分類討論思想在數軸動點問題中的應用

廣東省佛山市順德區桂鳳初級中學(528315) 曾 彬

數軸是學生進入初中學習到的有關于有理數在直線中表示的方法,數軸上的動點問題是在學習了絕對值、數軸后學習到的一類綜合性題目,它可以很好地考察學生數形結合思想、分類討論思想,學習好它可以為今后學習數形結合、分類討論打好基礎,因此常常受到出題者的青睞,而數軸上的動點行程問題又是一類最典型問題,它綜合了行程問題、數形結合、分類討論思想,對這類問題進行分類有利于學生更好的掌握知識和方法,做到分類不遺不漏,有依有據.

1 主要涉及的知識和概念

數軸: 規定原點、正方向、單位長度的直線叫數軸.

路程、速度、時間的關系: 路程=速度×時間.

數軸上點的用字母表示的方法: 因為我們規定數軸上原點的右邊為正方向,向左為負方向,所以一個點向右移動只需要在原來這個數加上運動距離,一個點向左移動只需要在原來這個數減去運動距離, 即可以得到移動后所表示的數.如: 數軸上有一點A,對應的數為a,若點A向右移動m個單位長度到點B,則點B表示的數為a+m(如圖1);若點A向左移動m個單位長度到點C,則點C表示的數為a ?m(如圖2).

圖1

圖2

數軸上兩點之間的距離: 數軸上兩點間的距離就是數軸上這兩個點所對應的數的差的絕對值,但初一的學生剛學完絕對值,對絕對值的計算已經感覺很困難掌握,所以本文所講的數軸上兩點間的距離指的數軸上右邊點表示的數減去左邊點表示的數,即: 數軸上兩點間的距離=右邊的點所表示的數?左邊的點表示的數.例如: 數軸上點A、B分別對應的數為數a和數b,其中點A在點B的右邊,則點A和點B兩點的距離為a ?b(如圖3).

圖3

2 問題分類及解法

2.1 相遇問題

學生在小學就學過相遇問題也可以分為兩類,一類是相向相遇,這是學生最容易掌握,小學這類題應用題做的很多,另一類是同向相遇,即我們所說的追趕問題.

2.1.1 相向相遇

例題1如圖4,已知A、B分別是數軸上的兩個點,A點對應的數為?6,B點對應的數為4,其中A點以每秒3 個單位長度向右運動,B點以每秒2 個單位長度向左運動,若它們同時運動,則經過多少秒A、B兩點相遇?

圖4

方法一(幾何法): 小學時候學習過的相遇問題,點A和點B所走的路程之和就是AB的距離.假設A、B兩點在點P相遇(如圖5),則AP+BP=AB.設經過t秒A、B兩點相遇,則AP= 3t,BP= 2t,根據題意得: 3t+2t= 10.解得t=2.

圖5

方法二(代數法):A、B兩點相遇就是這兩個點最好重合在一起變成一個點,假設點A、B在點P相遇,即相遇的時候A、B點跟點P重合在一起(如圖5), 設經過t秒A、B兩點相遇, 則點A運動的距離為3t, 點B運動的距離為2t, 根據本文前面提到的數軸上點運動前后的表示方法可知,點A運動t秒后表示的數為?6+3t,點B運動t秒后表示的數為4?2t,因為他們相遇了,所以表示同一個數,即?6+3t=4?2t.解得t=2.

從上面兩種解法可知, 幾何法注重線段之間數量關系,對于簡單的相遇問題學生還是很容易找到這種關系的,此時我們還看不出代數解法的優越性,下面我們繼續看相遇問題的另一類型題追趕問題.

2.1.2 同向相遇

所謂同向相遇就是兩個點起點不同, 運動速度也不同,但運動方向相同,又被稱為追趕問題,通常后面這個點運動速度比較快,前面被追趕的點運動速度較慢.

例題2如圖6,已知A、B分別是數軸上的兩個點,A點對應的數為?6,B點對應的數為4,其中A點以每秒3 個單位長度向右運動,B點以每秒2 個單位長度向右運動,若它們同時運動,則經過多少秒A、B兩點相遇?

圖6

分析: 點A、B都是向右運動, 屬于同向運動的追趕問題,因為他們是同時運動的,所以最終也肯定在B點右側相遇,假設點A追上點B的的位置是點P(如圖7),即表示A、B、P三點重合.所以只要表示出運動后點A、點B表示的數就可以了.

圖7

2.1.3 方向不定的相遇運動

方向不定即題目中沒有給出兩個點向什么方向運動,對于這類題目就需要分類討論,兩個點是相向運動,兩個點同時向左或向右運動,解答就要把上面兩個例題的答案都要寫出來.例如把上面例題2 改為:

例題3如圖6 已知A、B分別是數軸上的兩個點,A點對應的數為?6,B點對應的數為4,其中A點以每秒3 個單位長度運動,B點以每秒2 個單位長度運動,若它們同時運動,則經過多少秒A、B兩點相遇?

分析: 這道題跟前面兩道題對比卻別在于,這道題沒有明確說明這兩個點的運動方向,因此在解題的時候我們需要最它們進行分情況,即A、B兩點反向運動和同向運動.

從上面三道例題不難發現,遇到相遇問題如果題目中沒有給出運動方向,那么我們就要分情況討論如例題3.從解法上也可以發現用傳統的幾何方法來解數軸問題往往需要畫出示意圖,在列出線段間的數量關系,但畫示意圖已經難倒很多同學,而用代數方法來解往往不需要畫示意圖,而且列等式也簡單,即表示同一個數就是相等的意思.

