)算，它還應(yīng)該有更深的內(nèi)涵與深度，運(yùn)算能力體現(xiàn)了反應(yīng)能力和思維能力，是數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

運(yùn)算速度慢的這部分學(xué)生題做了不少，看似很努力了，但其運(yùn)算能力就是得不到明顯的提高，究其原因，不是計(jì)算量不足，而是思維上的運(yùn)算不足，解題時(shí)停留在問題本身，跳不出思維的定勢(shì)，與只重視數(shù)學(xué)知識(shí)而忽視數(shù)學(xué)思維有關(guān)，貌似勤奮但學(xué)習(xí)上未觸及思維的靈魂。

“數(shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法”，學(xué)習(xí)中學(xué)生有沒有深刻的理解數(shù)學(xué)思想，其運(yùn)算能力是大不一樣的，在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，不僅要不斷引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)與方法中提煉數(shù)學(xué)思想，還要注重運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去分析問題與解決問題，這才是培養(yǎng)與提高學(xué)生運(yùn)算能力的一條行之有效的途徑。不能夠以“練”代“思”，這樣容易造成思維上的呆滯。

那么，在概率統(tǒng)計(jì)中該如何開展課堂教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力呢？

首先，數(shù)學(xué)的理論是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)和依據(jù)，概率統(tǒng)計(jì)中定義公式非常多，必須要正確理解、切實(shí)掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、公式、公理等，才能找到合理的解法，才能取得正確迅速的運(yùn)算結(jié)果。

在概率統(tǒng)計(jì)新知識(shí)的課堂教學(xué)中，由于概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容多且雜，教材中各部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，教學(xué)任務(wù)又重，課時(shí)緊，部分老師在課堂上并沒有引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)公式，弄清楚知識(shí)的成因由來，構(gòu)建知識(shí)體系。學(xué)生單純地記憶公式就不能對(duì)公式定理有深刻的理解，導(dǎo)致遇到問題時(shí)未能有效地快速破題影響運(yùn)算速度。例如二項(xiàng)式定理的考查，公式學(xué)生倒是記得，但是由二項(xiàng)式系數(shù)得到的一些系數(shù)和的結(jié)論學(xué)生不理解，當(dāng)變式出現(xiàn)時(shí)就懵圈了。

建議在課堂教學(xué)中新知識(shí)的講解應(yīng)盡量做到深刻分析公式、定理的實(shí)質(zhì)，講明講透公式使用的條件、范圍。對(duì)公式、定理的使用要做到正用、反用、變形用。并通過課堂練習(xí)及時(shí)鞏固，使學(xué)生在頭腦中建立起清晰的第一印象。這里不要怕上課進(jìn)度“慢”，課堂上講地“慢”是運(yùn)算“快”的前提。

其次，概率統(tǒng)計(jì)問題是出了名的題干文字多，圖表多，數(shù)據(jù)多三多，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生做好審題，明確運(yùn)算對(duì)象，有意識(shí)地強(qiáng)化分析獲取數(shù)據(jù)信息，將概率統(tǒng)計(jì)問題化歸為運(yùn)算問題的能力。學(xué)生在解題時(shí)，往往是將審題當(dāng)作了讀題，而數(shù)學(xué)的條件絕大多數(shù)都是須要等價(jià)轉(zhuǎn)化的，缺少了對(duì)題干關(guān)鍵條件的分析，無法在腦海中規(guī)劃出合適的解題程序?qū)е氯胧制祁}時(shí)步履艱難。

例如在選擇超幾何分布和二項(xiàng)分布的問題上，學(xué)生理解掌握了這兩種分布的區(qū)別，但在實(shí)際解題中，經(jīng)常出現(xiàn)困難選擇癥，未能將條件與所學(xué)知識(shí)模型相結(jié)合，沒能探究到正確的運(yùn)算思路與方法。

建議在課堂教學(xué)中應(yīng)盡量做到引導(dǎo)學(xué)生分析概率統(tǒng)計(jì)題干中的條件，建立條件與知識(shí)的有效鏈接，不要忙于套公式計(jì)算寫答案，要細(xì)化條件與問題的聯(lián)系，這里不要怕解題進(jìn)度“慢”，課堂上解地“慢”是運(yùn)算“快”的基礎(chǔ)。

再次，精選細(xì)解典型例題后，要引導(dǎo)學(xué)生完成一些靈活性強(qiáng)、啟發(fā)性大、綜合性好、學(xué)生通過努力能解答的習(xí)題作為練習(xí)題，建議練習(xí)后要組織給學(xué)生時(shí)間對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)運(yùn)算錯(cuò)誤進(jìn)行自查訂正，對(duì)解題運(yùn)算過程進(jìn)行有效的規(guī)律總結(jié)與自查反思，歸納提煉系統(tǒng)的運(yùn)算規(guī)律，同時(shí)也應(yīng)當(dāng)對(duì)常用的技巧給以足夠的重視。例如排列組合常用的“捆綁法”、“插空法”等技巧性都比較強(qiáng)的運(yùn)算方法，要鼓勵(lì)學(xué)生有意識(shí)地收集、歸納，鼓勵(lì)他們一題多解，多題一解，積累經(jīng)驗(yàn)，提髙運(yùn)算的合理性和自覺性，從而提高運(yùn)算的正確性和迅速性。這里不要怕解題自查“慢”，課堂上查地“慢”是運(yùn)算“快”的保證。

目前概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中存在一種不科學(xué)的做法，為省事把運(yùn)算過程結(jié)果用PPT放在屏幕上，看似制作精美但學(xué)生并不知道如何合理運(yùn)算。其實(shí)運(yùn)算過程需要老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，尋找合理的算法，往往分析解題的過程比答案本身更重要，PPT只能作為輔助手段。培養(yǎng)與提高學(xué)生的運(yùn)算能力是個(gè)長(zhǎng)期的過程，教學(xué)中不可能有“立竿見影”的效果，這個(gè)要靠長(zhǎng)期地、反復(fù)地訓(xùn)練，慢慢地螺旋上升，要把運(yùn)算能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的始終，課堂上要有意識(shí)地運(yùn)用科學(xué)的方法進(jìn)行長(zhǎng)期的滲透，使學(xué)生不斷地、經(jīng)常性地受到啟迪，在潛移默化中，使學(xué)生逐步領(lǐng)悟運(yùn)算能力的實(shí)質(zhì)，從而逐步提高運(yùn)算能力。

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