淺談高等數(shù)學(xué)在輕紡領(lǐng)域中的應(yīng)用

（衡水學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 衡水 053010）

《高等數(shù)學(xué)》 是高等學(xué)校理工類專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，為學(xué)生提供系統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，傳授必要的基礎(chǔ)理論和常用的思維方法。一般來(lái)說，《高等數(shù)學(xué)》主要包含函數(shù)、極限與連續(xù)、一元函數(shù)和多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分、一重和多重不定積分、定積分、微分方程與差分方程、級(jí)數(shù)等內(nèi)容以及它們?cè)趯?shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用。通過課程的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者初步能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、綜合應(yīng)用能力、數(shù)學(xué)建模與實(shí)踐能力以及自學(xué)能力。

以其中“導(dǎo)數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容為例，先介紹導(dǎo)數(shù)、總成本、總收益、總利潤(rùn)等經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的基本概念，然后給出邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)的定義及經(jīng)濟(jì)意義，并結(jié)合實(shí)際例子來(lái)說明這些理論在輕紡領(lǐng)域中的重要應(yīng)用。

1 首先給出幾個(gè)基本概念

企業(yè)在從事生產(chǎn)、銷售等經(jīng)營(yíng)活動(dòng)時(shí)，總是希望盡可能地降低單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，增加總收益和總利潤(rùn)。下面先來(lái)介紹幾個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的基本概念。

總成本是生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需要的總投入，包含廠房、設(shè)備折舊、管理費(fèi)、工人基本工資等固定成本以及生產(chǎn)所需的原材料、燃料、電力等可變成本；總收益是指出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所得到的全部收入，跟價(jià)格和銷量等因素密切相關(guān)；總利潤(rùn)是指總收益減去總成本和上繳稅金后的余額 （為簡(jiǎn)單起見，后面計(jì)算總利潤(rùn)時(shí)暫不考慮稅金）。總成本、總收益、總利潤(rùn)都可以簡(jiǎn)單地看成是產(chǎn)量（或銷量）Q 的函數(shù)，分別稱為總成本函數(shù)、總收益函數(shù)、總利潤(rùn)函數(shù)，分別記作C（Q）、R（Q）、L（Q）。總成本（或總收益、總利潤(rùn)）除以產(chǎn)量（或銷量）Q，就得到單位產(chǎn)品的平均成本（或平均收益、平均利潤(rùn)）。

導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x 的某一鄰域內(nèi)有定義，若極限

存在，則稱函數(shù)f (x)在點(diǎn)x 可導(dǎo)，并稱該極限值為函數(shù)f (x)在點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù)，記作y' 或f' (x)。設(shè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x 處可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)f' (x)為f (x)的邊際函數(shù)，f'(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f'(x0)為邊際函數(shù)值。

下面分別介紹邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)的概念、經(jīng)濟(jì)意義以及它們?cè)谳p紡領(lǐng)域中的重要應(yīng)用。

2 邊際成本及其應(yīng)用

總成本函數(shù)C（Q）的導(dǎo)數(shù)C'（Q）稱為邊際成本，它（近似地） 表示已經(jīng)生產(chǎn)了Q 個(gè)單位產(chǎn)品以后再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的成本，即C'（Q）是第（Q+1）個(gè)單位產(chǎn)品的成本。實(shí)際生產(chǎn)中，我們可以把邊際成本與單位產(chǎn)品的平均成本相比較，若邊際成本小于平均成本，就可以增加產(chǎn)量來(lái)降低單位產(chǎn)品的成本；若邊際成本大于平均成本，則應(yīng)該考慮減少產(chǎn)量以降低單位產(chǎn)品的成本，下面我們來(lái)看它的具體應(yīng)用。

例：某紡織廠生產(chǎn)毛巾的總成本函數(shù)為C （Q）=1000+Q2÷1600，計(jì)算：生產(chǎn)1000 個(gè)毛巾的總成本和平均成本（元）；生產(chǎn)第1001 條毛巾需要的成本及其經(jīng)濟(jì)意義。

解：生產(chǎn)1000 個(gè)毛巾的總成本

C（1000）=1000+1000×1000÷1600=1625（元）

每個(gè)毛巾的平均成本為1625÷1000=1.625（元）

利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得邊際成本為

C'（Q）=2Q÷1600=Q÷800

于是有

C'（1000）=1000÷800=1.25（元）

經(jīng)濟(jì)意義：第1001 個(gè)毛巾的成本是1.25 元，低于前1000 個(gè)產(chǎn)品的平均成本是1.625 元，所以可以通過增加產(chǎn)量來(lái)降低每個(gè)產(chǎn)品的成本。

3 邊際收益及其應(yīng)用

總收益函數(shù)R（Q）的導(dǎo)數(shù)R'（Q）稱為邊際收益，它（近似地）表示已經(jīng)銷售了Q 個(gè)單位產(chǎn)品以后，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總收益，即R'（Q）是賣出第（Q+1）個(gè)單位產(chǎn)品帶來(lái)的收益，下面來(lái)看它的應(yīng)用。

