強化審題意識深化知識理解拓展思維深度完善認知結構
——以解析幾何高考復習題為例

安徽省合肥市第四中學(230000) 鄭 良

江蘇省睢寧縣新城區實驗學校(221200) 苗 勇

一、問題提出

眾所周知, 多數學生認為解析幾何試題思路清晰可見,目標卻遙不可及.究其原因是學生只注意到問題的常規與表象,沒有挖掘到題目的隱含信息,不能將關鍵信息合理轉化,不能因地制宜地采用不同策略與恰當的方式進行表征,無法在條件與結論之間架起易于通達的橋梁.長此以往,解析幾何是學生“心中永遠的痛”,導致其未戰先怯、敬而遠之.教學中,教師要強化學生的審題意識(審題是解題的第一步,關乎解題的成敗,學生要在仔細審題與快速做題中找到平衡點),提高學生審題能力.通過細化審題,通觀全局、聚焦局部、整體思維,在宏觀與微觀中轉換,在不同方案中思辨,合理部署解題路徑與謀劃可能的調整預案,切實避免各種不必要的繁瑣運算.數學審題審什么? 怎么審? 羅增儒教授在文[1-2]中分別結合案例給出了審題的認識、考試中的審題操作.余錦銀老師在文[3]中給出了數學審題策略的5 個方面,請有興趣的讀者參閱.本文以幾道解析幾何試題為載體,力爭展示研習試題結構特征、條件轉譯方法、分析調整解題方略的過程,以期能對讀者分析、調整、化繁為簡、逐步優化的解題有所幫助.不足之處,敬請同仁批評指正.

二、典例試題剖析

1 強化整體布局,選取合適變量

凡事預則立,不預則廢.解析幾何試題經常會出現動點或動直線,點和直線之間互相制約,互相依存.引入參變量,使諸多相關或不相關的量統一到這個參變量之下,達到減少未知數的個數、簡化題目條件、減少計算量的目的.但參變量的選擇多種多樣,既可以選擇點的坐標為參變量建立目標函數,也可以直線的斜率為參變量建立目標函數,解題時要兼顧計算簡便的需要,要對計算量有一定的預判,選擇合適的參變量.

例1已知O為坐標原點,直線l與橢圓交于A,B兩點,且OA⊥OB,求ΔAOB的面積S的取值范圍.

解由OA⊥OB,可設A(x0,y0),B(λy0,?λx0)(由對稱性可取λ ＞0,其幾何意義是λ=當B點分別位于短軸和長軸端點時,λ取得最小值和最大值),則

在②兩邊同除以λ2后與①相加,得故由對勾函數f(λ) =λ+(λ ＞0)的單調性可知,f(λ)mⅰn=f(1) = 2,f(λ)max=所以ΔAOB的面積S的取值范圍是

點評本題中出現直線OA與OB垂直,一般設其斜率分別為k,(當其中一條直線斜率為0,另一條直線斜率不存在時,單獨計算),將求解目標S表示為k的函數;也可設直線l的方程為y=kx+m(斜率不存在時,單獨計算),利用一元二次方程根與系數的關系及條件中的垂直關系,建立面積S的表達式.以上解答從兩向量垂直的角度,設A,B兩點坐標分別為(x0,y0),(λy0,?λx0),分別代入橢圓方程,整體代換,優化了計算過程.在處理直線夾角與線段距離時,若能根據條件合理選擇向量工具,往往能事半功倍.使用的前提是深入理解題意,聯系相關知識,洞悉問題本質.

2 優化圖形結構,關注幾何性質

解析幾何是數形結合的典范,解決解析幾何問題應有幾何視角與代數視角.幾何視角即從幾何的角度處理解析幾何問題,代數視角即從代數的角度處理解析幾何問題.彼此交融,相得益彰.令人遺憾的是,不少師生對解析幾何理解出現偏差,出現思維定式甚至將解析幾何異化為計算科學.解析幾何最重要的特點是用代數方法來處理幾何問題,然后將代數運算的結果映射到幾何圖形.但平面解析幾何的源泉是幾何,圖形是直觀表現形式,是問題的起點和歸宿.處理相關問題時應首選幾何視角, 挖出題中所蘊含的軌跡或幾何性質,從而簡化運算.代數方法僅僅是工具,是幾何視角的有力補充,如不同幾何圖形的代數表示可能是統一的.因此,在處理解析幾何問題時要重視代數運算,但也絕不能忽視研究對象的幾何屬性,若能聚焦圖形的幾何性質,恰當轉譯,可能會使運算簡便.

