層層遞進(jìn),深入探究
——以一道浙江中考題為例

浙江省杭州市杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(310023) 傅旭丹

2020 年杭州市的中考第23 題跟2019 年一樣仍然是圓的綜合題型,難度較大,需要學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)積累以及技巧性的處理.筆者與學(xué)生一起,在課堂上探究本題的多種解法時(shí)作了幾個(gè)變式拓展,記下與同行分享.

1 原題呈現(xiàn)

(2020 杭州市中考)如圖1,已知AC,BD為⊙O的兩條直徑, 連接AB,BC,OE ⊥AB于點(diǎn)E, 點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn),連接EF.

(1) 設(shè)⊙O的半徑為1, 若∠BAC=30°,求線段EF的長(zhǎng).

圖1

(2)連接BF,DF,設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P,

①求證:PE=PF.

②若DF=EF,求∠BAC的度數(shù).

由于第一小題比較容易,筆者著重探究第二小題兩問(wèn)的解法與變式.

參考答案: ①作FG ⊥AB于點(diǎn)G, 與BO交于點(diǎn)H,連接EH.通過(guò)證明OE與FH平行且相等可得四邊形OEHF是平行四邊形, 故PE=PF.②由于FG平行于OE、BC,F為OC中點(diǎn), 故FG既是高線又是中線, 所以EF=FB=DF;又O是BD的中點(diǎn),因此FO ⊥BD,于是∠BAC=45°.

2 解法探究

這是一道平面幾何綜合題,命題者將輔助線、特殊三角形和圓的基本性質(zhì)完美地結(jié)合在一起,比以往中考題更加靈活.參考答案看起來(lái)簡(jiǎn)潔明了,似乎難度并不大.但學(xué)生不一定能馬上想到輔助線,進(jìn)入既定“軌道”.筆者引導(dǎo)學(xué)生一起思考并補(bǔ)充,整理了幾種不同解決方案.

方案一:

①如圖2, 取OA中點(diǎn)I, 連接IE.由I、E分別是OA、AB的中點(diǎn)可得IE平行于OB; 再由O是IF的中點(diǎn)可知,P平分EF, 即PE=PF.

②過(guò)點(diǎn)F作FG ⊥AB于點(diǎn)G,做法與參考答案一樣.

圖2

以上最后一問(wèn)的解法,關(guān)鍵在于證明EF=BF.由此筆者整理了以下兩種通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)證明線段相等的方案.

圖3

圖4

方案二:

①如圖3, 過(guò)F作FG//AB, 連接CD.因?yàn)镕是OC的中點(diǎn), 故FG=由垂徑定理可知,=FG,再由FG//BE得ΔFGP與ΔEBP全等,故PE=PF.

②通過(guò)SAS可證明ΔAEF∽= ΔGFB,得到EF=FB以后同參考答案.

方案三:

①同以上任何一種.

②如圖4, 通過(guò)SAS可證明ΔEOF∽= ΔBMF, 得到EF=FB以后同參考答案.

事實(shí)上,不管是哪種解決方案, 學(xué)生必須先能結(jié)合所學(xué)知識(shí)找到合適的輔助線,這對(duì)很多初中生來(lái)說(shuō)非常困難,此時(shí)解析法很有可能可以幫上大忙.由題意可知, 四邊形ABCD是矩形,所以如圖5 建立平面直角坐標(biāo)系.于是有以下方案.

圖5

方案四:

①設(shè)B(c,0),D(0,d),則C(c,d),利用待定系數(shù)法可求得直線EF與BD的解析式分別為聯(lián)立求出交點(diǎn)為再利用兩點(diǎn)間距離公式可得PE=PF.

②由EF=DF得因此c=d,于是∠BAC=45°.

相比之下,解析法在求證第一個(gè)結(jié)論時(shí)計(jì)算顯得有些繁瑣,但很快能得到第二個(gè)結(jié)論.解題過(guò)程中對(duì)學(xué)生的思維要求相對(duì)較低,不失為一種好的方案.眾所周知,歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題有以下設(shè)計(jì)特點(diǎn): 知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活.一般情況我們能從多個(gè)角度來(lái)解題,涉及的知識(shí)點(diǎn)和方法有所不同.本題就有以上優(yōu)秀壓軸題應(yīng)有的所有氣質(zhì),不得不說(shuō)命題人很高明.教師平時(shí)多給學(xué)生講解此類問(wèn)題,探究一題多解,可以在解題過(guò)程中復(fù)習(xí)鞏固各項(xiàng)知識(shí)點(diǎn),提高學(xué)生解題興趣并提升思維品質(zhì).

3 變式拓展

在探究一題多解的同時(shí),筆者讓學(xué)生思考能否將本題做改編.可以固定題中直徑AC的位置,BD在轉(zhuǎn)動(dòng),由于F位置不變,E在改變,所以DF與EF的長(zhǎng)度都隨著B(niǎo)D發(fā)生變化.于是筆者打算探究一下DF與EF的長(zhǎng)度之比.

接著方案四的解析法, 由于EF=當(dāng)d /= 0 時(shí),λ=因?yàn)楫?dāng)d= 0 時(shí),λ= 3.綜上所述,λ ∈本題最后一問(wèn)就是當(dāng)λ= 1 時(shí)求∠BAC的度數(shù),那么λ取其它值時(shí)∠BAC是幾度呢?

