高考三角導數題考向透視

安徽省太湖中學(246400) 李昭平

安徽省安慶市太湖縣教育局(246400) 李葉生

近年來,高考導數題正從整式函數型、分式函數型、指數函數型、對數函數型及其復合型函數形式,向三角復合函數型轉變.“三角導數題”已經成為高考對導數考查的新亮點.由于三角問題角的豐富性和變形的多樣性,用導數處理起來相對于其它類型要復雜一些,因此高考和模考中的“三角導數題”,常常置于客觀題或主觀題靠后的位置.本文結合近幾年部分模考題,對“三角導數題”進行考向透視,供2021年備考復習參考.

考向1 考查三角復合型函數的零點

例1(2020年合肥市模考題) 設a ∈R, 函數f(x) =ex ?asⅰnx(x ＞0,e 為自然對數的底數)在(0,π)內有且僅有一個零點,求a的值.

解析由ex?asⅰnx=0 得,asⅰnx=ex.因為x ∈(0,π),所以sⅰnx ＞0.因此a=令g(x) =,0＜x ＜π,則g′(x) =由g′(x) = 0 得x=當0＜x ＜時,g′(x)＜0;當＜x ＜π時,g′(x)＞0,所以g(x)mⅰn=故a=

點評一般地, 處理變元為x、參數為a的函數f(x,a)的零點問題,可以運用參變分離思想,將f(x,a) = 0 等價變形為A(a) =B(x),再利用導數知識研究新構造的三角復合型函數B(x)的性質(單調性、奇偶性,周期性、對稱性、圖象特征、極值、最值等),來實現解題目標.

考向2 考查三角恒成立不等式中的參數范圍

例2(2021年杭州市模考題)已知函數f(x)=2 cosx?x2.若對任意的x1,x2∈(0,π), 都有|f(x1)?f(x2)|≤m|x1?x2|成立,求實數m的取值范圍.

解析因為f(x) = 2 cosx ?x2, 所 以f′(x) =?2 sⅰnx ?2x ＜0, 因此f(x) 在(0,π) 內單減.不妨設0＜x1≤x2＜π, 則f(x1) ≥f(x2).于是已知的不等式|f(x1)?f(x2)|≤m|x1?x2|就是f(x1)?f(x2) ≤mx2?mx1, 即f(x1)+mx1≤f(x2)+mx2.令g(x) =f(x) +mx,0＜x ＜π.則g(x) 在(0,π) 內單增.于是g′(x) =?2 sⅰnx ?2x+m≥0,即m≥2 sⅰnx+2x.再令h(x)=2 sⅰnx+2x,則h′(x)=2 cosx+2＞0,h(x)在(0,π)內單增,因此h(x)＜h(π)=2π.所以m≥2π.故實數m的取值范圍是[2π,+∞).

點評將待證的不等式去掉絕對值,并適當變形后構造新的三角復合型函數g(x) =f(x)+mx,研究g(x)的單調性,注意利用g′′(x)的符號確定g′(x)的符號,進一步再確定g(x)的單調性,從而證出不等式[1].

考向3 逆向考查三角復合型函數的最值

例3(2019年A10 聯盟模考題)若函數f(x)=2 cosx+sⅰn 2x+b+3 的最小值是則實數b的值是____.

解析f′(x) =?2 sⅰnx+ 2 cos 2x=?2(sⅰnx+1)(2 sⅰnx?1).當sⅰnx ＞,即時,f′(x)＜0;當sⅰnx ＜即2kπ+＜x ＜2kπ+時,f′(x)＞0.所以當x= 2kπ+(k ∈Z)時,f(x)取得最小值.即?3.

點評本題的原函數中含有sⅰn 2x, 整體無法轉化成asⅰn2x+bsⅰnx+c或acos2x+bcosx+c或asⅰnx+bcosx的形式, 必須用導數知識求其最值.其導函數是形如acos2x+bcosx+c的二次形式, 零點可求, 且能夠判斷其單調性,可以順利實現解題目標.要特別注意三角函數零點和單調區間的周期性, 確定單調區間端點的極值點類型(極大值點或極小值點),否則極易出現錯誤.這種“已知最值,反過來確定解析式中參數”的逆向設置方式,在近幾年的高考和模考中都有上升的趨勢.

考向4 逆向考查三角復合型函數的單調性

例4(2020年濟南市模考題) 若函數f(x) =+acosx在(?∞,+∞)內單調遞增,則實數a的取值范圍是____.

