三角公式的圖形表示

新疆烏魯木齊市新疆師范大學數學科學學院(830017) 胡明茹 楊 軍

三角公式因內容繁多、結構復雜,導致其記憶難度較大,容易混淆,進而難以理解公式本身的意義.數學公式反映了數學對象的屬性之間的關系,具有一定的形式符號化的抽象性和概括性的特征[1].若借助圖形直觀表征三角公式,則有助于理解公式的內在涵義.正所謂“數缺形時少直觀,形缺數時難入微; 數形結合百般好,隔離分家萬事休”(華羅庚教授語).本文利用單位圓中的三角函數線,對平方關系、半角的正切公式、兩角差與和的余弦公式、正弦公式、正切公式進行直觀的表征,以實現數學公式可視化的目的.

一、平方關系

如圖1 所示的單位圓中, 角α的頂點在原點, 始邊與x軸非負半軸重合, 終邊與單位圓交于點P.分別作出角α的正弦線MP、余弦線OM、正切線AT、余切線BS、正割線OT、余割線OS.則易知OM2+MP2= 1,即sⅰn2α+cos2α=1;AT2+OA2=OT2,即tan2α+1=sec2α;BS2+OB2=OS2,即cot2α+1=csc2α.

圖1

圖2

二、半角的正切公式

實現半角正切公式的圖形表示的關鍵是構造出半角.為此先構造銳角的半角,進而推廣到任意角的情形.

如圖2 所示的單位圓中,角α以x軸非負半軸為始邊且與單位圓交于點B,其終邊與單位圓交于點P.設單位圓與x軸負半軸交于點C, 連接PC,PB, 由同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角的一半,知∠PCB=過點P作PA垂直于x軸, 垂足為A, 那么AP為角α的正弦線,OA為角α的余弦線.利用銳角正切的定義以及三角函數線可知

注意到直徑所對的圓周角∠CPB= 90°,而∠PAB=90°, 從而∠PBA在兩個不同的直角三角形中的余角相等, 即∠APB= ∠PCA=同理可知角α為任意角時,同理利用正切的定義以及三角函數線也可以表示角的正切值.不妨設α為第一象限角且終邊與單位圓交于點P,那么角的終邊落在第一或第三象限,且與單位圓分別交于點Q、點R(圖3).注意到正切函數最小周期為π,所以只需考慮角的終邊落在第一象限的情形即可.

分別作角α和的正弦線AP,BQ,顯然

設單位圓與x軸負半軸交于點C,連接PC,由同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角的一半,知∠QOB= ∠PCB.根據平行的判定定理易知OQ//CP,所以ΔPCA∽ΔQOB,從而

這樣,就得到了半角正切公式的圖形表示,從而使得難以記憶的半角正切公式有了直觀鮮活的意義.

圖3

圖4

三、兩角差與和的余弦、正弦公式

教科書是通過向量數量積推導兩角差的余弦公式,進而運用誘導公式得到其他三角公式的.這種方法看起來相對簡單,但卻顯得比較突兀、不自然.借助三角函數線推導兩角差的余弦公式,雖然推導過程略顯復雜,但思路比較自然,并且比較契合學生的認知水平.

注意到任意角的情形均可以通過誘導公式化歸為銳角,所以下面關于兩角和差的三角公式的圖形表示均以銳角為例.

(一)兩角差的余弦、正弦公式

設角α,β為銳角,且β ＜α.如圖4 所示的單位圓中,角α以x軸非負半軸為始邊,其終邊與單位圓交于點P.構造∠POP1=β且β的另一邊與單位圓交于點P1.則角α ?β是以x軸非負半軸為始邊,以OP1為終邊的角.

過點P1作P1C垂直于x軸,垂足為C,那么OC為角α ?β的余弦線,即cos(α ?β)=OC;CP1為角α ?β的正弦線,即sⅰn(α ?β)=CP1.因此,只需用角α,β的正弦線和余弦線表示OC,CP1即可.

過點P1作P1A垂直于OP,垂足為A.則在RtΔAOP1中, 有OA= cosβ,AP1= sⅰnβ.過點A作AB垂直于x軸,垂足為B.則在RtΔOBA中,有OB= cosαcosβ.過點P1作P1D垂直于AB,垂足為D.注意到∠P1AD=α,故在RtΔAP1D中,有DP1= sⅰnαsⅰnβ.又BC=DP1,于是OC=OB+BC=OB+DP1=cosαcosβ+sⅰnαsⅰnβ,即得到兩角差的余弦公式cos(α?β)=cosαcosβ+sⅰnαsⅰnβ.

