題在書外 根在書中
——2020年新高考全國卷Ⅱ第21題的探析

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

“年年歲歲花相似,歲歲年年題不同”.每年都有不少的優(yōu)質(zhì)高考試題,這些試題是命題專家精心設(shè)計(jì)的杰作,對中學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向性,值得我們?nèi)テ肺杜c探析.要充分認(rèn)識高考題所蘊(yùn)含的價(jià)值,挖掘高考題的功能,發(fā)揮其內(nèi)在作用,并以此來促進(jìn)教學(xué).

下面筆者以2020年新高考全國卷Ⅱ(海南卷)第21 題為例,進(jìn)行詳細(xì)分析與解答,追本溯源,說明立足教材,重視課本例習(xí)題的重要性,并給出相應(yīng)的變式練習(xí),供大家參考,希望能拋磚引玉.

一、題目呈現(xiàn)與分析

題目(2020年新高考全國卷Ⅱ(海南卷)第21 題)已知橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)過點(diǎn)M(2,3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn),且AM的斜率為

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn),求ΔAMN的面積的最大值.

立意分析題目結(jié)構(gòu)清晰,知識方面主要考查直線方程,橢圓方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式,三角形的面積,圓錐曲線上的點(diǎn)到直線距離的最大值等;思想方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合等思想.綜合考查考生邏輯思維、推理論證及運(yùn)算求解等方面的能力,試題的思維過程和運(yùn)算過程體現(xiàn)了能力立意的思想,較好地體現(xiàn)了解析幾何中核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.

由于問題(1)較為簡單,本文不作討論,下面從不同視角,對問題(2)進(jìn)行解答與探究.

二、多視角思考,解法探析

分析由(1) 可得橢圓C的方程為直線AM的方程為x ?2y+ 4 = 0, 且|AM|=設(shè)點(diǎn)N到直線AM的距離為d, 則ΔAMN的面積為所以問題(2) 轉(zhuǎn)化為: 求橢圓上的點(diǎn)N到直線AM距離的最大值.

解法1(數(shù)形結(jié)合法)如圖1 所示,當(dāng)直線l平行于直線AM(且與AM距離較遠(yuǎn)的一條),與橢圓C相切于點(diǎn)為N,此時(shí)ΔAMN的面積取得最大值.設(shè)直線l的方程為x ?2y+m= 0, 聯(lián)立化簡得16y2+12my+3m2?48=0,因?yàn)橹本€l與橢圓C相切,于是

圖1

Δ=144m2?4×16(3m2?48)=0,解得m=±8,所以直線l的方程為x ?2y ?8=0.點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離,利用平行線之間的距離公式可得:所以ΔAMN的面積的最大值S=

解法2(導(dǎo)數(shù)法)如圖1,設(shè)切點(diǎn)N(x0,y0)(x0＞0,y0＜0),則得y=于 是y′=從而直線l的斜率為k=因?yàn)閘//AM, 所以解得x0= 2, 從而y0=?3, 所以N(2,?3).故點(diǎn)N到直線AM的距離d=所以ΔAMN的面積的最大值S=

解法3(橢圓的切線方程)設(shè)切點(diǎn)N(x0,y0)(x0＞0,y0＜0),則=1,因?yàn)橹本€l是橢圓C的切線,所以直線l的方程為=1,即3x0x+4y0y?48=0.又因?yàn)閘//AM,從而即3x0=?2y0.聯(lián)立解得x0=2,y0=?3,所以N(2,?3).故點(diǎn)N到直線AM的距離d=所以ΔAMN的面積的最大值

解法4(參數(shù)方程法)由于橢圓C的方程為= 1, 且點(diǎn)N在橢圓C上, 可設(shè)θ ∈[?π,π].則點(diǎn)N到直線AM的距離d=從而當(dāng)即θ=時(shí),d取得最大值此時(shí)N(2,?3).所以ΔAMN的面積的最大值S=18.