變式1已知AC,BD為⊙O的兩條直徑, 連接AB,BC,OE ⊥AB于點(diǎn)E, 點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn), 連接EF,BF,DF,設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P,若DF=2EF,求∠BAC的度數(shù).(答案: tan ∠BAC=

變式2已知AC,BD為⊙O的兩條直徑, 連接AB,BC,OE ⊥AB于點(diǎn)E, 點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn), 連接EF,BF,DF,設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P,若∠BAC= 60°,求DF:EF.(答案:

以上兩個(gè)問(wèn)題用幾何法解起來(lái)比較困難,解析法通過(guò)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,能輕松解決.事實(shí)上,圖形當(dāng)中還有兩條動(dòng)線段DE與CE(DE=CE).我們同樣可以探究DE與EF的長(zhǎng)度比值對(duì)∠BAC的影響.

當(dāng)d /= 0 時(shí),κ=因?yàn)楫?dāng)d= 0 時(shí),κ= 2.綜上所述,κ ∈于是筆者給出以下兩個(gè)變式,讀者可以自行計(jì)算.

變式3已知AC,BD為⊙O的兩條直徑, 連接AB,BC,OE ⊥AB于點(diǎn)E, 點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn), 連接EF,BF,DF,設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P,若DF=求∠BAC的度數(shù).(答案: 45°)

變式4已知AC,BD為⊙O的兩條直徑, 連接AB,BC,OE ⊥AB于點(diǎn)E, 點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn), 連接EF,BF,DF,設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P,若∠BAC= 60°,求DE:EF.(答案:

做完以上變式, 學(xué)生繼續(xù)挖掘原題中可以變化的條件,提出如果將F變?yōu)榫€段OC的三等分點(diǎn),我們是否可以做相應(yīng)的探究呢?

圖6

圖7

圖8

如圖6,F,G是OC的三等分點(diǎn),E,H是AB的三等分點(diǎn).找到線段OA的三等分點(diǎn)I,J, 連接IE,JH.根據(jù)平行線分線段成比例定理不難證明FP:PE= 2 : 1,GQ:QH=1:2.與F為OC的中點(diǎn)時(shí)同理,我們可以證明圖中EF=FB,于是當(dāng)DF=EF時(shí)∠BAC= 45°.事實(shí)上,若DG=GH,∠BAC大小不變.這些探究學(xué)生自己能完成,如果探究到此為止,那么也就跟原題大同小異并沒(méi)有什么新意.筆者發(fā)現(xiàn)圖中GH與GB長(zhǎng)度也相等,那么GH和EF的長(zhǎng)度有何關(guān)系呢?

變式5已知AC,BD為⊙O的兩條直徑,連接AB,BC.E,H是AB的三等分點(diǎn),點(diǎn)F,G是半徑OC的三等分點(diǎn),連接EF,BF,DF,GH,GB, 設(shè)OB與EF、GH分別交于點(diǎn)P、Q.

(1)求證:FP:PE=2:1,GQ:QH=1:2.

(2)若DF=EF,求∠BAC的度數(shù).

(3)若GH=EF,求∠BAC的度數(shù).

關(guān)于第三問(wèn), 當(dāng)GH=EF時(shí),BF=BG.過(guò)B作BK ⊥OC于點(diǎn)K,則K為FG的中點(diǎn).設(shè)CK=a, 則AK= 3a,由射影定理可得BK=于是tan ∠BAC=故∠BAC=30°.更一般地,我們有如下結(jié)論.

推論如圖8, 已知AC,BD為⊙O的兩條直徑,連 接AB,BC.E1,E2,··· ,En?1是AB的n等分點(diǎn),點(diǎn)F1,F2,··· ,Fn?1是半徑OC的n等分點(diǎn),設(shè)OB與E1F1,E2F2,···En?1Fn?1分別交于點(diǎn)P1,P2,··· ,Pn?1.則有以下結(jié)論:

①FiPi:PiEi=(n ?i):i,其中i=1,2,··· ,n ?1.

②若DF=EiF i(i=1,2,···n ?1), 則∠BAC=45°.

③n為奇數(shù)時(shí), 若對(duì)于某個(gè)i= 1,2,··· ,有EiF i=En?iFn?i, 則∠BAC= 30°;n為偶數(shù)時(shí), 若對(duì)于某個(gè)i= 1,2,··· ,?1, 有EiF i=En?iFn?i, 則∠BAC=30°.

4 一點(diǎn)反思

對(duì)于一線教師來(lái)說(shuō),中考、高考題是不可多得的寶貴資源,如何用好這個(gè)資源是我們永恒的課題.真題是考試的精華所在, 它將考試范圍內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)以題目的形式展現(xiàn)出來(lái),這也是命題專家智慧的結(jié)晶.真題充分體現(xiàn)該題命題思路和意圖,教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)分析題目的關(guān)鍵要點(diǎn),了解相關(guān)內(nèi)容的意義,學(xué)會(huì)從命題者的角度分析問(wèn)題,尋找解決問(wèn)題的切入口,培養(yǎng)“題感”.要在課堂上講好一道題,教師需引導(dǎo)學(xué)生從多方面思考問(wèn)題,找到多種解題方法,從而盡可能全面地復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)點(diǎn).比如用幾何法解本題時(shí),要求學(xué)生有非常強(qiáng)的應(yīng)變能力,靈活度大.此時(shí)看看能否建立直角坐標(biāo)系,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)、線段、角度的計(jì)算問(wèn)題,思維上的要求就低了很多.同時(shí),也可以讓學(xué)生嘗試改編題目,自己編、自己解,這種體驗(yàn)非常有意思.學(xué)生提出將中點(diǎn)改成三等分點(diǎn)后,相應(yīng)問(wèn)題的探究其實(shí)跟之前大同小異.學(xué)生可以再次理清求證思路,加深理解.教師在此基礎(chǔ)上,可以適當(dāng)開(kāi)拓新的問(wèn)題,這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的解題興趣,也更有解題的成就感,提高思維的靈活度.另一方面,教師也能在教學(xué)活動(dòng)中積累“功力”,提升專業(yè)素養(yǎng).