例2如圖1,圓O與離心率為的橢圓1(a ＞b ＞0)相切于點M(0,1).

(1)求橢圓T與圓O的方程;

(2) 過點M引兩條互相垂直的直線l1,l2與兩曲線分別交于點A,C與點B,D(均不重合).若P為橢圓上任一點,記點P到兩直線的距離分別為d1,d2,求的最大值.

圖1

解(1)橢圓T的方程為圓O的方程為x2+y2=1.(過程略)

(2)設過點P(異于C,D,M)分別與l1,l2垂直的直線與l1,l2分別相交于E,F兩點,則四邊形MEPF為矩形,所以=PM2(當P與C,D,M重合時也成立),設P(x,y),則=PM2=x2+(y ?1)2=4?4y2+(y ?1)2=當且僅當y=時等號成立.故當取得最大值為

點評本題自然的想法是設直線l1,l2的斜率為運用點到直線的距離公式,將d21+d22表示為變量k的函數,再求其最大值.若注意到四邊形MEPF為矩形,以靜制動,將(兩個量均在變化)轉化為PM2(點M為定點),目標函數的建立更直接,其最大值的求解更簡單.點、線、三角形、圓等是平面幾何的基本研究對象,它們擁有很好的性質,如角平分線定理、線段的垂直平分線定理、相似三角形的性質、三角形的中位線定理,圓的垂徑定理,直徑所對的圓周角為直角,同弧所對的圓周角相等等.處理平面解析幾何問題時,要善于根據圖形的特征聯想到相關性質,直接利用性質(結論)對問題化繁為簡,甚至開辟一片新天地.

例3已知橢圓= 1 的左、右焦點分別為F1、F2, 連結橢圓上不同兩點A,B滿足AB//x軸, 過點A作AF2的垂線l1,過點B作BF2的垂線l2,且l1,l2的交點為C.

(1)求ΔABF2面積的最大值;

(2)求證: 過點A,B,C的圓D在x軸上截得的弦長為定值.

(1)解ΔABF2面積的最大值為√(過程略)

(2)證明由題意知∠F2AC= ∠F2BC= 90°, 故點A,F2,B,C共圓于以CF2為直徑的圓D,又A,B兩點關于y軸對稱,所以y軸是圓D的對稱軸,所以F2關于y軸對稱的點F1也在圓D上,故過點A,B,C的圓D在x軸上截得的弦為定弦F1F2,其長為定值2.

點評本題第(1)小題可用均值不等式或橢圓的參數方程求ΔABF2面積的最大值;第(2)小題若以點A的橫坐標作為變量表示圓D的方程,再計算圓D在x軸上的截距,計算過程繁瑣,根據四點共圓的判定可知A,B,C,F2共圓于圓D,結合橢圓的對稱性可知所求的弦為F1F2.教學時要引導學生“多一點想,少一點算”,通過解題反思培養學生追根溯源的習慣.通過知識的積累,解題經驗的豐富,提高審題能力,力爭解題時少走彎路.

3 關注元素地位,巧用“對等”關系

幾何圖形中的點與點、線與線等對象互換位置,并不影響問題的條件和結論,我們將幾何對象具有的這種關系稱為“對等”關系.具有“對等”關系的計算過程往往是重復的、可“復制”的,因此只需計算一次,替換即可得到另一個計算結果,減少了計算量.解題中要注意挖掘“對等”關系,優化解題過程.

例4已知點A為橢圓= 1 的左頂點,點F為橢圓C的右焦點.P為橢圓C上位于x軸上方的點,直線PA交y軸于點M,過點F作MF的垂線,交y軸于點N,直線AN交橢圓C于另一點Q,求ΔAPQ的面積的最大值.

解設AP,AQ的斜率分別為k1,k2, 則直線AP的方程為y=k1(x+4), 令x= 0, 得M(0,4k1), 同理可得N(0,4k2), 由MF⊥NF, 得k1k2=將y=k1(x+4)代入= 1, 得得xP=將點P坐標中的k1換成k2(即),可得xQ=所以P,Q兩點關于原點對稱,所以SΔAPQ= 2SΔAOP=AO·|yP|≤ab=即ΔAPQ的面積的最大值為

點評命題者提供的解題思路是設直線AP的方程,依次求出M,P的坐標, 利用垂直關系求出N的坐標, 再求AN的方程,AN的方程與橢圓C的方程聯立,求出點Q的坐標,最后得P,Q兩點關于原點對稱.解題思路完全被題目中點、線的生成的邏輯順序“牽”著走,邏輯清楚,思路自然,計算量大.如果注意到P,Q的“對等”地位,分別從P,Q出發作相同的運算,就會有類同的結果,重復的工作只做一次,使解題過程得到簡化.教學時,可嘗試通過相關試題的比對,讓學生明晰問題的邏輯關系,逐步提高與完善學生的推理論證能力,培養學生的理性精神,這也是數學教學的目的.

