2021年八省市高考適應性考試第22題的求解思路與背景分析

湖南省懷化市鐵路第一中學(418000) 高 用

一、試題再現

題目(2021年高考適應性考試第22 題) 已知函數f(x)=ex ?sⅰnx ?cosx,g(x)=ex+sⅰnx+cosx.

(1)當x≥時,證明:f(x)≥0;

(2)若g(x)≥ax+2,求a.

二、解題思路探究

1 圖象先行導思路,分段討論證不等式

該題第一問是含三角函數與指數函數的函數不等式證明,多次求導并不能消除三角函數與指數函數,導致無法求出該函數的單調性,進而得不出函數的最小值,這是這道題求解的困難所在,很多學生在此遇到阻礙無法解決,最終放棄.含三角函數式的函數不等式,一般處理方法往往需要利用三角函數的有界性進行分段討論, 逐段證明不等式成立.那么,如何確定分段呢? 我們可以通過圖象先分析一下.

f(x)≥0 等價于ex≥sⅰnx+cosx=如圖,在同一直角坐標系中畫出y= ex和y=的圖象,不難發現在區間上小于等于0,而ex ＞0,即ex ＞sⅰnx+cosx;在區間上,y= ex的圖象在y=的圖象的上方, 也即ex ＞sⅰnx+cosx; 以上兩段容易解決,故先證明不等式在這兩段區間上成立, 而在內, 情況較為復雜, 但也容易通過觀察、求值得到當x= 0 時, 兩函數值都為零,則只需證明此區間其他函數值都有ex ＞sⅰnx+cosx即可.于是分三段, 分別證明ex≥sⅰnx+cosx.

①當x ∈時,x+∈[?π,0], 則≤0,而此時ex ＞0,所以ex ＞sⅰnx+cosx.

②當x ∈時,f′(x)=ex+(ⅰ)x ∈,0)時,x ?則?1),此時ex ＜1,所以f′(x)＜0;

(ⅱ)x ∈(0,)時,(?1,0), 此時ex ＞1, 所以f′(x)＞0; 所以,f(x) 在區間上單調遞減, 在區間上單調遞增, 所以當時,f(x)≥f(0)=0.

③當x ∈時,因為而所以ex ＞sⅰnx+cosx.

綜上,當x≥時,ex ＞sⅰnx+cosx,即f(x)≥0.

2 特值探路易切入,“先必后充”求參數

該題第二問是含三角函數與指數函數的不等式恒成立求參數的問題, 由于三角函數的介入致使函數的單調性非常復雜, 常規處理不等式恒成立的套路難以奏效,很容易陷入思路阻塞.但是第一問給了我們啟發, 先令h(x)=ex+sⅰnx+cosx ?ax ?2,不難發現h(0)=0,這一點至關重要,利用此點切入便可以長驅直入打開突破口.由題意要使得h(x) ≥0,則函數h(x)在x= 0 處與x軸相切,即h′(0) = 0,否則若h′(0)＞0,則h(x)在x= 0 附近單調遞增,則必存在一個區間(δ,0)有h(x) ≤h(0) = 0,不滿足題意;同理h′(0)＞0 也不滿足題意.

h′(x)=ex+cosx ?sⅰnx ?a,由h′(0)=0,得a=2.

以上是由不等式成立的一個必要條件(在附近不等式成立)得到的a的值,下面只要驗證其充分性即可.

當a= 2 時,h(x) = ex+ sⅰnx+ cosx ?2x ?2, 則h′(x)=ex+cosx?sⅰnx?2,進而h′′(x)=ex?sⅰnx?cosx,

由(1) 知, 當x≥時, ex ＞sⅰnx+ cosx, 即h′′(x) ≥0, 從而h′(x) 單 調 遞增, 又h′(0) = 0, 所以當時,h′(x)＜0,h(x)單調遞減;當x ∈(0,+∞)時,h′(x)＞0,h(x)單調遞增,故此時h(x)≥h(0)=0.

當x ＜時,h(x)＞?2＞0.所以,當a=2 時,h(x)≥0,即ex+sⅰnx+cosx≥ax+2 恒成立.

綜上,a=2.