解析因為函數f(x) 在(?∞,+∞) 內單調遞增,所以f′(x) =cos 2x ?asⅰnx≥ 0, 即asⅰnx≤cos 2x,asⅰnx≤

(1)若sⅰnx=0,則0 ≤成立,a ∈R.

(2) 若sⅰnx ＞0, 則a≤而因此

(3) 若sⅰnx ＜0, 則a≥而因此

綜上可知,實數a的取值范圍是

點評本題主要考查可導單調函數的導數式充要條件、分類討論思想和參變分離法.對于可導函數f(x) 在區間D上單增(或單減) 的充要條件是: 在x ∈D上恒有f′(x)≥0(或f′(x)≤0),且f′(x)在D的任意子區間上都不恒為零.顯然,這種逆向型試題用單調性的定義求解,將會十分復雜,甚至無法求解.而運用單調的導數式充要條件來處理則是一種有效途徑.

考向5 考查三角復合型函數的導函數的極值點

例5(2019年南昌市模考題)設a ＞0,函數f(x)=sⅰnx ?aln(1+x),f′(x) 是f(x) 的導函數.若f′(x) 在區間內存在唯一極大值點,求a的取值范圍.

解析因為f′(x) = cosx ?所以f′′(x) =?sⅰnx+由f′′(x) = 0 得, sⅰnx=畫出函數y=和y= sⅰnx的圖象, 如圖1.要使f′(x) 在區間內存在唯一極大值點, 必須兩函數的圖象在內有唯一交點, 設其橫坐標是x0.當曲線y=經過點時是極限位置, 此時曲線y=在y軸上的截距是因此0＜a ＜

顯然,在x ＜x0附近,sⅰnx ＜,f′′(x)＞0;在x ＞x0附近,sⅰnx ＞,f′′(x)＜0.因此x0是函數f′(x) = cosx ?在區間內的唯一極大值點.故a的取值范圍是(0,(1+

點評本題以三角函數與分式函數的復合型函數形式出現,給人以耳目一新之感.由于三角函數的導數仍然是三角函數, 因此利用導數研究其極值點有一定的難度.顯然,f′(x) = cosx ?而f′′(x) =?sⅰnx+= 0的實數根無法直接求出, 這讓我們聯想到: 將方程?sⅰnx+= 0“一分為二”成兩個函數, 利用函數y=和y=sⅰnx的圖象的交點個數來處理問題,解題過程果然簡單快捷.

考向6 考查三角復合型函數的導函數的零點

例6(2020年太原市模考題) 已知函數f(x) =2 sⅰnx ?xcosx+ax(a ∈R),f′(x)是f(x)的導函數.

(1)若f′(x)在區間(0,π)內存在唯一零點,則a的取值范圍是____;

(2)若f′(x)在區間(0,π)內存在兩個零點,則a的取值范圍是____.

解析因為f(x) = 2 sⅰnx ?xcosx+ax,所以f′(x) =cosx+xsⅰnx+a,f′′(x) =xcosx.因為x ∈(0,π), 所以當x ∈(0,) 時,f′′(x)＞0,f′(x) 單增; 當x ∈(,π)時,f′′(x)＜0,f′(x) 單減.f′(x) 在區間(0,π) 內的最大值是+a, 且f′(π) =a ?1,f′(0) = 1 +a,f′(π)＜f′(0)＜f′

解得?1 ≤a ＜1.故a的取值范圍是

(2) 若函數f′(x) 在內有唯一零點, 則f′(x) 在區間內必有一個零點, 則

點評f′(x)是否有零點,必須考慮f′′(x)的符號,從而確定f′(x)的單調性和圖象特征,其中f′′(x) = (f′(x))′,即為f(x)的二階導數.判定f′(x)的零點還需要利用零點存在定理.零點存在定理告訴我們: 若g(a)g(b)＜0,則在(a,b)內至少有一個零點,但也可能有多個零點;若g(a)g(b)＞0,則無法判斷(a,b) 內零點的個數.因此, 解題中既要判定g(a)g(b)的符號,又要確定函數g(x)的單調性.

