追尋知識聯系 觸摸分數本質

屈婷 沈丹萍

認識分數是小學數學教學的重要內容。從整數到分數，不僅是知識面的拓展，更是對數的概念的一次擴充。分數的構成與整數是相通的，基于對自然數的理解學習分數，能夠促進學生對分數意義的深度理解。

一、分數是“分”出來的

自然數是對現實存在的實際數量的抽象，源于生活中的數（shǔ）數（shù）。分數與自然數一樣，本質上是一個數，也可以看作是對量的結果的抽象。自然數表示整的數，計數單位“1”是被發現的;分數表示不整的數，分數單位幾分之一是被發明的。

教學中，借助自然數“1”的細分感悟分數的產生，能讓學生經歷從整的數到不整的數的發展過程，體會分數的產生是數系發展的必然結果。在學習《分數的初步認識》時，筆者是這樣引入的。

師：看到數字“1”，你腦中是怎樣的一幅畫面？

生1：一塊月餅、一個蘋果……

師：“1”是用來描述物體個數的最小單位。一個一個地數，累積到10個，我們把它們打個包，就產生了計數單位“十”。想一想，要產生一個比“1”更小的單位，可以怎么做？

生2：分一分。

師：如下圖，我們就用這塊月餅表示“1”來分一分。想一想：你得到了哪個單位？（學生操作后，教師選取以下4幅具有代表性的作品進行展示。）

師：這些分法都能得到一個新單位嗎？

生3：我認為方法③不行，因為這兩半大小不一樣。

生4：我們在量物體長度時，是用一個標準去量，不能一會大，一會小。

師：你們的意思是單位應該是一個標準。如果以一大半為單位，兩個一大半拼起來是一個怎樣的月餅？

生5：月餅不圓了，月餅的左右兩邊會鼓起來。

師：如果以一小半為單位呢？

生6：組成的月餅比較癟。

師：看來要想得到一個新單位還真不簡單，怎樣分才能得到一個比“1”小的新單位？

生7：要分成一樣大的兩塊。

生8：分成一樣大的四塊也可以。

師：怎樣分才能得到一樣大的幾塊？為什么要這樣分？

生9：要平均分，只有平均分，標準才一樣，才能產生一個更小的單位。

師：去掉方法③，其余分法都創造了哪些單位？可以怎樣記錄這些單位？

……

平均分是學習分數概念的支撐點，也是分數產生的前提條件。筆者引導學生探究“怎樣得到比1更小的單位”，讓學生從不平均分的角度思考，直觀看到平均分的價值，體會到將自然數“1”平均分就能產生比“1”小的單位。

二、分數是“數”出來的

分數的內部結構與自然數有相似性，都是計數單位的累積。自然數是“1”的依次計數、累加，分數是相同分數單位的依次計數、累加，二者異曲同工。數（shù）源于數（shǔ），分數能不能像自然數一樣數出來呢？教學《分數的再認識》時，筆者設計了一系列數數活動，幫助學生進一步理解分數的意義，打通整數與分數的內部結構。

