聯系“倍”的經驗 理解分數意義

李凱

分數在數學學習中具有重要地位，對學生而言，認識分數是對數概念的一次擴展。由于分數的意義較為抽象且內涵十分豐富，所以，課程標準將分數內容的學習安排到兩個學段中，第一學段主要是通過操作初步認識分數，第二學段需要結合具體情境理解分數的意義。第二學段中，學生對分數意義的理解逐步從生活過渡到數學現實，理解起來更為抽象。具體來說，就是需要從運算和倍比關系的角度理解分數的意義。

在學習了“分數與除法的關系”后，教師一般會安排“求一個數是另一個數的幾分之幾”的學習內容。這既是對“分數與除法關系”的運用，也是在引導學生從兩個量之間倍比關系的角度理解分數的意義。因此，這個內容既是解決問題的教學，也是對分數意義的深化，教師要抓住關鍵，突破難點，幫助學生更加深入地理解分數的意義。

一、巧搭梯子，激活對“倍”的數學活動經驗

學生在第一學段已經建立了“倍”的概念，在學習小數乘法的時候還接觸到了小數形式的倍數。為了讓學生更容易理解用分數表示兩個量之間的倍比關系，教師通過數據的變化，巧搭梯子，讓學生感受到描述兩個量之間的倍比關系并不局限于倍數大于1的情況。

新課學習之前，教師先以復習的方式呈現一組求倍數關系的問題，激活學生對倍的學習經驗（見下表）。第（1）題是基本的倍數關系，第（2）題算得的結果是小數，第（3）題是1倍。接著，教師帶領學生復習“倍”的概念：表示與標準量相同的部分就是1倍。

[（1）????? 養鵝30只?????? 養鴨10只?????? 鵝的只數是鴨的3倍????? 30÷10=3????????? （2）?????? 養鵝26只?????? 鵝的只數是鴨的2.6倍??? 26÷10=2.6 （3）?????? 養鵝10只?????? 鵝的只數是鴨的1倍???? 10÷10=1?? （4）?????? 養鵝7只????????? 鵝的只數是鴨的？???????? ]

這時候，教師呈現第（4）題：鵝的只數是7只，鴨的只數是10只，把鴨的只數看成標準量，還能用以前的學習經驗描述鵝的只數與鴨的只數之間“倍”的關系嗎？有的學生認為現在鵝的只數比1倍量小，因此不能用“倍”來表示;有的學生認為可以用小數來表示，是0.7倍，因為2.6倍就是小數形式的倍數;還有的學生搖擺不定，認為雙方都有一些道理。學生順著教師提供的“梯子”進行思考，發現與原有認知經驗產生了沖突，這就是學生學習的“生長點”。

二、觀察對比，溝通“倍”與分率的內在聯系

既然用“倍”來表示鵝的只數與標準量之間的關系與生活常識不一致，那么教師可以轉換一下思路，引導學生用分數來表示。如下圖，教師通過出示四幅點子圖的方式，用黃色代表鵝的只數，紅色代表鴨的只數，讓學生嘗試用分數分別來表示它們之間的倍數關系。學生解決這個問題的策略有兩個：一是通過畫圖，從具體操作的角度把鴨的只數看成1倍量（單位“1”），把單位“1”平均分成10份，鵝的只數相當于這樣的7份，因此用分數同樣可以表示比較量與1倍量之間的關系。二是根據以往求倍數的學習經驗，用同一個數學模型代入到現在的數據，根據分數與除法的關系得到分數的結果，體會用分數表示兩個量之間的倍比關系。

兩種解決問題的策略指向了同一個結論，因此，需要引導學生對比觀察上面四組示意圖、算式和結論，找到其中的共同點。有的學生說：“都是用鵝的只數除以鴨的只數。”有的學生說：“都是把鴨的只數當成1倍量。”還有的學生說：“得數比1大的時候都加了‘倍字。”分數的意義也可以表示出比較量與標準量之間的關系，借用求倍數的數學模型和分數與除法的關系，在計算比較量與標準量之間關系的時候可以用分數表示結果。只不過當比較量大于標準量的時候，人們習慣于用“倍”來描述，如果比較量小于標準量則習慣用“分數”來描述。由此可見，倍與分率在數學本質上是共通的，這樣分數的意義從生活現實（對一個量的操作）擴展到了數學現實（兩個量之間的倍比關系）。

三、類比遷移，由離散量模型到連續量模型

根據例題中的數據，學生還可以提出“求一個數是另一個數的幾分之幾（幾倍）”的問題并解決。通過這樣的練習，學生能夠借助離散量模型鞏固已學知識。教學中還可以引入連續量模型幫助學生從不同角度加深對分數意義的理解。

如上圖，求藍色紙條的長度是紅色紙條的幾分之幾？學生動手比一比、試一試。用藍色紙條去量紅色紙條，正好量了4次，說明藍色紙條的長度是紅色紙條的[14]。接下來，繼續思考黃色紙條的長是紅色紙條的幾分之幾。如下圖把紅色紙條按長度平均分成4份，每一份都是它的[14]，有這樣的3份就是它的[34]。

給出長度數據后，可以用除法計算“1÷4、3÷4”，根據分數與除法的關系也可以得到相同的結論，學生通過兩種不同的數據模型再次體會到分數的意義不僅能表示一個量的幾分之幾，還可以表示兩個量之間的倍比關系。

四、適當拓展，深化對分數意義的理解

此時，學生對分數意義的理解雖然已經拓展到兩個量之間的倍比關系，但是還局限于真分數。在學生掌握情況良好的前提下可以適當進行拓展練習，一方面引導學生突破思維定式，另一方面也為后面學習真分數和假分數做好鋪墊。

如上圖，這道題比較開放。第（1）問，學生既可以填[39]，又可以填[13]，只要能講出道理就行;第（2）問，根據本節課所學的知識學生可能會填[93]或[31]，也有學生會根據三年級的學習經驗認為這里應該填3倍。到底該怎樣填呢？學生課后繼續思考。這也為后面學習真分數和假分數以及約分埋下了伏筆。

本節課，學生已經體會到可以用分數意義表示兩個量之間的倍比關系，相比之前通過對一個量進行平均分的“操作”所建立的分數意義更為抽象。但學生對分數意義的理解不能止步于此，還需要在后續的教學中用分數意義進一步整合“倍”的概念，并通過解決問題幫助學生形成對分數意義的本質理解。學生學習了真分數、假分數以及分數與小數的互化以后，就可以從分數意義的角度整合“倍”的概念，因為倍數都可以轉化成為分數形式，本質上都是兩個量之間的比。學習了“比”之后，學生對此會有更直接的體會。在解決分數乘法的有關問題時，學生也會發現當兩個量之間的倍數關系不是整數時，用分數來表示更容易理解，因此分數意義的學習直接影響到分數乘法及其解決問題的學習。

（作者單位：武漢小學）

責任編輯? 張敏