2019年高考北京卷文科第19題的探究與變式

河北省秦皇島市第一中學(066006) 趙成海 張 瑞 呂東毓

一、題目再現

題目(2019年高考北京卷文科第19 題) 已知橢圓=1 的右焦點為(1,0),且經過點A(0,1).

(Ⅰ)求橢圓C的方程;(答案:+y2=1)

(Ⅱ)設O為原點,直線l:y=kx+t(t /=±1)與橢圓C交于兩個不同點P,Q,直線AP與x軸交于點M,直線AQ與x軸交于點N,|OM|·|ON|=2,求證: 直線l經過定點.

二、尋求考題解法的思考策略

定點問題,一般有兩種入手方法,一是設直線方程,通過直曲聯立及二次方程根與系數的關系尋求解決方法;二是設點坐標,尋求迂迴求解方法.

思考一(以直線l為切入點,通過直曲聯立,直接求解)由得:(1+2k2)x2+4ktx+2t2?2=0,Δ = 16k2t2?4(1+2k2)(2t2?2)＞0, 得t2＜2k2+1,設P(x1,y1), Q(x2,y2), 由根與系數的關系:x1+x2=則y1+y2=k(x1+x2)+2t=因為A(0,1), 所以直線AP方程為:y=+1, 故同理由|OM| · |ON|=2,解得t=0,那么直線l經過原點.

評注這種解法, 充分體現考試說明中的“注重常規”.在數學學科核心素養中,“數學運算”是指在清晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題.本解法最貼近學生實際,充分體現對“數學運算”的考查.

思考二(以M,N坐標作為切入點, 化歸轉化, 迂回求解) 設M(m,0),N(n,0), 直線AM:y=由得: (m2+ 2)x2?4mx= 0, 所以xP=同理, 直線AN:y=+ 1.由因為|OM|·|ON|=2,所以mn=±2, 當mn= 2 時,xP ?xQ== 0, 從而直線l斜率不存在, 矛盾; 當mn=?2 時,xP+xQ=

所以P,Q兩點關于原點對稱,所以直線l經過原點.

評注在數學學科核心素養中,“數據分析”是指針對研究對象獲取數據,運用數學方法進行整理、分析和推斷,形成關于研究對象知識的素養.本解法就是將直線過定點問題,轉化為在|OM|·|ON|= 2 條件下, 獲取xP ?xQ= 0 及xP+xQ=0 這兩個數據,從而判斷直線l斜率不存在,或者恒過原點,而斜率不存在時是不合題設的,因而合理推斷,獲得題目要證的結論.

三、對考題的深入思考與探究

1 探究一般性

題中|OM|·|ON|= 2 是本題的關鍵所在,是針對具體橢圓+y2= 1 的一個特例,那么這里的“2”與橢圓方程有什么關系呢? 不難發現恰好與橢圓中的a2=2 相一致,這是偶然嗎? 能否可以猜想對于= 1(a ＞b ＞0),當|OM|·|ON|=a2具有同樣的特點? 經過探究我們得到如下結論:

性質1已知橢圓C:= 1 的上頂點為點A,O為坐標原點,直線l與橢圓C交于兩個不同的點P,Q(異于橢圓C的上下頂點),直線AP與x軸交于點M,直線AQ與x軸交于點N,若|OM|·|ON|=a2,則直線l經過原點或者斜率不存在.

證明設M(m,0),N(n,0), 因為A(0,b), 所以直線AM:y=+b, 與橢圓C聯立得: (m2+a2)x2?2a2mx= 0, 所 以xP=同理,xQ=|OM| · |ON|=a2, 所以mn=±a2,當mn=a2時,xP ?xQ== 0, 從而直線l斜率不存在; 當mn=?a2時,xP+xQ=

所以P,Q兩點關于原點對稱,即直線l經過原點.

評注在數學學科核心素養中,“邏輯推理”是指從一些事實和命題出發,依據規則推出其他命題的素養.本探究與分析,顯然體現從特殊到一般的推理思想,這就是類比、歸納,然后進行證明.

2 探究完備性

進一步思考,性質1 的逆命題也是成立的.

性質2已知橢圓C:= 1 的上頂點為點A,O為坐標原點,直線l與橢圓C交于兩個不同的點P,Q(異于橢圓C的上下頂點),直線AP與x軸交于點M,直線AQ與x軸交于點N,則|OM|·|ON|=a2的充要條件是: 直線l經過原點或者斜率不存在.

