從一道判斷兩條直線位置關系的試題談起*

北京市第十二中學高中部(100071) 劉 剛

1 試題

題目(2020年1月北京市石景山區高三期末考試)已知橢圓C:=1 過點P(2,1).

(1)求橢圓C的方程,并求其離心率;

(2)過點P作x軸的垂線l,設點A為第四象限內一點且在橢圓C上(點A不在直線l上),直線PA關于l的對稱直線PB與橢圓交于另一點B.設O為坐標原點,判斷直線AB和直線OP的位置關系,并說明理由.

試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質、直線與直線、直線與橢圓的位置關系,考查了數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養,檢驗了分析問題與解決問題的能力.第(1)問求得橢圓C的方程是= 1,離心率為下面重點談一談第(2)問的解法以及試題的思考.

2 解法探究

解法1由已知可得kPA+kPB= 0, 設直線PA的方程為y ?1 =k(x ?2), 直線PB的方程為y ?1 =?k(x?2),設A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+1)x2+8k(1?2k)x+16k2?16k ?4 = 0,所以2x1=即x1=同理,x2=所以x2?x1=由y1=kx1?2k+1,y2=?kx2+2k+1,得y2?y1=?k(x1+x2)+4k=于是且點A不在直線OP上,故直線AB和直線OP平行.

點評由于直線PA、PB的斜率互為相反數,所以解法1 先從直線PA入手,聯立直線PA與橢圓C的方程,利用韋達定理表示出點A的橫坐標,同理得到點B的橫坐標,然后利用斜率公式將問題解決,體現了方程、轉化的數學思想.

解法2設直線AB的方程為y=kx+m, 與=1 聯立,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2?8=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則

由已知可得kPA+kPB=0,而

將①代入,整理得(2k ?1)(2k+m ?1) = 0,所以k=或m= 1?2k.當m= 1?2k時, 直線AB的方程為y=k(x ?2)+1,此時直線AB過點P,這與已知不符,所以且點A不在直線OP上,故直線AB和直線OP平行.

點評判斷直線AB和直線OP的位置關系,關鍵是要求出直線AB的斜率,因此解法2 從直線AB入手,聯立直線AB與橢圓C的方程進行求解,體現了坐標法的應用.

解法3設由已知可得kPA+kPB=0,而

于是

點評解法3 借助橢圓的參數方程表示出點A、B的坐標,然后借助三角公式化簡求解,體現了創新性,培養了思維的發散性.

解法4設A(x1,y1),B(x2,y2),因為A,B兩點在橢圓C上,所以

兩式相減,得x1+x2+ 2(y1+y2) = 0, 即=?2, 所以又kOP=且點A不在直線OP上,故直線AB和直線OP平行.

點評由已知條件可得kPA+kPB= 0,而結論與直線AB的斜率有關,因此解法4 設出點A,B的坐標,代入橢圓C的方程并作差,表示出直線AB,PA,PB的斜率求解,體現了方程的思想.

解法5設A(x1,y1),B(x2,y2), 由已知可得kPA+kPB== 0.又直線AB不過點P, 所以設直線AB的方程為m(x ?2)+n(y ?1) = 1(n /=否則直線AB過點(2,?1),與已知不符),將橢圓C的方程=1 化為(x ?2)2+4(y ?1)2+4(x?2)+8(y?1)=0,與直線AB的方程聯立,得(x ?2)2+4(y ?1)2+[4(x ?2)+8(y?1)][m(x?2)+n(y?1)]=0,即(4m+1)(x ?2)2+(8n+4)(y ?1)2+(8m+4n)(x?2)(y?1)=0.兩邊同時除以(x ?2)2,得此方程可以看成是關于的一元二次方程,是該方程的兩個實數根, 所以即于是kAB=且點A不在直線OP上,故直線AB和直線OP平行.

點評由已知可得kPA+kPB=因此解法5 通過構造、齊次化得到了關于的一元二次方程求解,這種方法是解決從一點出發的兩條直線的斜率和或積為定值問題的利器.

3 思考

將試題第(2)問的幾何條件代數化,得到的等價形式為:已知點P(2,1)在橢圓C:= 1 上,過P引兩條斜率互為相反數的直線PA、PB, 與橢圓C分別交于另一點A、B,求證:OP//AB.

思考1將橢圓一般化,位于橢圓第一象限上點P的坐標為何值時,能由kPA+kPB=0?OP//AB?

經過探究, 當點P的坐標為時, 可 由kPA+kPB=0?OP//AB.于是有:

性質1已知點P是橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的第一象限上的一點,過P引兩條斜率互為相反數的直線PA、PB,與橢圓C分別交于另一點A、B,若點P的坐標為則OP//AB(其中O為坐標原點).

