從一道初中幾何習題教學中談學生思維訓練

杜強

【摘要】數學教學是數學思維訓練的活動過程，是學生發展思維的主渠道。初中數學教材以邏輯思維為主線，編織數學知識網，形成知識體系。深入挖掘數學教材中的思維訓練點是提升學生數學思維的關鍵切入點。本文從教科書中的一道習題出發，通過幾個方面談一談初中數學的思維訓練。

【關鍵詞】思維訓練? 發散思維? 聯想

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）27-0074-03

《義務教育數學課程標準》（2011版）指出，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的作用。思維作為一種能力和品質，是人的智力的核心，是人的智慧的集中體現。因此這就有必要對學生進行多種形式的思維訓練，培養其科學思維能力，這也是數學教學中的一項重要任務。

下面筆者就以新人教版八年級上冊的一道習題，談一談初中數學的思維訓練。題目如下：

如圖①，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線交于點G. 求證：∠BGC=90°+∠A。

這是一道證明兩角關系的常規題，難度不大，學生容易解決。但在教學過程中，不能滿足于就題論題，要根據學生認知，深入挖掘這道題的思維訓練價值，可以從發散思維的角度入手，抓好學生思維的啟發、引導、訓練和發展。這對學生培養思維能力，掌握基礎知識和基本技能，有著重要意義。

1.勇于發散，培養開闊的思維

數學本身是一門運用思維的學科。初中數學教學過程中，教師要引導學生從思維封閉狀態逐步轉化為開放狀態，能多角度、全方位、深層次地思考問題，也就是要發散思維。發散思維具有流暢、變通、獨特等特征，它不墨守成規，不拘泥于傳統的做法，強調開拓、發散，從不同的角度去理解和掌握，從而形成開闊思維。

1.1橫向拓寬

通過創設情境，誘發提問，讓學生各抒己見，建立起橫向知識的聯合。不同學生根據自己不同的理解，提供不同的信息，教師根據不同信息給予點撥引導，巧妙地設置疑惑點，靈活地選擇“發散點”就會新穎不凡，啟而得法，促進學生發散思維。本題中可引導學生突破內角平分線的限制，對兩條角平分線進行如下發散：

發散1.三角形兩內角的平分線所成之角與不相鄰內角之間的關系（圖①）;

發散2.三角形兩外角的平分線所成之角與不相鄰內角之間的關系（圖②）;

發散3.三角形一個內角的平分線與另一個內角的外角的平分線所成之角與不相鄰內角之間的關系（圖③）。

以上從角平分線展開的發散思維，從教學實際出發，立足教材，適當延伸拓寬，既深入挖掘出習題的潛在功能，又有利于充分發揮數學知識的橫向拓寬，促進學生認識數學內容的本質，有利于發展發散思維。

1.2縱向深入

教材中的問題敘述多是演繹式的。學生要掌握各個概念和定理的共性和通性，還應抓住其蘊含的相異性和特殊性展開發散思維。對于“發散2”，學生可能會提出幾種不同作法（圖④），這是學生對三角形外角加深理解的良好契機，可以引導學生作出同一頂點處的另一個外角（圖⑤）。學生通過畫圖加深對三角形外角的認知：一個三角形共有六個外角，在每個頂點處的兩個外角互為對頂角，而在研究問題時，一個頂點處通常只取一個外角。在這一過程中，學生除了加深對知識的理解，同時也經歷了發散性思考、分析問題的體驗，可以積累一定的思維訓練經驗。

實踐證明，“發散思維”是把數學知識縱向深入的有效方法?？梢?，有意識地組織“發散”思維，能使學生克服靜止思考問題的習慣，同時能有效地提高思維的開闊性。

1.3縱橫遷移

橫向拓寬和縱向深入是有機結合的。數學本身是概念與定理的結合、理論與實際的結合。在教學過程中，要注重知識并聯與串聯并重、窮舉式發散與演繹式發散并重，要強化逆向思維和求異思維訓練。圖4中的三種不同作法，啟發性很強，學生從了解外角的概念出發，通過數學實驗進行思維探究，形成一個頂點處通常只取一個外角的經驗。這是順向思維。與此同時，還可以引導學生進行逆向思維，探究同一個頂點處的兩個外角的平分線是否在同一條直線上（圖⑥）？通過揭示這個學生容易忽視的現象，引導學生進一步深入思考探索，激發學生高階思維，最終發現圖⑥和圖②是“一體”的。這樣的逆向思維對縱橫遷移知識、發展學生自主性創造思維很有價值。通過這樣的順逆向發散思維訓練，對提升學生思維的深度和廣度更具有效度。