考向7 考查三角復合型函數即時定義型問題

例7(2019年皖江聯盟模考題) 設f′(x) 是函數y=f(x)的導函數,f′′(x)是函數f′(x)的導函數,若f′′(x)有零點x0, 則稱點(x0,f(x0)) 為原函數y=f(x) 的“拐點”.已知函數f(x) = 4x+ 3 sⅰnx ?cosx圖象上的點M(x0,f(x0))在直線y=4x上,則( )

A.點M是函數f(x)的拐點,且tanx0=3

B.點M不是函數f(x)的拐點,且tanx0=

C.點M是函數f(x)的拐點,且tanx0=

D.點M不是函數f(x)的拐點,且tanx0=3

解析因為f′(x) = 4+3 cosx+sⅰnx, 所以f′′(x) =?3 sⅰnx+ cosx.因為M(x0,f(x0)) 在曲線f(x) = 4x+3 sⅰnx ?cosx和直線y=4x上,所以y0=4x0+3 sⅰnx0?cosx0且y0= 4x0, 因 此4x0+ 3 sⅰnx0?cosx0= 4x0,即3 sⅰnx0?cosx0= 0,?3 sⅰnx0+ cosx0= 0.于 是f′′(x0) =?3 sⅰnx0+ cosx0= 0.由拐點的定義知, 點M是函數f(x) 的拐點.由?3 sⅰnx0+ cosx0= 0 得,3 sⅰnx0=cosx0,tanx0=故選C.

點評本題以高等數學中函數的拐點與其二階導數的關系為背景,利用二階導數的零點得到函數拐點的定義(設置新情境),考查遷移新知識到給定三角復合型函數的能力.其實“拐點”的幾何意義是“函數圖象上凸、下凸的分界點”,它的橫坐標就是二階導數的零點.解題的基本步驟是: 弄懂新定義,按定義列式,發現函數關系.

考向8 考查三角復合型函數不等式的證明

例8(2020年安慶市模考題)函數f(x)=exsⅰnx,g(x)為f(x)的導函數.

(Ⅰ)求f(x)的單調區間;

(Ⅱ)當x ∈時,證明:f(x)+g(x)(π ?x)≥0;

(Ⅲ)設xn為函數u(x)=f(x)?1 在區間(2nπ+2nπ+π) 內的零點, 其中n ∈N.證明: 2nπ+π ?xn ＜

解析(Ⅰ)f′(x) = ex(sⅰnx+ cosx).通過討論f′(x)的符號, 易得f(x) 的遞增區間和遞減區間依次為

(Ⅱ)記h(x)=f(x)+g(x)(π?x).依題意及(Ⅰ)有,g(x)=ex(sⅰnx+cosx).從而g′(x) = 2excosx.當x ∈時,g′(x)＜0.此時h′(x)=f′(x)+g′(x)(π ?x)+g(x)(?1)=g′(x)(π ?x)＜0, 因此h(x) 在區間上單調遞減, 進而h(x) ≥h(π) =f(π) = 0.即當x ∈時,f(x)+g(x)(π ?x)≥0.

(Ⅲ) 因為xn為函數u(x) =f(x)?1 的零點, 所以u(xn)=f(xn)?1=0,即exnsⅰnxn=1.令yn=xn?2nπ,則yn ∈y0=x0.且f(yn) = eynsⅰnyn=exn?2nπsⅰn(xn ?2nπ)=e?2nπ(n ∈N),f(y0)=f(x0)=1.由f(yn)≤f(y0)及(Ⅰ)可知,yn≥y0.由(Ⅱ)知,x ∈時,g′(x)＜0,所以g(yn) ≤g(y0)＜= 0.因為yn ∈所以由(Ⅱ)得,f(yn)+g(yn)(π?yn)＞0,即π?yn ＜故2nπ+π ?xn ＜

點評本題以指數函數與三角函數的復合形式為載體,覆蓋面廣、綜合性強、難度較大[2].

從以上8 道例題可以看出,三角復合型函數f(x)的導數題,常常與含參數的不等式和含參數的方程相結合,除了采用常規的方法“求導數f′(x)→解f′(x)＞0(f′(x)＜0)→確定單調區間→判斷極值種類并求極值→確定最值或值域”外,還常常需要運用三角函數的周期性、三角恒等變形、參變分離法、一分為二法、構造新函數法等等,在處理逆向單調性、逆向最值、恒成立不等式、能成立不等式、函數零點、函數極值、方程的根和三角不等式的證明等問題中往往發揮重要作用,融直觀想象、邏輯推理和數學運算核心素養于一體.在備考復習中,關注“三角導數題”考查熱點,加大教學和訓練的力度,必有提升.