2021年八省市高考適應性考試填空題分析與教學思考

廣州市荔灣區教育發展研究院(510370) 龐新軍

華南師范大學數學科學學院(510631) 鄧春源

2021年八省市高考適應性考試落下帷幕,這是由教育部考試中心命題,針對八省市(江蘇、河北、廣東、湖南、湖北、重慶、福建、遼寧)新高考進行的一次適應性模擬考試,簡稱八省市高考適應性考試.這次考試一方面為我省新高考的開啟指明了備考的方向,另一方面通過測試檢查也促使我們反思初等教育中存在的問題,逐步補足我們的短板,早日實現廣東教育大省的宏偉目標.這次八省市高考適應性考試的數學測試是新高考模式下文理合卷后的一次大規模的模擬測試,試卷展現形式靈活,試題回歸教材,重視對數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的考查,多維度檢驗學生發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.這次考試重在演練與測試,從命題、制卷、組考、評卷到錄取等各個環節都嚴格參照高考標準,讓考生了解新高考的考試方式和考試流程,熟悉新高考試卷結構、試題風格、題型難度等,也是對全省各考點的準備和組織情況的一次演練.

這次文理合卷模擬考試,雖然試題的整體難度不大,但是試題活性度有所增加,沒有出現像以往考試那樣明顯的送分題目,我們的考生一下子還不能適應,使得廣東的數學科平均分會較往年高考的平均分降低很多.模擬試卷的素材多源于教材,命制中出現的開放題、情境化試題讓人耳目一新,這可能代表著今后數學試題的命題趨勢,為數學的復習備考明確了方向.在這種趨勢下,我們老師在今后的教學中,要更好地做到授人以魚不如授之以漁的教學理念.下面我們以這次八省市高考適應性考試的四個填空題為例,探討試題給我們的啟示,為即將到來的新高考做好準備.

一、試題呈現

13.圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10 的球面上,其上、下底面半徑分別為4 和5,則該圓臺的體積為____.

14.若正方形一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為____,____.

15.寫出一個最小正周期為2 的奇函數____.

16.對一個物理量做n次測量,并以測量結果的平均值作為該物理量的最后結果.已知最后結果的誤差為 使 誤 差εn在(?0.5,0.5)的概率不小于0.9545, 至少需要測量____次(若X ～N(μ,σ2), 則P(|X?μ|＜2σ)=0.9545).

二、試題解析

13.解析圓臺的下底面半徑為5, 故下底面在外接球的大圓上,如圖1所示,設球的球心為O, 圓臺上底面的圓心 為O′,則圓臺的高OO′=由此得圓臺體積(52+5×4+42)=61π.

圖1

14.解析建立如圖2 直角坐標系, 正方形OABC中, 對角線OB所在直線的斜率為2, 設對角線OB所在直線的傾斜角為θ, 則tanθ= 2, 由正方形性質可知,直線OA的傾斜角為θ ?45°,直線OC的傾斜角為θ+ 45°, 故kOA= tan(θ ?45°) =,kOC= tan(θ+45°) ==?3.(或者利用kOA·kOC=?1,得kOC=?3),答案為

圖2

15.解析由f(x) 的最小正周期為2, 且是奇函數, 可考慮三角函數中的正弦型函數f(x)=Asⅰnωx,(A/=0),根據最小正周期T== 2,可得ω=π.故函數可以是f(x) =Asⅰnπx(A /= 0)中任一個,可取f(x)=sⅰnπx.如圖3,故答案可以為f(x)=sⅰnπx.

圖3

16.解析如圖4, 根據正態曲線的對稱性知: 要使誤差εn在(?0.5,0.5) 的概率不小于0.9545, 則(μ?2σ,μ+2σ)?(?0.5,0.5)且所以0.5 ≥故答案為32.

圖4

三、試題分析

第13 題考查圓臺與球的切接問題,首先依據幾何體的空間結構特征,確定圓臺下底面在球中的位置,然后利用幾何關系得出圓臺的高度,即可求得其體積.考查的知識點是圓臺體積公式,同時也考查了考生空間想象能力,考生要根據所給條件判定圓臺在球體內的位置,才能正確算出圓臺的高.而本題的失分點在于圓臺體積公式并未給出,需要考生記住公式或者會推導出公式,否則,無法得出答案.解答中出現了像不規范書寫,說明同學們平時沒有養成良好的數學學習習慣;出現了像的解答屬于公式記憶錯誤,但出現許多像的解答就讓人百思不得其解了.

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標》)指出:“了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法,運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質,建立空間觀念”.2020年山東省適應性考試填空題第15 題: 若一個圓柱的軸截面是面積為4 的正方形,則該圓柱的外接球的表面積為____.有似曾相識的感覺.近年幾何體的外接球問題依然熱度不減,但命題方向由多面體外接球涉及旋轉體外接球,筆者也曾撰文求多面體外接球問題時可以先轉化求旋轉體外接球.