簡析結合性質1 的證明, 若直線l經過原點, 則由對稱性知xP+xQ=0,即xP+xQ== 0,mn2+a2m+m2n+a2n=0,整理得(m+n)(mn+a2)=0,由于m+n/=0,所以mn=?a2.

若直線l斜率不存在, 則xP=xQ, 即,mn2?a2m+m2n?a2n=0,整理得(m+n)(mn?a2)=0,所以mn=a2,所以|OM|·|ON|=a2成立.

評注在數學學科核心素養中,“邏輯推理”是得到數學結論、構建數學體系的重要方式,是數學嚴謹性的基本保證,是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質.對逆命題的分析與研究,正是這一思維品質的體現.

3 挖掘題目源頭

教材例題(人教版選修2-1 第41 頁例3): 如圖所示, 設點A,B的坐標分別為(?5,0),(5,0),直線AM,BM相交于M,它們的斜率之積是求點M的軌跡方程.

本題容易求得點M的軌跡方程為橢圓:1(x/=±5),教學過程中,曾得出過一般性結論:

結論1已知A,B是橢圓= 1(a ＞b ＞0)長軸的兩個端點,P點是橢圓上與A,B兩點均不同的點,那么kPA·kPB=

這一結論易證: 由已知A(?a,0),B(a,0), 設P(x,y),則= 1, 移項整理得:即kPA·kPB=

結論2已知A,B是橢圓= 1(a ＞b ＞0)短軸的兩個端點,P點是橢圓上與A,B兩點均不同的點,那么kPA·kPB=

簡證由已知A(0,?b),B(0,b), 設P(x,y), 則移項整理得:,即kPA·kPB=進一步推廣到更一般性結論:

結論3已知A,B是橢圓= 1(a ＞b ＞0)關于原點對稱的兩個點,P點是橢圓上與A,B兩點均不同的點,那么kPA ·kPB=;反之,若kPA ·kPB=,則A,B關于原點對稱.

證明設已知A(x0,y0),則B(?x0,?y0),=1,又設P(x,y),則=1,兩式相減即kPA · kPB=; 反之, 設A(x0,y0) 關于原點對稱的點A′(?x0,?y0), 那么kPA · kPA′=又kPA ·kPB=那么kPA′=kPB, 即P,A′,B三點共線, 由一條直線與橢圓至多有兩個交點, 那么A′,B兩點重合.

4 應用于高考題求解

有了這樣的背景知識, 如果回到開始的高考題中, 我們可以發現, 當點M,N位于y軸兩側時,kAP ·kAQ=kAM ·kAN=由結論3,則P,Q關于原點對稱,從而直線l過原點.

當點M,N位于y軸同側時, 記點Q關于y軸的對稱點為Q′,kAP ·kAQ=kAM ·kAN==?kAP·kAQ′,由結論2 知P,Q′關于原點對稱,故P,Q′關于x軸對稱,從而直線l斜率不存在.

評注在數學學科核心素養中,“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化,利用圖形,理解和解決數學問題的素養.結論1,2,3 及其結論3 對于高考題求解的思考,無不滲透著這一素養,特別是通過直觀想象發現和提出了問題,并且應用于分析和解決問題.

5 題目進一步變式

通過以上分析,我們對這道高考題已經有了系統的認識,下面給出兩道變式,其證明留給讀者.

變式1已知橢圓C:= 1 上頂點為A,直線x=m(0＜m ＜2)交橢圓C于點P,Q,直線AP,AQ分別交x軸于點M,N,求證:|OM|·|ON|為定值.(答案: 4)

變式2已知橢圓C:= 1 右焦點為F,點A在橢圓C上, 且AF⊥x軸,M,N為x軸上兩點, 且位于直線AF的兩側, 設直線AM,AN分別交橢圓C于P,Q, 若|FM|·|FN|=3,求證: 直線PQ經過定點.(答案: 過原點)

評注高中數學教學要創設合適的教學情境,啟發學生思考,引導學生把握數學內容的本質.通過以上分析,今年的這例高考題體現出匠心獨運價值,是不可多得的引領我們在教學中注重把握“以數學學科核心素養為導向”的典例.