2021年八省市高考適應(yīng)性考試第7題的解法探究與推廣

廣東省湛江市二中海東中學(xué)(524057) 高海秀

廣東省湛江市一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

一、經(jīng)典試題展示

試題(2021年適應(yīng)性測(cè)試(八省市聯(lián)考)數(shù)學(xué)試題第7題)已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓N:(x ?2)2+y2=1 的兩條切線,則直線BC的方程為( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

二、多角度的解法探究

方法一(一般算法) 如圖1 所示, 因?yàn)锳(2,2) 在拋物線y2= 2px上, 故22= 2p ×2,即p= 1.所以拋物線為y2= 2x.設(shè)過(guò)點(diǎn)A(2,2) 與圓(x ?2)2+y2= 1 相切的直線的方程為:y ?2 =k(x ?2),即kx ?y+ 2?2k= 0.則圓心(2,0) 到切線的距離=1,解得

圖1

直線AB的方程為:y ?2 =直線AC的方程為:聯(lián)立得=0,故xA·xB=由xA= 2 得xB=聯(lián)立得0.故由xA=2 得xC=故yC=故yB+yC=?4.由B,C在拋物線上, 可知直線B,C的斜率為kBC=故直線B,C的方程為y ?即直線B,C的方程為3x+6y+4=0.

方法二(利用垂徑定理與拋物線弦方程)

首先我們回顧兩個(gè)已知結(jié)論.

1.垂徑定理: 設(shè)A、B是拋物線y2=2px上的兩點(diǎn),AB中點(diǎn)是N,則

2.拋物線兩點(diǎn)弦方程: 設(shè)A、B是拋物線y2=2px上的兩點(diǎn),則

并且

由(1) 式得:同理得:?2, 于是yB+yC=?4,yByC=代入(3) 式得直線BC的方程為3x+6y+4=0.

方法三(設(shè)點(diǎn)法) 由(3) 式得: 直線AB的方程為2x ?(2+yB)y+2yB=0.由于AB與圓(x ?2)2+y2=1相切,所以=1.化簡(jiǎn)得:0.同理:+ 12yC+ 8 = 0.于是,yB,yC是方程3y2+ 12y+ 8 = 0 的兩根, 所以代入(3)式得直線BC的方程為3x+6y+4=0.

方法三改進(jìn)由(3) 式得: 直線AB的方程為2x ?(2+yB)y+2yB= 0.由于AB與圓(x ?2)2+y2= 1 相切,所以=1.化簡(jiǎn)得:+12yB+8=0.即6xB+ 12yB+ 8 = 0?3xB+ 6yB+ 4 = 0, 同理:3xC+6yC+4=0,所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.

方法四(曲線系)直線AB的方程為:y?2=直線AC的方程為:y ?2 =所以B,C滿(mǎn)足:所 以(y+2)23y2+ 12y+ 8 = 0, 將y2= 2x代入上式得: 直線BC的方程為3x+6y+4=0.

方法五(直線參數(shù)方程法) 設(shè)直線AB的參數(shù)式方程為聯(lián)立拋物線方程y2= 2x, 消去x,y得:所 以同理可得:所以kBC=所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.

方法六(拋物線參數(shù)方程法) 利用拋物線的參數(shù) 方 程, 設(shè)所以所以同理可得:所以kBC=所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.

方法七(張角定理法)

張角定理: 如圖2, ΔABC,AD交BC與D,則(用面積法很容易證明)

設(shè)直線AB的參數(shù)式方程為

圖2

聯(lián)立拋物線方程y2= 2x, 消去x,y得:=0,所以設(shè)直線AC的參數(shù)式方程為聯(lián)立拋物線方程y2=2x,消去x,y得:由張角定理得:所以將E點(diǎn)坐標(biāo)代入選項(xiàng),B 正確,故選B.

方法八(利用切線斜率的相反數(shù)得結(jié)論) 首先證明如下命題: 已知拋物線C:y2= 2px,定點(diǎn)A(a,b)∈C,動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,kAP+kAQ= 0.則kPQ為定值,且等于拋物線在A點(diǎn)處切線斜率的相反數(shù).

實(shí)際上,= 2px1= 2px2,b2= 2pa,kPQ=所以kAP=kAP+kAQ= 0, 所以2p(y1+y2+2b) = 0, 所以y1+y2=?2b,kPQ=為定值.因此,命題成立.

B點(diǎn)坐標(biāo)求法同上, 得下面用上述定理求直線BC的斜率.對(duì)y2= 2x兩邊對(duì)x導(dǎo)得:2yy′= 2, 所以所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.

三、變式訓(xùn)練

變式(2020年廈門(mén)模擬節(jié)選) 如圖3 所 示, 已知A,B,C是拋物線y=x2上相異的三 點(diǎn),如果直線AB、AC與圓x2+ (y ?2)2= 1 相切,求證: 直線BC也與圓N相切.