解法5(判別式法)設(shè)N(x,y), 則點(diǎn)N到直線AM:x ?2y+4 = 0 的距離d=因此問題轉(zhuǎn)化為求x ?2y的最值問題.設(shè)t=x ?2y,則y=聯(lián)立化簡得4x2?2tx+t2?48=0,因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,于是Δ = (?2t)2?4×4(t2?48) ≥0,解得?8 ≤t≤8.從而當(dāng)t= 8,即x ?2y= 8 時(shí),距離d最大,最大值為d=所以ΔAMN的面積的最大值S==18.

解法6(向量法)設(shè)N(x,y)(x ＞0,y ＜0),則點(diǎn)N到直線AM:x ?2y+4=0 的距離d=因此問題轉(zhuǎn)化為求x ?2y的最值問題.

構(gòu)造向量m=,n=則|m|== 1,|n|== 8,m · n=x ?2y.由向量的性質(zhì)|m·n|≤|m|×|n|, 所以有|x ?2y|≤8,即?8 ≤x ?2y≤8, 當(dāng)且僅當(dāng)即y=時(shí), 等號成立, 聯(lián)立解得x= 2,y=?3.從而當(dāng)x= 2,y=?3,即x ?2y= 8 時(shí),距離d最大,最大值為d=所以ΔAMN的面積的最大值S=

解法7(柯西不等式)設(shè)N(x,y)(x ＞0,y ＜0), 則點(diǎn)N到直線AM:x ?2y+4 = 0 的距離d=因此問題轉(zhuǎn)化為求x ?2y的最值問題.于是(x ?2y)2=當(dāng)且僅當(dāng)即y=時(shí), 等號成立,聯(lián)立從而有?8 ≤x ?2y≤8, 即x ?2y= 8 時(shí), 距離d最大, 最大值為d=所以ΔAMN的面積的最大值

評注問題(2)要解決點(diǎn)到直線距離的最值問題,解答中分別使用解析幾何、方程、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、函數(shù)、不等式等高中核心知識進(jìn)行解決,體現(xiàn)了知識的橫向聯(lián)系.因此要對典型高考題要深入挖掘,探求試題背后的思想方法,注重一題多解,力求對所學(xué)的知識融會(huì)貫通.

從不同的思維角度分析同一道題目,得到不同的解題方法,一題多解的方式增加了題目涉及的知識廣度,以一帶多,減少了考查同樣多的知識所需的題量.從數(shù)學(xué)知識的角度來看,通過解題發(fā)現(xiàn)知識的相互聯(lián)系,體會(huì)知識之間的轉(zhuǎn)化過程,從多角度地思考和發(fā)現(xiàn)問題,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系.這樣,在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、掌握基本技能的同時(shí),能培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性以及創(chuàng)新性,能夠使學(xué)生對學(xué)習(xí)的內(nèi)容有一個(gè)整體的認(rèn)識,并將知識融會(huì)貫通,舉一反三,開闊眼界,活躍思維,從而提煉出數(shù)學(xué)思想與方法,這正是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心.

三、追本溯源

問“題”那得清如許,唯有源頭活水來,可以看出今年考題的問題(2)的“母題”來源于教材的上述例題,只是將例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木幎?立足教材,選編教材原題,生成教材變題,是高考命題的一個(gè)不爭的事實(shí),這體現(xiàn)了高考命題的公平性和基礎(chǔ)性原則.所以教師要善于鉆研教材,用“慧眼”去發(fā)現(xiàn)有典型性、可拓展性的例題或習(xí)題,善于作解后反思,方法的歸類,規(guī)律的總結(jié)與技巧的揣摩,再進(jìn)一步對例習(xí)題進(jìn)行挖掘、拓展、引申,擴(kuò)大例習(xí)題的輻射面,以此提高復(fù)習(xí)的效率.

