從“貓抓老鼠”談利用中點解決線段最值問題

廣東省廣州市南沙區教育發展中心(511458) 黃安錦

《數學課程標準(2011 版)》強調學生親歷知識的發展過程,能將現實問題抽象并轉化為數學問題,并體會其中的數學思想方法,在獲得四基的同時,四能得到培養,最終發展成終身學習所需的數學學科核心素養.最值問題是學生初中階段必須掌握的重要內容,也是近年各地中考的熱點,此類問題一般具有涉及知識面廣、命題類型多、生活應用性強等特征,對學生的綜合解題能力要求也較高.部編版八年級上冊“13.4 課題學習——最短路徑問題”重點描述了將軍飲馬和造橋選址兩類問題,這是最常見的線段最值問題,主要依據是“兩點之間線段最短”.深入探究后我們發現,“線外一點到線上動點最短距離為垂線段距離”,“點心所在直線上可以找到點和圓上的點間最長距離或最短距離”也是解決線段最值問題的常用方法.在剛結束廣東省2020 年中考中也出現了一道以“貓抓老鼠”為問題背景的線段最值問題,本文以該題的解題模型分析為契點,談談線段最值問題的解題策略.

1 題目再現

有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑, 一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠, 等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓、老鼠都理想化為同一平面內的線或點,如下圖1,∠ABC= 90°,點M、N分別在射線BA、BC上,MN長度始終不變,MN= 4,E為MN的中點, 點D到BA、BC的距離分別為4 和2.在此滑動過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為____.

試題分析: 本題涉及直角三角形的基本性質、線段的最短距離,對學生的數學模型思想進行了考查.此題看起來就是求兩點之間的最短距離,很多學生看到題目的同時“兩點之間,線段最短”的結論就出來了,但在對試題進行深入了解后深嘆解決問題的方法沒想象中那般簡單,老鼠所在的E點是MN上的一個動點,而試題中并未直接給出E點的運動軌跡,E點隨著梯子MN的滑動而發生改變,與常見的“將軍飲馬”中的在定直線上找動點的方向大相徑庭,無法找到解題的關鍵突破后導致失分.

圖1

圖2

圖3

解題分析: 本題的解題關鍵在于如何確定點E的運動軌跡,題目中給出了幾個非常重要的信息: ①ΔABC是直角三角形; ②點E是斜邊MN上的中點; ③MN= 4,斜邊長度為定值.我們不難發現,BE為RtΔMBN斜邊MN上的中線,則BE=點B與點E間的距離為定值,隨著MN的移動,點E的運動軌跡為圓弧(如上圖2).貓與老鼠的距離為點D到⊙B上點E的距離,利用“點到圓的位置關系”可以判斷,當BD交⊙B于點E時,DE取得最小值(如上圖3),答案也油然于紙上,DE=

2 利用中點解決線段最值問題策略

常見的幾何圖形通常會作為線段最值問題的常見載體,而其中涉及線段中點的線段最值問題也是各地命題中的“香餑餑”,這類問題的解題關鍵往往與三角形的中線或者中位線相關,如何找出動點的運動軌跡從而構建出解決問題的數學模型則為解決這類問題的難點.像前面中考題中出現的動點是定長動線段的重點, 且該線段為某直角三角形的斜邊,這類問題只要緊緊抓住“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一基本性質,基本可以確定該點的運動軌跡為以直角頂點為圓心,以中線長為半徑的圓或某段圓弧上,在點到圓的位置關系及三角形三邊的關系往往能輕松破解這類線段最值問題,如2020 年廣東省中考中出現的“貓抓老鼠”問題就屬此類,下面通過幾類變式練習對解決以三角形為載體的線段最值問題的策略進行探索.

變式1如圖4,在坐標系xOy中,點A和點B分別為x軸正半軸和y軸正半軸上的點,且AB=4,點C為線段AB的中點,點D為(3,4).當OC+CD最小時,求此時點C的坐標.