第14 題題目呈現靈活,給人耳目一新的感覺,體現了命題人智慧,僅利用正切和角公式求直線斜率,這樣簡單的命題背景,一下子就把考生的數學關鍵能力和核心素養給區分出來了.正方形在平面內,位置怎樣擺放不確定,正方形的頂點可以落在原點,也可以不在,上下左右移動均可,正方形的邊長也不確定,想畫多長都行.僅告訴正方形的對角線的斜率為2,要求考生發揮想象,無圖想圖,靈活建立平面直角坐標系,考查兩直線的垂直關系,正切和角公式等知識點.部分考生得出直角邊的直線方程為y=這種答案與要填如斜率不相符,也反映了考生的理解錯誤.典型錯誤是學生空間想象能力不足,沒有判斷好兩條直角邊斜率與對角線斜率的關系,把正確答案和?3 錯弄成和3.一個令人驚訝的事實是,多半考生沒有用到當兩條直線斜率存在時,其斜率乘積為?1 這一事實.

《課標》指出:“在命題中,選擇合適的問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體”,“在命題中,應特別關注數學學習過程中思維品質的形成,關注學生會學數學的能力”.

第15 題是一個首次出現的新題型,試題采用開放式設計, 答案不唯一, 主要考查學生平時的數學積累.考生可以根據自己的理解和知識儲備,舉出多種符合要求的函數.試題體現了理性思維和數學探究的學科素養, 主要考查了考生的創新能力、邏輯推理能力,落實了基礎性、綜合性、創新性的考查要求.這一試題解答情況是4 個題目中最好的,考生得分率最高.試題讓考生寫一個周期為2 的奇函數,許多考生給出f(x) = sⅰnπx的正確解答.實際上這一題考查的知識非常靈活, 考生可以借助誘導公式給出多種正確答案,例如f(x)=asⅰn(πx+kπ),也可依據自己的知識儲備選擇連續的奇函數、離散的奇函數,或分段奇函數,知識背景是傅里葉分析的一個應用.出現的典型答題錯誤是y= sⅰn 2x,y= sⅰn(π+x),y=f(x) = sⅰnπx(x ∈Z)等情況,是對基本周期計算公式掌握不牢導致.

本質上, 該題考查的是一個滿足f(x) +f(?x) = 0,f(x)=f(x+2)(或f(x)+f(x+1)=0)的連續或非連續的函數(例如離散的函數,其定義域可以是實數集R,也可以是實數集R 上的無限個離散的點).這樣的函數是無窮盡的,這就要求我們的考生結合已有的認知,在考場中發揮自己的想象空間.多數考生能夠想到正弦函數,除此之外,常見的還有以下幾種(k ∈Z):

1.定義域為R 上的連續函數:f(x)=

2.離散的定義域或非R 上的函數:f(x) =

3.分段函數:

開放題既考查學生對基本數學概念的掌握情況, 也有利于考生臨場發揮.解答中也有一些鮮見的例子, 例如f(x)=αsⅰn(πx+kπ),說明考生對該知識不僅掌握,還有靈活的運用.

《課標》指出:“命題時,應有一定數量的應用題,還應包括開放性的問題和探究性問題,重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識,問題情景的設計應自然合理.開放性問題和探究性問題的評分應遵循滿意原則和加分原則,達到測試的基本要求視為滿意,有所拓展或創新可以根據實際情況加分.在命制應用題、開放性問題和探究性問題時,要注意公平性和閱卷的可操作性.”

第16 題考查正態分布的基本知識,試題條件充足,也給出了明顯的提示,考查考生綜合運用所學知識解決實際問題的能力.但答題情況不太好,說明考生對概率論的一些基礎知識點掌握不牢.本題的情景熟悉而不落俗套,設計的問題自然而新穎.試題接近考生,貼近生活,使考生體會統計與概率知識與現實生活息息相關,在工作和生活中有著廣泛而重要的應用,形成自覺運用數學知識指導社會實踐的意識,提高綜合實踐能力.試題注重對基礎性、綜合性、應用性、創新性考查, 而綜合性體現在數學學科和物理學科之間的融合.此外,情境創設和問題設計有助于學生數學學科核心素養的形成和發展.

《課標》指出:“感悟服從正態分布的隨機變量,知道連續型隨機變量, 基于隨機變量及其分布解決簡單的實際問題.”,“通過誤差模型,了解服從正態分布的隨機變量.通過具體實例,借助頻率直方圖的幾何直觀,了解正態分布的特征.了解正態分布的均值,方差及其含義.”

綜合分析,試題注重基本知識的考查,注重基本概念的理解和應用,打破了命題的固有套路,增強了開放性和靈活性, 要求學生能夠靈活應用所學的數學知識解決實際問題.填空題四個題合計20 分,全省中有超過一半的考生得零分,平均分預計不會高于5 分.我們要盡快找出造成這種窘境的影響因素,反思教學中存在的不足,及時調整教學方式,優化教學方法,提高教學水平,為培養出更多基本扎實,思維活躍、開拓創新的人才做好充足準備.