四、試題的變式

為了加強(qiáng)學(xué)生對某一類問題的掌握,適當(dāng)?shù)貙︻}目加以改編再練習(xí),會(huì)起到強(qiáng)化解題思想方法的積極作用,通過“一題多變”,能夠加深思維深度,學(xué)會(huì)由表及里,讓學(xué)生在親身實(shí)踐中尋求變通,悟出其中問題的本質(zhì),從而為今后的解題遷移找到共同的固著點(diǎn),對于形成完善的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力具有重要意義.對于本考題的問題(2),可以進(jìn)行如下變式訓(xùn)練:

1.變曲線: (2006年高考全國卷1 理科第8 題) 拋物線y=?x2上的點(diǎn)到直線4x+3?8=0 距離的最小值是( )

2.變直線: (2008年高考江蘇卷第21 題)在平面直角坐標(biāo)xOy中,點(diǎn)P(x,y)是橢圓+y2=1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求S=x+y的最大值.

3.變求最值為求直線: (2017年高考全國卷1文/理科第22 題) 在直角坐標(biāo)xOy中, 曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)), 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(1)若a=?1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為求a.

4.變求最大值為求最小值: (2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文/理科第22 題) 在直角坐標(biāo)系xOy中, 曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 直線l的極坐標(biāo)方程為

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;

(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.

五、鏈接高考

圓錐曲線上的點(diǎn)到直線距離相關(guān)類型的考題是高考中的重要考點(diǎn),倍受命題者青睞.為了突顯考題的有跡可循,把握復(fù)習(xí)的側(cè)重點(diǎn),提高復(fù)習(xí)效率,下面給出部分相關(guān)的高考試題,以供參考.

1.(2019年高考江蘇卷第10 題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是曲線y=x+(x ＞0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x+y=0 的距離的最小值是____.

2.(2014年高考全國卷1 理科第23 題) 已知曲線直線(t為參數(shù)).

(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;

(2)過曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.

3.(2011年高考褔建卷理科第21(2)題)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x ?y+4 = 0,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).

(1)已知在極坐標(biāo)(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;

(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線的距離的最小值.

高考試題是精心之作,每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進(jìn)行了充分考慮,是知識、能力和思想方法的載體,是命題思想、命題理念的程序化展現(xiàn),具有典型性、示范性和權(quán)威性.除了具有測試與選拔功能外,還具有良好的教學(xué)功能,要了解高考動(dòng)向、把握高考脈搏,高考試題的研究分析是重要的路徑.可以看出今年考題的問題(2)與上述展示的高考題(含“變式練習(xí)”)是同類題,這說明命題專家很重視命題的傳承和相互借鑒.所以在高考的備考中,適當(dāng)加入高考真題的訓(xùn)練的必要的,特別是近幾年的高考真題.

六、結(jié)束語

羅增儒教授語: 教材是課程的載體,因此高考命題最具體、最方便的依據(jù)其實(shí)是教材.數(shù)學(xué)高考試題有“源于教材,高于教材”的特點(diǎn),但萬變不離其宗,“宗”就是教材,即是“題在書外,根在書中”.蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅曾說“很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其教學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……”,教材中的例習(xí)題是經(jīng)過編者精心設(shè)計(jì)的,具有典型性的范例作用,大多都蘊(yùn)含著深刻的背景、豐富的數(shù)學(xué)思想,很多高考題是教材例題、習(xí)題的組合、加工、引申、拓展和類比,這充分體現(xiàn)教材是高考試題之根所在.因此,高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)立足于教材,鉆研教材,深刻領(lǐng)悟教材中數(shù)學(xué)知識的作用和蘊(yùn)含的人文素養(yǎng)的文化價(jià)值;活用教材,對教材中有潛在本質(zhì)規(guī)律的材料、例題、習(xí)題進(jìn)行歸納、類比、拓展,充分挖掘,將其價(jià)值發(fā)揮出來,從而實(shí)現(xiàn)教材教學(xué)功能的最大化、最優(yōu)化.