利用“齊次化法”求多元函數最值問題

北京市日壇中學(100020) 李妍華 徐小花 王樹文

2020年高考、強基、競賽中多元函數最值問題高頻出現,多元函數問題形式復雜,解法靈活,能有效考察學生轉化構造創新的能力.多元函數最值問題我們常用消元、重要不等式、三角換元等方法完成.“齊次化法”也是解答多元函數最值問題的常見策略之一, 此法有其普適性和廣泛的應用性,筆者以2020年幾個考題為例,將其“齊次化法”求解與讀者交流.

例1(2020年北大強基計劃第9 題)使得5x+a(x+y)對所有正實數x,y都成立的實數a的最小值為( )

A.8 B.9 C.10 D.前三個答案都不對

解析由于x,y為正實數,且5x+≤a(x+y),參變分離得√

設f=則fmax≤a.因此將問題轉化為求二元函數最大值問題.對f進行變形,得f=設=t,(t ＞0),則f=于是,我們可以利用Δ 判斷法求f的最大值.

由f的表達式得到: (5?f)t+?f= 0.我們可以把該式看成是一個關于的一個一元二次方程.由Δ ≥0,得122+4(5?f)f≥0,得f2?5f ?36 ≤0,解得?4 ≤f≤9.因為t ＞0,f ＞0,所以0＜f≤9.當t=時(滿足t ＞0),f取得最大值9.故選B.

點評參變分離是求參數取值范圍的有效方法也是常規方法.本題困難的地方是參變分離后對二元函數求最大值.在本文我們利用“齊次化法”巧妙地將兩個變量x,y整合為一個新變量將二元函數最大值問題轉化為一元函數最大值問題,再利用Δ 判斷法求得f的最大值為9,問題得到圓滿解決.

例2(2020年復旦大學自主招生第2 題)已知實數x、y,滿足x2+2xy ?1=0,求x2+y2的最小值.

解析因為x2+2xy ?1=0,所以x2+2xy=1,依題

點評“齊次化法”往往適用于分式結構,高中生比較熟悉的是此法在三角函數中的應用,例如: 已知tanα= 2,求的值.在本題中x2+y2是一個整式,先要對式子進行恒等變形轉化成分式結構再“齊次化”,最后應用基本不等式、Δ 判定、換元求導方法快速解答.在這里我們給出的是利用基本不等式解答,讀者也可以試一試Δ 判定、換元求導方法.

例3(2020年高考江蘇卷第12 題)已知5x2y2+y4=1(x,y ∈R),則x2+y2的最小值是____.

解析設f=x2+y2,則

又

點評例3 和例2 有相同的地方也有區別,都可以將整式利用除“1”(在例2 中1=x2+2xy,例3 中1=5x2y2+y4)轉化為分式, 但是例3 不能直接除“1”.這也是使用“齊次化法”需要注意的另外一個點, 分子分母次數要一致.分子f=x2+y2是二次齊次式,分母5x2y2+y4是四次齊次式,要想次數一致,首先要對分子進行平方.這種轉化齊次式的構造方法,看似形式變復雜,實則巧妙地找到了解題途徑,可謂獨具匠心.

例4(2020年全國高中數學聯賽(四川預賽)第6 題)已知正實數x,y滿足:= 1,則x+y的最小值是____.

解析依題

設x+3y=m,2x+y=n,則x+y=所以

點評齊次轉化、分母置換后,將其轉化為應用不等式求最值的目標形式快速獲解.由上述例題知,齊次“降元”轉化改變函數結構后,易找到解題途徑.

例5(2020年全國高中數學聯賽(甘肅賽區)預賽第2題)設x,y均為正數,則的最小值為____.

解析設x+3y=m,則

評析例5 的解法和例4 如出一轍,都利用到了將分母“簡化”巧妙地將其轉化為應用不等式求最值的目標形式快速獲解.

許多重要不等式如基本不等式、柯西不等式自身就是齊次不等式,所以證明一些帶條件的非齊次不等式時,利用所給條件對原不等式的結論進行恒等變形,轉化為齊次不等式,最終化為易于證明的形式.