四、教學思考

1 認真研讀《課標》,合理利用教材

目前高考處于“三新一舊”(即新高考改革方案、新課程方案、新課程標準、舊教材)的過渡階段, 認真研讀《課標》,領會新課程理念和學科核心素養,合理利用舊教材,適當關注新教材.例如第16 題,設置了與物理學科間融合的科學情境,較好地考查了數學應用意識.在《課標》中對正態分布要求是“通過誤差模型,了解服從正態分布的隨機變量”,而新教材在編寫時較好地落實了這一點,在新教材《高中數學選擇性必修三(人教A 版)》中第83 頁正是通過“自動流水線上包裝食鹽的誤差”來引入連續性的隨機變量,之后提到了“在現實生活中,很多隨機變量都服從或近似服從正態分布.如某些物理量的測量誤差...”這與第16 題的背景高度吻合.沒有了考試大綱,《課標》就是高考命題的依據, 而新教材在編寫上以發展學生數學核心素養為宗旨,體現并落實《課標》提出的基本理念和目標要求,同時又與新高考接軌,由此可見,研究新教材勢在必行,合理利用新、舊教材值得教師們探討.當然,無論使用舊教材還是新教材,都要以教材知識為本,對教材上的知識點、例題加以概括、提高和延伸,起到舉一反三、逐類旁通的效果.

2 明確高考要求,領悟試題變化

《中國高考評價體系》中提出了高考改革將以“一核”、“四層”、“四翼”為考查要求,通過設置真實的問題情境,考查學生靈活運用所學知識分析解決問題的能力,允許學生從多角度作答,使“死記硬背”“機械刷題”“題海戰術”的收益大大降低,引導學生關注點從“解題”向“解決問題”、“做題”向“做人做事”轉變.這次測試打破了命題的固有套路,重視數學知識的理解與應用能力,對機械式刷題的備考模式敲響了警鐘.機械刷題模式培養的學生只知其然,而不知其所以然,固化了學生的思維,對學生后續學習深造和創新能力培養都會產生不良影響.在大學一年級新生中,缺乏分析和解決問題能力的同學并不少見,他們在學習遇到困難時,總渴望老師能給一個解題“法寶”套進去就能得出答案,他們也會得意的把以前老師刷題“法寶”枚舉一些,這種功利式的數學學習方式限制了思維發展,很難培養出優秀創新人才.

高考數學學科命題通過創新試卷結構與試題形式,較好地發揮著高考引導教學的功能.例如第15 題這個結論開放的新題型,沒有唯一答案,給考生留有展示空間,有助于創新性人才選拔.多選題賦分規則做了調整,由之前部分選對的得3 分改為2 分,這樣修改可以更好檢測學生水平,避免投機取巧蒙混過關,更好體現不同層次學生獲得不同分數的選才理念.領悟到高考試題命制變化意圖,教學中就要以發展學生數學核心素養為目標,以知識為載體,突出理性思維,培養學生的探究能力和創新意識.

3 立足“四基”“四能”,提升數學思維能力

高考數學重視對“四基”、“四能”落實,立足數學本質,著重考查數學思想、應用能力及創新能力等.以“四基”為根考查相關概念性知識要素,以“四能“為干考查相關知識的性質及應用等,把類化、拓展性等知識作為考查核心素養的抓手,科學考查數學的必備知識、關鍵能力、與學科素養.例如第14題求直線斜率,題目設計新穎,呈現靈活,要求考生無圖想圖,恰當圖形擺放是基本活動經驗的體現,正確答案得出是關鍵能力的達成.

教學中存在著“考什么、教什么、學什么”和“不考便不教、不學”的功利做法,導致對知識本質缺乏理解,忽視學生知識遷移能力培養.例如第13 題求圓臺的體積,失分原因就在于主觀認為圓臺體積公式不會考, 即使考也會給出公式,而這次考試出乎意料正中軟肋,考生不記得公式,也不會利用圓錐去推導,自然無謂失分.同樣,雙曲線一般不出大題,這次在第20 題出了道雙曲線大題,即使設問方式比較常規,求解方法也是通性通法,也使得考生驚慌失色,束手無策.圓臺與圓錐間的化歸與轉化思想,雙曲線與橢圓的聯想類比思想,這些典型的數學思想方法要在日常的教學中去滲透,要讓這些思想方法能遷移內化成理性思維能力,還要能將這些數學思維能力體現在操作應用上.

當拿到一個關于橢圓的問題,能否靜下心來把它做好?做好之后能否進一步去思考,換成拋物線會怎么樣? 換成雙曲線會怎么樣? 不能因為“雙曲線不考”就不去做, 類比推理、延申拓展、變式探究,都是在這個過程中體現的,構建知識結構網絡體系也是在這個過程中完成的.當認真地思考過后,數學思維水平自然就在加深,數學關鍵能力自然就在提高.人們常說“一道題做透了,遠勝于100 道題”,就是這個道理.即使題目再變,也不會覺得可怕,因為所有的規律都已被掌握,這就是真正的“看透了”.高考要求考生應該具有的觸類旁通、融會貫通的邏輯思維能力,所以,教學中我們要加強通性通法的教學力度,重視一題多解、一題多變的思維拓展,注重思想與方法的總結與提煉,讓學生理解數學知識的本質,更有效地提升他們的數學思維品質及分析問題與解決問題的能力.