2021年八省市高考適應性考試第20題的幾種解答表述*

深圳市高級中學(集團)(518040) 譚業靜 平光宇

2021年1月23-25日,第三批啟動高考綜合改革的八個省份進行了普通高等學校招生全國統一考試模擬演練.其中數學試卷的第20 題,對立體幾何內容的考查一反常態,引起師生熱議.

原題北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容.用曲率刻畫空間彎曲性,規定: 多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如: 正四面體在每個頂點都有3 個面角,每個面角是所以正四面體在各頂點的曲率為2π ?3×=π,故其總曲率為4π.

(1)求四棱錐的總曲率;

(2)若多面體滿足: 頂點數?棱數+面數= 2,證明: 這類多面體的總曲率是常數.

本題以實際應用問題為背景,考查立體幾何相關知識、空間想象能力,立意新穎.突出考查數學抽象、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.特別是考查學生的數學閱讀能力和數學符號語言的表述能力.本文整理了幾種解答表述,供讀者參考.

解法一(1)由題意,四棱錐在各頂點處面角之和即為各面內角之和,四棱錐有四個側面三角形,一個底面四邊形.面角之和為4×π+2π= 6π.而四棱錐有5 個頂點,總曲率即為各頂點曲率之和,所以,總曲率為5×2π ?6π= 4π,所以四棱錐總曲率為4π.

(2)設多面體的頂點數為x,棱數為y,面數為z,由題意可知:x ?y+z= 2.多面體在各頂點面角之和即為各面內角之和,n邊形內角和為(n ?2)π.而多面體一共有z個面,這z個面的所有邊的總數為2y(兩個面的公共邊算作兩條邊),所包含的所有內角也恰好為2y個,因此,所有這些面角(也就是多邊形的內角)之和剛好等于這z個面多邊形的內角和的總和,即等于(2y ?2z)π.多面體有x個頂點,而多面體總曲率即為各頂點曲率之和,所以,多面體的總曲率為:x·2π ?(2y ?2z)π=2(x ?y+z)π=4π,即該多面體總曲率為4π,是常數.

解法二(1) 解略; (2) 設多面體頂點數為x, 棱數為y, 面數為z, 總曲率為w, 則x ?y+z= 2.設多面體的z個面多邊形分別是ni(i= 1,2,··· ,z) 邊形, 內角和為(ni ?2)π,其中,n1,n2,··· ,nz滿足n1+n2+···+nz=2y,則w=2πx ?[(n1?2)π+(n2?2)π+···+(nz ?2)π]=2πx ?(n1+···+nz ?2z)π=2π(x ?y+z)=4π為常數.所以,這類多面體總曲率為常數.

解法三依題意,多面體的曲率為其頂點數乘2π 減去其所有面內角之和.

(1)四棱錐有5 個頂點,4 個三角形面,1 個四邊形面,故曲率為: 5×2π ?4×π ?1×2π=4π.

(2) 設多面體頂點數為x, 棱數為y, 面數為z, 則x ?y+z= 2.設多面體的z個面中ai邊形的面有bi個(i= 1,2,··· ,n),則=z,又因為每條棱恰在其兩側的兩個面多邊形中各出現一次,所以= 2y,故曲率為2π·x ?=π(2x ?π(2x ?2y+2z)=4π.所以,對于任意滿足題中條件的多面體,其曲率為常數4π.

解法四(1)解略;(2)設該多面體由1,2,··· ,n邊形圍成,其中i邊形有mi(i= 1,2,3,...,n)個(其中有一些可以等于零),故棱數又頂點數x=2+y ?z,所以

設αk(k= 1,2,··· ,z)為第k個面的內角之和,顯然等于該多面體的所有面角之和,且

不難得出總曲率w=將①、②兩式代入上式，得到

故該多面體的總曲率為定值4π.

本題的解答要求學生有較強的空間想象能力,通過數學抽象將問題符號化,并利用數學符號語言作為工具進行邏輯推理.其中關鍵是將每一個面,設其為ni(i= 1,2,··· ,z)邊形,利用內角和為(ni ?2)π,先求出面角,找出多面體的棱和各面邊數的關系,再利用歐拉公式得出證明.

在解法三和解法四中,更加充分地運用了符號語言,相對于解法一和解法二,避免了許多繁冗而難以理解的文字語言表述,從而更加自然而簡潔地表達出了上面所說的邏輯關系.

在高中數學教學中,重視和加強符號語言的學習和訓練,既是解決數學問題的需要,也是發展數學核心素養的重要途徑.