圖3

證明設(shè)A(a,a2),B(b,b2),C(c,c2), 則直線AB:

y ?a2=(x ?a).所以(a+b)x ?y ?ab= 0.因?yàn)锳B與圓相切,所以所以

同理:

由(4),(5)式知:b,c是方程(a2?1)x2?2ax+3?a2= 0的兩根.所以所以直線BC的方程 為: (b+c)x ?y ?bc= 0, 因 為所以直線BC也與圓N相切.

四、性質(zhì)推廣

(一)拋物線在斜率和(或積)為定值條件下的性質(zhì)

定理1已知拋物線C:y2=2px,定點(diǎn)A(a,b)∈C,動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ,

(Ⅰ)當(dāng)γ= 0 時(shí),kPQ為定值,且等于拋物線在A點(diǎn)處切線斜率的相反數(shù);

(ⅠⅠ) 當(dāng)γ /= 0 時(shí), 則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D, 且

證明= 2px1= 2px2,b2= 2pa,kPQ=

(Ⅰ) 若kAP+kAQ= 0, 所以2p(y1+y2+2b) = 0, 所以y1+y2=?2b,kPQ=為定值, 2yy′= 2p, 所以

直線PQ:y ?y1=(x ?x1),所以

①+ ②得(y1+y2)所以直線PQ過(guò)定點(diǎn)

定理2已知拋物線C:y2= 2px,定點(diǎn)A(x0,y0)∈C,動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP ·kAQ=γ,則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D,且

證明聯(lián)立消x, 得y2?2pmy ?2pn= 0,y1+y2= 2pm,y1y2=?2pn,x1+x2=m(y1+y2) + 2n= 2pm2+ 2n,x1x2=(my1+n)(my2+n) =m2y1y2+mn(y1+y2) +n2=n2, 由得y1y2?y0(y1+y2) +=γx1x2?x0(x1+x2)+,?2pn ?2pmy0+=所以γn2+(2p ?2γx0)n ?解得

n1=x0?my0(舍),n2=x0+my0?,所以直線PQ方程x ?x0+=m(y+y0),恒過(guò)

(二)雙曲線在斜率和(或積)為定值條件下的性質(zhì)

定理3已知雙曲線=1,(a ＞0,b ＞0),定點(diǎn)A(x0,y0)∈C(點(diǎn)A不是雙曲線頂點(diǎn)),動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ,

(Ⅰ)當(dāng)γ=0 時(shí),kPQ=為定值,且等于雙曲線在A點(diǎn)處切線斜率的相反數(shù);

(ⅠⅠ) 當(dāng)γ /= 0 時(shí), 則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D, 且

證明設(shè)PQ方程x=my+n, 即x ?x0=m(y ?y0)+my0+n?x0,所以將b2[(x ?x0)+x0]2?a2[(y ?y0)+y0]2?a2b2=0,展開(kāi)得

整理得到

(Ⅰ) 當(dāng)γ= 0 時(shí),kPQ=為定值.把= 1, 的兩邊對(duì)x求導(dǎo),= 0, 在A處的導(dǎo)數(shù)y′=

(ⅠⅠ) 當(dāng)γ /= 0 時(shí),γa2n=γa2(my0+x0)?2(b2x0m+a2y0), 所以n=my0?直線恒過(guò)

定理4已知雙曲線= 1,(a ＞0,b ＞0),定點(diǎn)A(x0,y0)∈C,動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP ·kAQ=γ,

(Ⅰ)當(dāng)γ=時(shí),kPQ=為定值;

(ⅠⅠ)當(dāng)γ /=時(shí),則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D,且

證明由(?)得到

(Ⅰ)當(dāng)γ=時(shí),my0=?x0,kPQ=為定值.

(三)橢圓在斜率和(或積)為定值條件下的性質(zhì)

定理5已知橢圓= 1,(a ＞b ＞0) 定點(diǎn)A(x0,y0)∈C, (點(diǎn)A不是橢圓頂點(diǎn)), 動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ,

(Ⅰ)當(dāng)γ= 0 時(shí),kPQ=為定值,且等于橢圓在A點(diǎn)處切線斜率的相反數(shù);

(ⅠⅠ) 當(dāng)γ /= 0 時(shí),則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D, 且

定理6已知橢圓= 1,(a ＞b ＞0) 定點(diǎn)A(x0,y0)∈C(點(diǎn)A不是橢圓頂點(diǎn)), 動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C?若kAP ·kAQ=γ,

(Ⅰ)當(dāng)γ=時(shí),kPQ=為定值;

(ⅠⅠ) 當(dāng)γ /=時(shí),則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D, 且

定理5,定理6 的證明見(jiàn)文[1].

應(yīng)用以上定理,可以很容易解決如下兩題.

1.(高二第26 屆“希望杯”賽第20 題) 已知拋物線C:y2= 4x,A(4,4), 動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=則直線PQ過(guò)定點(diǎn)D,點(diǎn)D的坐標(biāo)是____.

2.(2009年高考遼寧卷理科第20 題文科第22 題)已知,橢圓C經(jīng)過(guò)一點(diǎn)A(1,1.5),兩個(gè)焦點(diǎn)為(?1,0),(1,0).

(1)求橢圓C的方程.

(2)E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.