思考2點P的坐標為是OP//AB的什么條件?

經過進一步探究,發現這是充要條件,于是有:

性質2已知點P是橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的第一象限上的一點,過P引兩條斜率互為相反數的直線PA、PB,與橢圓C分別交于另一點A、B,則點P的坐標為的充要條件是OP//AB(其中O為坐標原點).

思考3若P是橢圓C上不同于左、右頂點的定點,且kPA+kPB=0,則直線AB有何特點?

經過探究,發現直線AB的斜率為定值.于是有:

性質3 已知P(x0,y0)(y0/= 0)是橢圓C:1(a ＞b ＞0)上的定點,過P引兩條斜率互為相反數的直線PA、PB,與橢圓C分別交于另一點A、B,則直線AB的斜率為定值且該定值等于點P處切線斜率的相反數.

思考4若P是橢圓C上的定點,且kPA+kPB是非零常數,則直線AB有何特點?

經過探究,有下面的結論.

性質4已知P(x0,y0)是橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)上的定點,過P引兩條直線PA、PB與橢圓C分別交于另一點A、B,若kPA+kPB=λ(λ為非零常數),則直線AB過定點

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),由已知可得kPA+kPB==λ,b2x02+a2y02=a2b2.又直線AB不過點P,設直線AB的方程為m(x ?x0)+n(y ?y0) =1, 將橢圓C的方程= 1 化 為b2(x ?x0)2+a2(y ?y0)2+2x0b2(x ?x0)+2y0a2(y ?y0) = 0, 與直線AB的方程聯立,得b2(x ?x0)2+a2(y ?y0)2+[2x0b2(x ?x0) + 2y0a2(y ?y0)][m(x ?x0) +n(y ?y0)] = 0, 即(2mx0+1)b2(x ?x0)2+(2ny0+1)a2(y ?y0)2+2(my0a2+nx0b2)(x ?x0)(y ?y0) = 0.兩邊同時除以(x ?x0)2,得(2ny0+ 1)a2()2+ 2(my0a2+nx0b2)(2mx0+ 1)b2= 0, 此方程可以看成是關于的一元二次方程, 且是該方程的兩個實數根,所以=λ,即與m(x?x0)+n(y?y0)=1 比較,得x=x0?,y=?y0?,故結論得證.

思考5若P是橢圓C上的定點,且kPA·kPB是非零常數,則直線AB有何特點?

經過探究,有下面的結論.

性質5已知P(x0,y0)是橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)上的定點,過P引兩條直線PA、PB與橢圓C分別交于另一點A、B,且kPA·kPB=μ(μ為常數).

(1) 若μ=則kAB=

(此時x0/= 0); (2) 若則直線AB過定點

性質1,2,3,5 留給讀者自行完成.

4 變式

以上述性質為背景的各類試題頻繁出現,列舉幾例,供讀者練習.

題目1(2019年高考北京卷文科第19 題) 已知橢圓=1 的右焦點為(1,0),且經過點A(0,1).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設O為原點,直線l:y=kx+t(t /=±1)與橢圓C交于兩個不同點P,Q,直線AP與x軸交于點M,直線AQ與x軸交于點N,若|OM|·|ON|= 2,求證: 直線l經過定點.

題目2(2016年全國高中數學聯賽浙江預賽)已知橢圓= 1(a ＞b ＞0)經過點離心率為過橢圓C的右焦點作斜率為k的直線l,交橢圓于A,B兩點,記PA,PB的斜率為k1,k2.

(1)求橢圓C的標準方程;(2)若k1+k2= 0,求實數k的值.

題目3(2019年全國高中數學聯賽吉林預賽)已知橢圓=1(a ＞b ＞0)的左、右焦點分別為F1、F2,右頂點為A,P為橢圓C上任意一點.已知的最大值為3,最小值為2.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(M、N不是左右頂點),且以MN為直徑的圓過點A.求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

題目4(2018年4月北京市海淀區高三一模)已知橢圓= 1(a ＞b ＞0)的離心率為且點T(2,1)在橢圓C上.設與OT平行的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,直線TP,TQ分別與x軸正半軸交于M,N兩點.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)判斷|OM|+|ON|的值是否為定值,并證明你的結論.

題目5(2017年高考全國Ⅰ卷理科第20 題) 已知橢圓C:= 1(a ＞b ＞0), 四點P1(1,1),P2(0,1),中恰有三點在橢圓C上.

(1)求C的方程;

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點,若直線P2A與直線P2B的斜率的和為?1,證明:l過定點.

參考答案:

1.(1)+y2=1;(2)直線l經過定點(0,0).

4.(1)=1;(2)|OM|+|ON|為定值4.