2.2 相距問題

相距問題就是兩者之間的距離問題,動點問題的相距問題可以分為相向運動的相距問題和同向運動的相距問題.

2.2.1 相向運動相距問題

相向運動的相距問題又可以分為相遇前相距和相遇后繼續運動導致的相距問題.

例題4(2016 秋·鹽城月考)A、B兩點在數軸上,點A表示的數是?6,點B在原點的右邊且與點A相距15 個單位長度.若點A以2 個單位/秒的速度向右運動,同時點B以3 個單位/秒的速度向左運動,經過多長的時間A、B兩點相距10 個單位長度?

分析: 這道題屬于反向運動中的相距問題,根據題意可以知道需要分類討論,在相遇前相距20 個單位長度,即運動后點B表示的數?點A表示的數=10;第二種情況是相遇后動點A表示的數?動點B表示的數=10.

2.2.2 同向運動相距問題

同向運動的相距問題又也可以分為相遇前相距和相遇后繼續運動導致的相距問題

例題5(2018 秋·佛山禪城區期末) 如圖,已知數軸上點A表示的數為6,B是數軸上在A左側的一點,且A,B兩點間的距離為10.動點P從點A出發,以每秒5 個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動,動點Q從點B出發,以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動.

(1)設運動時間為t(t ＞0)秒,數軸上點B表示的數是____,點P表示的數是____(用含t的代數式表示);

(2)若點P、Q同時出發,求:

①當點P運動多少秒時,點P與點Q相遇?

②當點P運動多少秒時, 點P與點Q間的距離為8個單位長度?

分析: 這里的第(2)中的第②問就是同向相距問題, 需要分兩種情況討論,當P不超過Q時,點P表示的數?點Q表示的數= 8;當點P超過點Q時,點Q表示的數?點P表示的數=8.

2.2.3 方向不定的相距問題

方向不定就是題目沒有告訴我們點是往哪個方向運動的,這時候我們就要分4 中情況討論.相向運動中的兩種情況和同向運動中的兩種情況.

例題6(2018 秋·佛山南海區期末) 如圖,在數軸上點A表示的數a、點B表示數b,a、b滿足|a?6|+(b+12)2=0.點O是數軸原點.

(1)求線段AB的長;

(2)點A以每秒1 個單位的速度在數軸上勻速運動,點B以每秒2 個單位的速度在數軸上勻速運動.設點A、B同時出發,運動時間為t秒,若點A、B能夠重合,求出這時的運動時間;

(3)在(2)的條件下,直接寫出經過多少秒后,點A、B兩點間的距離為20 個單位.

分析: 第(3)問就是典型的沒有運動方向的相距問題,所以答案有4 個.

2.3 反向運動的相遇或相距

雖然也是相距或相遇問題,但這類問題遠比前面兩類問題要難,因為它的運動起點往往不能看成原來的起點,而是要把返回點看成起點,并且最近幾年這類題屬于創新題,考的比較多,所以有必要分開來研究.前面兩類題我們能明顯地感覺到代數解法的簡便性,易理解易掌握.對于這類問題其實也可以用代數的方法來解.

例題7(2019 秋· 順德區期末) 如圖O為數軸的原點, 點A、B在數軸上表示的數分別為a、b, 且滿足(a ?20)2+|b+10|=0.

(1)寫出a、b的值;

(2)P是A右側數軸上的一點,M是AP的中點.設P表示的數為x,求點M、B之間的距離;

(3)若點C從原點出發以3 個單位/秒的速度向點A運動,同時點D從原點出發以2 個單位/秒的速度向點B運動,當到達A點或B點后立即以原來的速度向相反的方向運動,直到C點到達B點或D點到達A點時運動停止,求幾秒后C、D兩點相距5 個單位長度?

分析: 第(3)問是這道題的難點,順德區七年級期末連續兩年都考了類似的返回類型的題目, 明顯需要分情況討論,當C、D還沒到達A、B點時距離等于5,當D到達點B,點C沒到達點A前明顯距離不可能等于5,當C、D到達A、B后返回運動過程中相遇前相距5 和相遇后相距5,返回的運動相當于C、D兩點看成從A、B出發.

從上面的題目討論中可知,用代數法大大減小了思維容量,找線段之間的關系對學生來說本來就是一個難點,通過代數的方法可以讓更多的學生掌握,培養學生的數形結合的意識和創新意識.

3 解題方法提煉

從上面例題分析中我們可以知道用代數法解動點問題是有步驟可尋的:

第一步: 找到動點起點所表示的數;

第二步: 用代數式表示動點運動的距離;

第三步: 用代數式表示出運動后這個動點表示的數:

第四步: 根據題意,若是相遇問題就是運動后兩點所表示的數相等;若是相距問題就要分類討論相遇前相距和相遇后繼續運動導致的相距問題,用右邊點表示的數減去左邊點表示的數等于相距的距離.

只要掌握這四個步驟,行程問題中的動點問題也就變為紙老虎,再也不是優生的專利,中等生、甚至中等偏下的學生一樣可拿滿分.

動點問題是培養學生分類討論、數形結合思想一個強有力的工具,對于動點問題中的多種方法的解答有利于培養學生創新思維能力,代數法的解答大大降低思維難度,做到化難為簡,對初一學生建立學習好數學的信心大有幫助,同時對學生以后學習立體幾何具有深刻的影響.