另外,一旦發現了利用h(0)=0 分析出a=2 這個突破口,也可以直接對a ＜2,a= 2,a ＞2 三種情況進行逐一論證,最終得到a=2 符合題意.

三、試題解析

解析(1)f(x) ≥ 0 等價于ex≥ sⅰnx+ cosx=

①當x ∈[?π,0], 則≤0,而此時ex ＞0,所以ex ＞sⅰnx+cosx.

②當x ∈時,f′(x)=ex+(ⅰ)x ∈,0)時,x ?則?1),此時ex ＜1,所以f′(x)＜0;

(ⅱ)x ∈(0,)時,(?1,0), 此時ex ＞1, 所以f′(x)＞0; 所以,f(x) 在區間上單調遞減, 在區間上單調遞增, 所以當x ∈(時,f(x)≥f(0)=0.

③當x ∈時,因為ex≥而所以ex ＞sⅰnx+cosx.

綜上,當x≥時,ex ＞sⅰnx+cosx,即f(x)≥0.

(2) 方法1令h(x) = ex+sⅰnx+cosx ?ax ?2, 注意到h(0) = 0, 由題意要使得h(x) ≥0, 則函數h(x) 在x= 0 處與x軸相切, 即h′(0) = 0, 否則若h′(0)＞0, 則h(x) 在x= 0 附近單調遞增, 則必存在一個區間(δ,0) 有h(x)≤h(0)=0,不滿足題意;同理h′(0)＜0 也不滿足題意.因為h′(x)=ex+cosx ?sⅰnx ?a,由h′(0)=0,得a=2.

當a= 2 時,h(x) = ex+ sⅰnx+ cosx ?2x ?2, 則h′(x)=ex+cosx?sⅰnx?2,進而h′′(x)=ex?sⅰnx?cosx,

由(1) 知, 當x≥時, ex ＞sⅰnx+ cosx, 即h′′(x) ≥0, 從而h′(x) 單調遞 增, 又h′(0) = 0, 所 以當時,h′(x)＜0,h(x)單調遞減;當x ∈(0,+∞)時,h′(x)＞0,h(x)單調遞增,故此時h(x) ≥h(0) = 0.當時,h(x)＞?2＞0.所以,當a=2時,h(x) ≥0,即ex+sⅰnx+cosx≥ax+2 恒成立.綜上,a=2.

方 法2令h(x) = ex+ sⅰnx+ cosx ?ax ?2, 則h′(x)=ex+cosx?sⅰnx?a,從而h′′(x)=ex?sⅰnx?cosx.

由(1) 知, 當x≥時, ex ＞sⅰnx+ cosx, 即h′′(x)≥0,從而h′(x)單調遞增.

①若a ＞2,則h′(0)=2?a ＜0,而h′(ln(a+2))＞0,所以?x1∈(0,ln(a+2)),使得h′(x1)=0.

當x ∈(0,x1)時,h′(x)＜0,則h(x)在(0,x1)上單調遞減,從而此時有h(x)＜h(0)=0,不符合題意.

②若a ＜2,則h′(0) = 2?a ＞0,而h′(?π)＜0(否則有h′(?π) ≥0, 那么當x ∈(?π,0) 時h′(x) ≥0, 從而h(x)單調遞增,有h(?π)＜h(0) = 0,不符合題意),所以?x2∈(?π,0),使得h′(x2)=0.當x ∈(x2,0)時,h′(x)＞0,則h(x)在(x2,0)上單調遞增,從而此時有h(x)＜h(0)=0,不符合題意.

③若a= 2 時, 則h′(0) = 2?a= 0, 所 以 當時,h′(x)＜0,h(x)單調遞減;當x ∈(0,+∞)時,h′(x)＞0,h(x)單調遞增,故此時h(x) ≥h(0) = 0.當時,h(x)＞?2＞0.所以,當a=2時,h(x)≥0,即ex+sⅰnx+cosx≥ax+2 恒成立.

綜上,a=2.