2.敢于思變，培養深刻的思維

在每個知識點的教學過程中，不能只停留在對知識點簡單識記層面，要有意識地發展學生的抽象概括及表達能力，要把重點放在對知識點本質的深刻理解和拓展應用上，要引導學生在問題呈現形式不斷變化的過程中，抓住相關知識點的本質解決問題，從而形成深刻的思維體系。

2.1變換問題的形式和內容

2.1.1變換圖形

如圖⑦，已知四邊形ABCD的∠ABC和∠BCD的角平分線交于點G.求證：∠BGC=（∠A+∠D）.

將三角形改成四邊形后，利用轉化思想，學生會想到延長BA和CD交于點P，利用∠BAD和∠CDA與∠P之間的關系（如圖⑧）及“發散1”的結論即可得證。當然，運用四邊形內角和也可得證。在此基礎上，再進一步，再將四邊形換成五邊形、六邊形等等，又可以探究出什么結論，留給學生更多的發散空間。

通過以上方式，對類似的圖形、數量和邏輯關系，采用不同形式呈現，引導學生抓住關鍵、特征、本質，加以分析、綜合、比較、概括，可培養學生深刻思維。

2.1.2變換設問

上題也可以換一種設問，即∠BGC，∠A，∠D之間有何關系？這樣的設問更有利于發展學生的思維能力。

2.2變換條件，逐步深化結論

如圖⑨，已知四邊形ABCD的∠ABC和∠BCD的平分線交于點G，且AB∥CD，求∠BGC的度數。

通過變換條件，也可以培養學生的深刻思維，有利于學生開闊思路、敏捷思維。

2.3利用條件或結論的等價性進行變換

如圖9，已知四邊形ABCD的∠ABC和∠BCD的平分線交于點G，且∠BGC=90°，求證：AB∥CD。

通過條件和結論的等價性變換，也是一種有效的深刻思維訓練形式。

在引導學生進行求異思維后，教師應適時“畫龍點睛”，讓學生進行交流對比，從而找出思路更為敏捷、思維更為獨創、思想更為深刻的實用可行之法。

在實際教學過程中，教師應積極引導學生思變，從已有知識體系建構出發，從不同角度用不同方式去探究、概況、理解和表達。這樣可以有力強化學生對某一知識點的深刻理解，促進學生養成從多角度、多方面地發現、認識、分析和解決問題的良好習慣，逐步形成深刻思維。

3.樂于探索，培養創造的思維

美國心理學家、哈佛大學教授布魯鈉認為：應當盡可能使學生牢固的掌握科學內容，還應當盡可能使學生成為自主且主動的思想家。這樣的學生在正規學校的教育結束之后，將會獨立的向前邁進。因此，我們要求學生在學習過程中，利用教師或教材提供的材料，像數學家那樣思考數學，多去發現問題的結論、規律，成為一個“發現者”和“創造者”。

探索是圍繞著某個已知的問題對一些相關但不明確的問題所展開的調查、分析、探討和尋求解決方法的策略、途徑而組織的學習。探索能為學生提供真實的情感體驗，當學生面對某一問題情景時，這一特定的環境能夠吸引并維持學生在實踐過程中探究的興趣，促使他們積極的運用逆向思維、創造性思維去尋求解決問題的良方和策略。

例如：根據發散1～3，引導學生自主探索四邊形一外角和一內角、兩外角平分線所成之角與∠A，∠D之間的關系（圖⑩）。

這期間，學生是致力于解決問題的主體參與者，他們會對問題的背景條件、現狀以及發展等因素作出分析與評估，并在對問題進行解剖的基礎上，力爭找出解決問題的方法與途徑，探求問題解決的現實意義，從而成為積極主動的學習探索者，培養了創造性的思維。

古人云：授人以魚，只供一飯之需;授之以漁，則一生受用無窮。學生的思維能力不可能在短時間內一蹴而就，只有在經歷不斷的訓練和實踐后才能有所提高。在日常教學過程中，教師應注意各個教學環節的協調配合，有計劃、有步驟地給學生創設問題情境，讓他們在解決問題的過程中有意識地培養、訓練自己的思維。通過以上“發散”“變式”“探索”等形式的引導訓練，相信學生能夠較快地適應初中數學學習，養成良好的思維習慣，逐步形成良好的知識體系和思維體系，不斷提升發現、分析、解決問題實際能力，為今后的學業發展奠定良好的基礎。