拋物線中兩條垂直的焦點弦的幾個優美結論

南京市棲霞中學(210046) 劉建國

近期,筆者整理有關圓錐曲線焦點弦的問題時,拜讀文[1]后通過類比聯想,將橢圓的有關兩條垂直焦點弦的問題推廣到拋物線中,得出了一系列結論,并對其進行整理.

結論1已知AB、CD是拋物線E:y2= 2px(p ＞0)中經過焦點F的兩條相互垂直的弦, 拋物線在A,B兩點處的切線交于點Q, 則直線CD必過Q點.

圖1

證明如圖1 所示: 設A(x1,y1)、B(x2,y2)(其中y1＜0,y2＞0),則A,B兩點的坐標滿足

x2=設直線AB的方程為:y=則直線CD的方程為:y=;在x軸上方所對應的拋物線方程為:y=則y′=在x軸下方所對應的拋物線方程為:y=?則y′=?則在A點的切線方程為:lA:y?y1=(x?x1),將①代入化簡可得:lA:y=同理可得:B處的切線方程為:lB:y=將lA、lB聯立的:解得:即將直線AB與拋物線E聯立得:整理得:k2x2?(pk2+2p)x+=0,根據韋達定理可知:

將③代入Q點坐標得則點Q滿足直線CD的方程,所以直線CD必過Q點.

結論2已知AB、CD是拋物線E:y2= 2px(p ＞0)中經過焦點F的兩條相互垂直的弦, 拋物線在A,B兩點處的切線交于點Q, 令s=則s+t=2u.

圖2

證明如圖2 所示, 設直線CD的方程為:y=C(x1,y1)、D(x2,y2),由結論1 可知:且C,D,Q三點共線, 所以:|QF|?|QC|=|CF|,|QD|?|QF|=|DF|,則:

同理可得:

因為C,D滿足直線CD的方程, 所以:y1=且將y1、y2代入④⑤可得:s ?u=u ?t=所 以s ?u=u ?t,即s+t=2u.

結論3已知AB、CD是拋物線E:y2=2px(p ＞0)中經過焦點F的兩條相互垂直的弦,則(即為定值).

證明如圖3,設A(x1,y1)、B(x2,y2)(其中y1＜0,y2＞0), 直線AB的方程為:因為AB⊥CD,則直線CD的方程為:y=所以|AB|=將②代入得:

圖3

結論4已知AB、CD是拋物線E:y2= 2px(p ＞0)中過焦點F的兩條相互垂直的弦,M、N分別是AB、CD的中點,則直線MN恒過定點

證明如圖4, 設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 直線AB的方程為:y=k(x ?則直線CD的方程為:y=由中點坐標公式得:由結論1 的證明中②式和③式可知:將直線CD與拋物線E聯立得:整理得:x2?(p+2pk2)x+

圖4

根據韋達定理可得:x3+x4=p+2pk2,所以y3+y4=(x3+x4?p)=?2pk,所以當直線MN的斜率不存在時, 滿足:所以k=±1, 直此時直線MN的方程為:直線MN過定點當直線MN的斜率存在時, 即:k /=±1, 由M,N兩點的坐標可知直線MN的方程為:y+pk=化簡得:即直線MN過定點綜上所述:直線MN恒過定點

結論5已知AB、CD是拋物線E:y2= 2px(p ＞0)中過焦點F的兩條相互垂直的弦,|AB|+|CD|存在最小值,且最小值為8p.

證明由結論3 的證明中⑥式可知:|AB|+|CD|=+2p(1+k2) = 4p+2p(k2+) ≥4p+2p×= 8p(當且僅當k=±1 時等式成立), 所以|AB|+|CD|的最小值為8p.

結論6已知AB、CD是拋物線E:y2= 2px(p ＞0)中過焦點F的兩條相互垂直的弦, 則四邊形ACBD的面積的最小值為8p2.

圖5

證明如圖5,因為AB⊥CD,由結論3 的證明中⑥式可知四邊形ACBD的面積為:

(當且僅當k=±1 時等式成立),所以四邊形ACBD的面積的最小值為8p2.