例：某商場(chǎng)銷售某件服裝的收益函數(shù)為R （Q）=200Q-Q2,計(jì)算：（1）銷售25 件服裝的總收益和平均收益（元）；（2）賣出第26 件服裝的收益及其經(jīng)濟(jì)意義。

解：銷售25 件服裝的收益為R（25）=200×25-252=4375（元）

每件服裝的平均收益為4375÷25=175（元）

利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得邊際收益為

R'（Q）=200-2Q

于是有

R'（25）=200-2×25=150（元）

經(jīng)濟(jì)意義：賣出第26 件服裝的收益是150 元，低于前25 件服裝的平均收益，這就說明由于種種原因，后面銷量的收益比前面減少了，提醒商家需要考慮采取一定的方法和手段，比如可以搞一些促銷活動(dòng)來(lái)提高價(jià)格和銷量，增加總收益。

4 邊際利潤(rùn)及其應(yīng)用

總利潤(rùn)函數(shù)L（Q）的導(dǎo)數(shù)L'（Q）稱為邊際利潤(rùn)，它（近似地）表示已經(jīng)生產(chǎn)了Q 個(gè)單位產(chǎn)品以后，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總利潤(rùn)，即L'（Q）是生產(chǎn)第（Q+1）個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤(rùn)。

通常情況下，可以把邊際收益和邊際成本作比較，若R'（Q）＞C'（Q），說明產(chǎn)量達(dá)到Q 以后，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的收益大于所花費(fèi)的成本，因而總利潤(rùn)會(huì)有所增加。而當(dāng)R'（Q）＜C'（Q）時(shí)，說明再增加產(chǎn)量的話，所增加的收益小于所花費(fèi)的成本，從而總利潤(rùn)會(huì)有所減少。

下面來(lái)看邊際利潤(rùn)的具體應(yīng)用。

例：某毛紡廠生產(chǎn)毛線的總利潤(rùn)函數(shù)L（Q）（單位：元）與每月產(chǎn)量Q（單位：t）的關(guān)系是L（Q）=5000QQ2，計(jì)算每月產(chǎn)量為2000t、2500t、3000t 時(shí)的邊際利潤(rùn)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

解：利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得邊際利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)'（Q）=5000-2Q

于是有

L'(2000)=5000-2×2000=1000

L'(2500)=5000-2×2500=0

L'(3000)=5000-2×3000=-1000

經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)產(chǎn)量為每月2000t 時(shí)，再增加1t，利潤(rùn)增加1000 元，所以可以繼續(xù)增加產(chǎn)量來(lái)增加總利潤(rùn)；當(dāng)產(chǎn)量為每月2500t 時(shí)，再增加1t，利潤(rùn)增加0 元。說明考慮到生產(chǎn)成本、毛線價(jià)格等多種因素，再繼續(xù)多生產(chǎn)物資，利潤(rùn)也不會(huì)增加了；當(dāng)產(chǎn)量為每月3000t時(shí)，再增加1t，利潤(rùn)會(huì)減少1000 元。考慮到市場(chǎng)需求量、價(jià)格等因素，生產(chǎn)得太多，超過市場(chǎng)的購(gòu)買能力，產(chǎn)品賣不出去，而儲(chǔ)存還需要一定的空間和費(fèi)用，從而導(dǎo)致成本升高。所以當(dāng)產(chǎn)量高于某個(gè)數(shù)值以后，生產(chǎn)得過多，總利潤(rùn)反而下降。由此可見，對(duì)于廠家來(lái)說，并不是生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤(rùn)就會(huì)越高。

生產(chǎn)廠家和商家如果掌握了邊際成本、邊際收益以及邊際利潤(rùn)的定義和經(jīng)濟(jì)意義以及它們?cè)趯?shí)際生產(chǎn)中的具體應(yīng)用這些知識(shí)，就可以把它們充分應(yīng)用到實(shí)際生活中去，以便最大可能地實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品的成本最低、收益和利潤(rùn)最大。

5 結(jié)語(yǔ)

高等數(shù)學(xué)作為一門大學(xué)理工類專業(yè)的基礎(chǔ)學(xué)科，在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用非常廣泛和重要，與我們的經(jīng)濟(jì)利益息息相關(guān)。比如，由零點(diǎn)定理可以知道市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中均衡價(jià)格的存在性；由彈性函數(shù)可以知道價(jià)格的改變對(duì)需求量影響的百分比；由函數(shù)的最大（小）值問題，可以計(jì)算怎樣施工和安排能使費(fèi)用最省、利潤(rùn)最大、成本最低等；應(yīng)用微分方程的理論，可以分析商品的市場(chǎng)價(jià)格和需求量（供給量）之間的函數(shù)關(guān)系。本研究的舉例只是對(duì)邊際函數(shù)的應(yīng)用作簡(jiǎn)單說明，高等數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用從中可以略見一斑。隨著科技的高速發(fā)展和時(shí)代的進(jìn)步，高等數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用必將更深入地滲透到我們生活和工作中的方方面面。