4 特殊尋求目標,一般跟進證實

解析幾何中常會遇到定值(定點、定數值、定曲線等)問題, 由于涉及較多字母, 導致運算過程較為復雜, 難以為繼,如果先根據圖形所處的特殊位置,猜出結果,這樣就使解題有了明確的目標和方向,將部分字母的運算轉化為數的運算,可以簡化解題過程.

例5過點的動直線l與橢圓交于A,B兩點, 試問坐標平面上是否存在定點N, 使得以AB為直徑的圓恒過點N? 若存在,求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

解當l分別垂直于兩坐標軸時, 易知圓的方程為x2+y2= 1 和兩圓方程聯立可求得其公共點為(0,1).下面只需考察當直線l斜率存在且不為0 時, 以AB為直徑的圓是否過點N(0,1).設l的方程為y=代入橢圓C方程整理得(9+18k2)x2?12kx ?16 = 0.設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=x1x2+(y1?1)(y2?1)=···=0(過程略),所以

綜上所述,坐標平面上存在定點N(0,1),以AB為直徑的圓恒過N(0,1).

點評解答先從直線l的兩種(可能需要更多種)特殊的位置出發,得到兩圓的公共點N(0,1),實現了化無限為有限,化抽象為具體的過程.動圓過N(0,1)是動圓過定點的必要條件,然后再驗證其充分性,使解題有了方向和目標,起到了化繁為簡,減少運算的功效.

5 嘗試聯想推理,實現無中生有

審題時不僅要全面梳理題目的顯性條件,還要挖掘題目的隱性條件.若能根據題設與結論不斷聯想與推理,創設相關條件優化解答,不但解法給人耳目一新的感覺,更能促進學生對相關知識的理解,實現創新思維的提升.

例6已知橢圓C1:設點P為橢圓= 1 上一點, 過點P作橢圓C1的兩條切線l1,l2,斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值.

證明設過P(x0,y0)與橢圓C1相切的直線l的斜率為k,故其方程為y ?y0=k(x ?x0),代入橢圓C1的方程消去y,得(4k2+1)x2+8k(y0?kx0)x+4[(y0?kx0)2?1]=0.因為直線l與橢圓C1相切,所以關于x的一元二次方程的判別式為0,整理得(4)k2?2x0y0k+y02?1 = 0,當4=0 時,直線l的斜率為0 或不存在.所以k1,k2為關于k的一元二次方程(4)k2?2x0y0k+y02?1=0 的兩根,從而k1·k2=又點P(x0,y0)在橢圓C2上,所以所以k1·k2=為定值.

點評本題為“圓錐曲線中的雙切線”問題,解答將k1,k2抽象為k,利用直線與橢圓相切的關系,根據求解目標以k為主元整理出關于k的一元二次方程,利用兩切線的斜率是此方程的兩個根,從而使用韋達定理解決問題.將k1,k2抽象為k、以k為主元為解題目標的需要,也是學生數學抽象素養的體現.聯想是以舊促新,通過相對熟悉的情境回扣相關的知識、方法、思想,從而嘗試全方位的比對與遷移.無中生有則要明晰問題差異,揭示問題本質,體現出思維的創造性,實現內容理解的融會貫通,它是學生高階思維的重要標識.教師要改變觀念,用新的眼光去審視熟悉的問題,從不同角度去深入研究,深化對相關內容的理解.教學時教師要大膽放手,必要時給予引導,使學生拾階而上,從膚淺到深入、從現象到本質、從常規到創新,相信學生會給出很多“看似意料之外、實乃情理之中”的方案,讓創新成為學生的不懈追求.

三、結束語

蘇步青先生說過:“學習數學要多做習題,邊做邊思索,先知其然,然后知其所以然.”教師在平時的教學中,在重視學生基礎知識的夯實、通性通法的掌握、數學思想的領悟、基本策略的轉換的基礎上,還要培養學生從數學角度發現問題與提出問題、分析問題與解決問題的能力,通過(理論與實踐)案例培養學生的整體觀念與創新意識,讓思維轉換在學生學習生活中散發光芒.