如圖5 所示, 在RtΔOBA中, 有BA= sⅰnαcosβ.在RtΔAP1D中, 有DA= cosαsⅰnβ.又CP1=BD, 于是CP1=BD=BA ?DA= sⅰnαcosβ ?cosαsⅰnβ,即得到兩角差的正弦公式sⅰn(α ?β)=sⅰnαcosβ ?cosαsⅰnβ.

圖5

圖6

(二)兩角和的余弦、正弦公式

設角α,β為銳角, 如圖6 所示的單位圓中, 角α以x軸非負半軸為始邊, 其終邊與單位圓交于點P1.構造∠P1OP=β且β的另一邊與單位圓交于點P.則角α+β是以x軸非負半軸為始邊,以OP為終邊的角.

過點P作PC垂直于x軸, 垂足為C, 那么OC為角α+β的余弦線,即cos(α+β) =OC;CP為角α+β的正弦線,即sⅰn(α+β) =CP.因此,只需要用角α,β的正弦線和余弦線表示OC,CP即可.

過點P作PA垂直于OP1, 垂足為A.則在RtΔPOA中, 有PA= sⅰnβ,OA= cosβ.過點A作AB垂直于x軸, 垂足為B.則在RtΔOBA中, 有OB= cosαcosβ.過點A作AD垂直于CP,垂足為D.注意到∠APD=α,故在RtΔAPD中, 有DA= sⅰnαsⅰnβ.又CB=DA, 于是OC=OB ?CB=OB ?DA=cosαcosβ ?sⅰnαsⅰnβ,即得到兩角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ?sⅰnαsⅰnβ.

如圖7 所示, 在RtΔOBA中, 有BA= sⅰnαcosβ.在RtΔAPD中, 有DP= cosαsⅰnβ.又CD=BA, 于是CP=CD+DP=BA+DP=sⅰnαcosβ+cosαsⅰnβ,即得到兩角和的正弦公式sⅰn(α+β)=sⅰnαcosβ+cosαsⅰnβ.

圖7

圖8

四、兩角差與和的正切公式

(一)兩角差的正切公式

設角α,β為銳角,且β ＜α.如圖8 所示的單位圓中,角α以x軸非負半軸為始邊且與單位圓交于點A,其終邊與單位圓交于點P.構造∠POP1=β且β的另一邊與單位圓交于點P1.則角α ?β是以x軸非負半軸為始邊,以OP1為終邊的角.

過點A作單位圓的切線交角α的終邊于點T, 則AT= tanα, 進而OT=過點T引TC垂直于OT, 且與角β的終邊OP1交于點C.則在RtΔOCT中,由tanβ=知CT=過點C作CB垂直于x軸,垂足為B,則tan(α ?β)=因此,只需要利用α,β的正切線表示即可.

過點C作CD垂直于AT, 垂足為D, 則AB=DC,BC=AD.注意到∠CTD=α, 故在RtΔCTD中,由sⅰnα=知DC= tanαtanβ; 由cosα=知DT=tanβ.在RtΔOBC中,根據正切的定義及三角函數線可知tan(α ?β) =即tan(α ?β)=

(二)兩角和的正切公式

設角α,β為銳角, 如圖9 所示的單位圓中,角α以x軸非負半軸為始邊且與單位圓交于點B,其終邊與單位圓交于點P1.構造∠P1OP=β且β的另一邊與單位圓交于點P.則角α+β是以x軸非負半軸為始邊,以OP為終邊的角.

圖9

過點B作單位圓的切線交角α的終邊于點T, 則BT= tanα, 進 而OT=過點T引TC垂直于OT,且與角β的終邊OP交于點C.則在RtΔOTC中,由tanβ=知TC=過點C作CA垂直于x軸,垂足為A,則tan(α+β)=因此,只需要利用α,β的正切線表示即可.

過點C作CD垂直于BT,并交BT的延長線于點D,則AB=CD,AC=BD.注意到∠CTD=α,故在RtΔTDC中,由sⅰnα=知CD= tanαtanβ;由cosα=知TD= tanβ.在RtΔOAC中,根據正切的定義及三角函數線可知tan(α+β) =即tan(α+β)=

本文通過三角函數線推導三角公式,從而實現復雜、抽象的三角公式可視化.這種直觀呈現的方式,能夠激發學生的學習興趣、培養學生的創造性思維,使得數學知識的學習變得簡單、自然、易于理解.