圖4

圖5

圖6

解題分析: 從題中不難發現,本問題與例題異曲同工,問題以更直觀的平面直角坐標系來描述兩點之間的位置關系,求OC+CD取得最小值時點C.問題的關鍵在于定點D與定長線段AB中點E間的距離關系,顯然,點E的運動軌跡在以點O為圓心,以斜邊AB長度的一半為半徑的圓弧上,利用三角形三邊關系可知,OC+CD ＞OD(如圖5),當點O、C、D共線時,OC+CD取得最小值，利用勾股定理不難求出OC+CD=OD=5,再利用ΔOCH和ΔODG相似的基本性質,可求得點C的坐標.

解如圖6,因為點C是RtΔAOB斜邊AB上的中點,所以OC== 2,過點O,以2 為半徑作圓,連接OD,交⊙O于點C.分別過點C、點D作CH⊥x軸于點H,DG⊥x軸于點G.

因為點D為(3,4),所以OG=3,DG=4,在RtΔDOG中,OD=當點O、C、D共線時,OC+CD取得最小值, 最小值為OD= 5.又因為∠COH= ∠DOG, ∠CHO= ∠DGO= 90°, 所以ΔOCH∽ ΔODG.所以即解得所以此時點C的坐標為

拓展思考: 若把上述條件中“當OC+CD最小時”改為“當OC+CD取得最值時”,結論會發生怎樣的變化呢?

變式2如圖7, 在ΔABD中, ∠ABD= 90°,AB=BD= 4,點A和點B分別在x軸和y軸上運動,求在運動過程中OD的最大值.

圖7

圖8

圖9

解題分析: 從題中不難發現,ΔAOB和ΔABD都是直角三角形,且在點A和點B運動過程中斜邊AB為定長,與變式1 區別在于點D的位置會隨著AB的運動而變化,求點D的運動軌跡似乎太困難,我們不妨從其他地方入手.如圖8,點D的位置取決于AB的位置,動線段AB長度為定值,且為RtΔAOB的斜邊,則AB的中點C必在⊙O上,半徑r= 2.在ΔOCD中我們知道,OC+CD ＞OD,所以當點O、C、D三點共線時,OD=OC+CD,此時OD有最大值(如圖9).

解如圖8, 在AB上找出它的中點C, 連接OC、CD,因為在RtΔAOB中,AB= 4, 所以OC=BC=AC== 2.在RtΔBCD中,BC= 2,BD=AC= 4,所以CD=當點O、C、D三點共線時,OD有最大值,OD=OC+CD=2+

拓展思考: 在運動過程中,OD有最小值,如果有,求出它的最小值.

變式3如圖10,在平面直角坐標系xOy中,點A(6,0)和點B(0,8)分別在x軸和y軸上,點C為⊙A上的一個動點,已知⊙A的半徑為4.連接BC,點D為BC的中點,求點D到原點O的最值.

圖10

圖11

圖12

圖13

解題分析: 這個問題討論的是定點O和從動點D間的最短距離.從題中我們可以發現,ΔAOB是一個確定的直角三角形,點C為⊙A上的動點,自然可以聯想到點D為BC上的從動點,且點D的位置隨著點C繞⊙A運動的過程而發生改變,所以所求線段OD也是動線段.如圖11,從題目已知點D為BC的中點,ΔABC與RtΔAOB存在公共邊AB且AB為RtΔAOB的斜邊,我們不妨大膽在AB上找出它的中點E,易知DE為ΔABC的中位線,OE為RtΔAOB斜邊上的中線,OE和DE的長不難求得, 再利用三角形三邊關系得出OE+DE ＞OD, 當點O、E、D三點共線時,OD取得最值(如圖12、13).

解如圖11,連接AC,取AB得中點E,連接OE、DE.因為點D為BC的中點,點E為AB的中點,所以DE//AC,DE== 2.在RtΔAOB中,OA= 6,OB= 8,所以AB== 10,OE== 5.在ΔDOE中, 根據“三角形兩邊之和大于第三邊”可知:OE+DE ＞OD.

(1)如圖12,當點O、E、D三點共線,且點E在線段OD上時,OD有最大值,此時OD=OE+DE=5+2=7;

(2)如圖13,當點O、E、D三點共線,且點D在線段OE上時,OD有最小值,此時OD=OE ?DE=5?2=3;所以點D到原點O的最大值為7,最小值為3.

拓展思考: 若點A和點B分別是坐標軸上的動點,運動過程中保持AB= 10,其他條件不變,此時BC邊上的中點D到原點O的距離是否存在最值? 最值是多少?