師：下面這些圖的陰影部分可以用哪個分數來表示？

生1：圖①③④都可以用[34]表示，圖②可以用[23]表示。

師：數是數出來的，選一幅圖數一數。

生2：我數的第一幅圖，1，2，3，[34]。

生3：我認為不對，要以[14]為單位數，1個[14]，2個[14]，3個[14]。

生4：我這樣數的，[14]，[24]，[34]。

師：你更欣賞哪種數法？以哪個數為單位數更準確？

生5：生2這樣數，會讓別人誤認為數的是自然數，生3數的是分數單位的個數，我認為生4的數法最好。

師：看來數分數用分數單位來數更合適。誰來說一說圖②？

生6：圖②是以[13]為單位，[13]，[23]。

師：自然數可以把數與圖一一對應著數，分數可以這樣數嗎？圖①、圖③、圖④都可以用[34]表示，數的時候，有什么區別？

生7：圖①和圖④可以用一根手指數，圖③要用兩根指頭數。

生8：圖③的一份是兩個，每次數都要對應兩個。

師：以[14]為單位，數幾次可以數到[34]？以[13]為單位，數幾次可以數到[23]？

生9：數到[34]需要數三次，數到[23]需要兩次。

生10：一個分數，分子是幾就需要數幾次。數[34]和數3是一樣的，數三次就行了。

生11：分母是幾，分數單位就是幾分之一;分子是幾，就有幾個分數單位。

師：圖3和圖4涂色部分圓形的個數不一樣，為什么都可以用[34]表示？

生12：[34]是四份中的三份，平均分四份，表示三份，都可以用[34]表示。

數（shǔ）數（shù）的本質就是數計數單位的個數。筆者引導學生像數自然數一樣數分數，讓學生逐漸感悟到：分數和整數一樣，都是通過單位的計量與累加得到的，分數也要一個一個地累加，數幾次就有幾個這樣的單位。不同的是，自然數的單位“1”對應的就是實物“1”，分數單位“[14]”對應不同的數（量）。

三、分數是“比”出來的

數具有雙重含義，既可以表示具體數（量），也可以表示非具體數（率）。在整數的學習中，“倍的認識”讓學生將認識數的眼光由“量”拓展到“率”。倍是“兩個數之間倍比關系”的源頭，當兩數之比大于“1”時，用“倍”描述，當兩數之比小于“1”時，用“幾分之幾”表示。在教學《求一個數是另一個數的幾分之幾》時，筆者進行了如下教學。

師：自然數3除了表示某種物品的數量是3外，還能表示什么？

生1：3倍。

師：這個3在這里表示一種關系。你們能畫圖表示這種關系嗎？（展示學生作品）

師：如上圖，第一行的圓和第二行的圓的數量都發生了變化，為什么還是3倍的關系？

生2：6÷2=3;3÷1=3。

生3：不論第一行圓的數量是多少，只要第二行的圓的數量有3個那么多，就是3倍。

師：那第一行圓的個數是第二行圓的個數的幾倍？可以用哪個數來形容它們的關系？

生4：1÷3=[13];2÷6=[13]。

生5：第一行圓的個數比第二行圓的個數少，可以用[13]來表示它們的關系。

師：求一個數是另一個數的幾倍，還可以怎樣表達？

生6：幾分之幾。

師：表達兩個數量的關系時，什么時候用“幾倍”，什么時候用“幾分之幾”？

生7：大數除以小數的時候，結果大于1，就幾倍;小數除以大數時，結果小于1，就用幾分之幾。

師：其實，分數和整數一樣，有時表示數量，如6個圓，[13]個月餅，有時表示的是一種關系，如6個圓是2個圓的3倍，2個圓是6個圓的[13]。

師（課件出示）：下圖可以用哪些分數來表示？想一想這個分數表示的是數量，還是一種關系？

生8：圖①的涂色部分可以用[12]表示。

生9：[12]表示的是一種關系，1個圓是半個圓的2倍，半個圓是1個圓的[12]。

生10：[12]也可以表示數量，這個半圓就是[12]個圓。

師：圖②的涂色部分呢？（學生為[12]和[14]這兩個答案爭論不休）你們說的[12]和[14]表示的是數量，還是一種關系？

生11：[12]表示半個圓和1個圓的關系，半個圓是1個圓的[12]。

生12：不對，這里有2個圓，是4份，半個圓占1份，圖2要表達的是半個圓與兩個圓的關系，是[12]。

師：用[12]來表示有沒有合理的地方？

生13：可以說涂色部分是[12]個圓，用[12]表示數量。

筆者用“一個數是另一個數的幾倍”引出“一個數是另一個數的幾分之幾”，將整數與分數意義的內涵做了關聯，讓學生感悟到：分數和整數一樣，既可以表示實際數量的多少，又可以表示兩個數量之間的倍比關系。

分數是一個非常抽象的概念，內涵豐富、表征多元。鏈接自然數的學習經驗，讓分數教學與學生的經驗順利接軌，突出了知識間的內在聯系，深化了學生對分數意義的本質理解。

（作者單位：宜城市窯灣小學）

責任編輯? 張敏

分數本身是數，而不是運算。分數（真分數）有兩個現實背景：一個是表達整體與等分的關系，一個是表達兩個數量之間整數的比例關系（整比例關系）。本期，我們討論如何在教學中引導學生抓住關鍵、突破疑難，深入認識分數，理解分數內涵，運用分數解決問題。