四、試題評析

該題的命制繼承了2019年高考全國一卷理科數學第21題含三角函數導數問題的考法,利用三角函數的有界性,分段討論證明函數不等式,體現了分析數學的基本思想,能有效的考查學生分析問題、解決問題的能力.同時該題也延續了2020年高考全國一卷理科數學第21 題考查由不等式恒成立求參數取值范圍的命題特點,但該題是求參數的值,需要學生研究函數并發現不等式在處恰好等號成立,并以此為突破口展開求解.雖然題型比較常規,但采用常規的套路并不能順利求解此題,要求學生有較好的研究問題的意識、處理問題的能力和創新思維,以及較強的數學直覺,考查學生直觀想象,邏輯推理和數學運算的核心素養,可以說該試題常規而不落俗套,有很好的區分度,是一道非常不錯的試題.

五、命題背景分析

背景1(2019年高考全國Ⅰ卷理科第20 題)已知函數f(x)=sⅰnx ?ln(1+x),f′(x)為f(x)的導數.證明:

(1)f′(x)在區間存在唯一極大值點;

(2)f(x)有且僅有2 個零點.

分析(1) 略; (2)f(x) = sⅰnx ?ln(1 +x) = 0, 則sⅰnx= ln(x+ 1),從而轉化為證明函數y= sⅰnx與y=ln(x+1)的圖象在區間(?1,+∞)僅有2 個交點.

如圖, 在同一直角坐標系中分別畫出y= sⅰnx與y= ln(x+ 1) 的圖象, 根據圖象可以大致分為三段分別討論函數f(x)的零點情況, 區間的情況較為復雜,但可以借助第一問的結論得到單調性,結合f(0) = 0 便可得到該區間僅有一個零點;易得到f(x)在區間單調遞減,在利用零點存在定理也可以確定一個零點;區間[π,+∞)上,利用三角函數的有界性就可以證明沒有零點,于是問題得解.

評注對于函數式較為復雜的問題,不妨將函數拆分為兩個較為簡單的函數,畫出兩函數的圖象,借助圖象展開分析.含有三角函數的函數問題,由于單調性非常麻煩,所以必須分段討論,其中某些區間段需要利用三角函數的有界性進行論證.

背景2泰勒展開式

以上三式相加,得ex+sⅰnx+cosx=2+2x+2·由此可以猜想ex+sⅰnx+cosx≥2+ax中的a為2,然后再展開論證即可.

背景3已知函數f(x)=

(1)若直線y=?2x+m與曲線y=f(x)相切,求m的值;

(2)對任意x ∈(?1,1),aln(x+1)?f(x)?1 ≥0 恒成立,試討論實數a的取值.

分析(1) 略; (2)aln(x+ 1)?f(x)?1 ≥ 0, 即aln(x+ 1) +?1 ≥0, 令g(x) =aln(x+ 1) +?1,x ∈(?1,1), 不難發現g(0) = 0, 那么要使g(x)≥0 在(?1,1)上恒成立,就必有g′(0)=0,于是便可得到a的值,然后再論證充分性即可.

評注可以看出,類似此類不等式恒成立問題,一旦函數式較為復雜, 特別是遇到無法通過求導討論函數單調性時,也是通過某個使得不等式取等號的點,利用這個點作為突破口切入,就能快速準確的找到參數的值,然后順藤摸瓜對該參數值展開討論或直接論證其充分性.

六、教學啟示

解題教學應從“套路”中跳出來,回歸數學思維的本質.聯系近年來的高考壓軸題越來越注重基礎知識、方法和思想,都有常規而不落俗套的特點,甚至還有點“反套路”的味道,這就要求我們在復習備考的過程中注重引領學生夯實基礎,更要培養學生發現問題,提出問題,分析問題,解決問題的能力,注重學生數學思維的提升,落實數學學科的核心素養.數學教育的本質是讓人學會學習,深入思考,讓人變的越來越聰明,越來越靈活,而不是越來越刻板,越來越套路.

另外,在數學教學活動中,不僅要求學生理解試題所包含的基本知識、解題思路和方法,還要了解概念產生的背景和過程,讓學生深刻體會數學思想方法的本質.我們要注重對一些經典的、具有代表性的知識和方法進行拓展和延伸,挖掘數學本質,尋根溯源,通過探究讓學生理解并掌握,才能在具體數學問題情境中靈活應用.