經由數學思想，走向核心素養

沈愛平

[摘 ?要] 數學研究的對象是數與形，數與形不是孤立的. 具體到初中數學學科教學中，在核心素養的視角下認識數形結合，最好的方法就是通過教學案例的研究，認識到數形結合思想滲透的過程中核心素養是如何落地的. 數學思想與數學學科核心素養的組成要素并不是彼此獨立的，而是互相高度關聯的.

[關鍵詞] 初中數學;數形結合;數學思想;核心素養

培育學生的核心素養，首先要理解什么是核心素養. 根據《中國學生發展核心素養》的定義，核心素養是指學生應具備的能夠適應社會發展與終身發展的必備品格與關鍵能力. 在此定義的基礎上，核心素養還有相應的框架，在此不再贅述. 將核心素養與數學學科結合起來，誕生了數學學科核心素養，當前已經正式頒布的是高中階段的數學學科核心素養，根據這一界定來理解初中數學教學，也是有一定現實意義的. 這是因為初中數學教學是高中數學教學的基礎，在初中數學教學中落實數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算與數據分析，既是一個培育學生數學學科核心素養的過程，又是一個培育學生數學學科核心素養的奠基.

那么在初中數學教學中，怎樣才能走向核心素養呢？回答這個問題，實際上也就是回答核心素養的落地途徑. 而探究核心素養的落地途徑，又不能脫離數學學科最基本的特征，這種特征是通過數學思想體現出來的. 對于數學學科而言，最基本的思想可能就是數形結合思想了. 一直以來，數形結合思想在初中數學教學中占有重要地位，其不僅可以為學生提供高效的解題方法，也能提高學生的邏輯思維能力. 數形結合思想具有的這種功能，實際上可以為數學學科核心素養的培育奠定基礎. 經由數形結合這一數學思想，教學應當是可以走向核心素養的. 下面就這個話題，談談筆者的探究心路.

作為數學思想的數形結合

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果. 這是一種非常學術的表達，通俗一點說，即數學思想就是數學學科所特有的，能夠反映數學學科特質，能夠為生活體悟與問題解決提供數學視角與思路的思想. 眾所周知，數學是以現實世界中的空間形式與數量關系為研究對象的學科，簡單地說，數學是研究數、形及其關系的一門學科. 因此數形結合思想是研究數學的一個基本思想. 深刻理解這一思想，有利于提高學生的數學素養，有利于發展分析問題、解決問題的能力.

作為數學思想的數形結合，蘊含著基本的邏輯關系：數學的研究對象是數與形，數與形不是孤立的，盡管在學生的學習過程中，很長一段時間里都是專門學習“數”或者專門學習“形”（歷史上將數學分為代數和幾何，就是這一思路的重要表征），但不可否認的是，研究數與形之間的聯系，才能夠充分地反映數學學科的特征以及數學學習的基本要求.

在初中數學知識體系中，數與形的聯系有的是顯性的，有的是隱性的. 在實踐教學過程中，教師往往有著不同的選擇，有些選擇符合初中數學學習的特點，比如教學函數時，教師會自然地從解析式、圖像等角度去研究函數的性質，這就是數形結合思想的自然體現. 而有的教師在教學中將數形截然分開，不能夠顯示出數學的本質特征，比如教學平面直角坐標系，往往只是將教學的重心放在“形”上，跟學生強調畫平面直角坐標系的基本要求，于是學生習得的就是如何去畫一個平面直角坐標系. 而事實上，平面直角坐標系的本質是研究數對關系的產物，引導初中學生學習平面直角坐標系，不能忽視這一特點，或者說不能只注意這一特點，這樣才能讓學生更好地理解數學本質，也只有如此，數學學科核心素養的落地才是有充分保障的.

作為核心素養的數形結合

那么在核心素養的視角下理解數形結合，又應當是怎樣的呢？這里不妨將研究的視野在時間上拉長. 回顧課程改革，可以發現新課程改革在倡導學生自主探究性學習時，就已經強調要把數形結合落實在自主探究性學習中，強調要以課堂教學為突破口，逐步培養學生形成數形結合的思維方式. 這里是從思維的角度去強調數形結合價值的. 思維是世界上最美的花朵，思維能力支撐著學生的數學學習，很顯然思維能力就是關鍵能力之一，是核心素養的重要組成部分. 具體到初中數學學科中，在核心素養的視角下認識數形結合，最好的方法就是通過教學案例的研究，認識到數形結合思想滲透的過程中核心素養是如何落地的.

如前面提及的平面直角坐標系的教學，其教學環節常常包括三個：

環節1：創設情境，研究有序數對.

在平面幾何中，直角坐標系是最基本的研究載體（其實也是一個數學模型），作為面向初中學生的教學要使其知其然且知其所以然. 而“所以然”就是必須讓學生認識到平面直角坐標系，實際上是為了研究有序數對. 得出有序數對概念可以基于學生的生活經驗，無論是在教室里還是在電影院里尋找座位，都涉及有序數對. 教師可以列舉這些例子，讓學生通過分析與綜合認識到有序數對在生活中的普遍運用. 當學生進入情境之后，教師可以提出一個問題：如果要你向別人介紹有序數對，你會如何介紹呢？

情境與問題總是聯系在一起的，基于情境提出的問題，可以讓學生將問題解決的過程與情境中的素材更好地結合在一起. 事實證明，學生回答問題時，總是不由自主地會通過畫圖的方式去解釋，這也就打開了數形結合的空間.

環節2：建立坐標，描述有序數對.

學生回答上述問題時，認知發展的過程有兩個層次：一是將教室或者電影院的座位通過“寫實”思路畫出來，這個層次反映的是學生的形象思維，但不能反映數學的抽象特質，因此教學還必須進入下一個層次;二是通過數學抽象把位置轉換為對點的描述，進而由“橫”“豎”兩個維度來確定位置. 這一點初中學生是做得到的（部分做不到的學生可以在小組合作學習的過程中獲得認知的發展），而有了這一基礎，實際上平面直角坐標系也就有了雛形. 此處教師不必急著畫平面直角坐標系給學生看，首先應當讓學生認識到，通過這種橫豎結合的方法可以確定一個有序數對，而這正是平面直角坐標系的本質所在，也是數形結合思想的精髓所在.

環節3：立足思想，生成核心素養.

在學生成功地建立起平面直角坐標系之后，教師一定要引導學生認識到這是一個體現“形”與“數（對）”的關系的產物，客觀上也就是數形結合思想的產物. 在學生有了這一認識（不一定是顯性認識，也可以是默會認識）之后，作為數學思想的數形結合，也就很自然地將數學抽象、數學建模等數學學科核心素養的要素滲透到學生的學習過程中.

核心素養視角下理解數學教學

綜合分析上述課例，再思考核心素養如何落地，可以發現只要在一個教學過程中有效地滲透數學思想，那么數學學科核心素養落地總是有保證的. 很多時候，這都不是一個需要刻意追求的過程，因為在教學設計中研究數學思想，會自然地將數學學科核心素養的相關要素吸納進來，也就是說數學思想與數學學科核心素養的組成要素并不是彼此獨立的，實際上兩者是互相高度關聯的. 在傳統的教學視野里，數學思想受到了高度重視，因此借助于數學思想去實現數學學科核心素養的培育，是一個在傳承的基礎上進行創新的過程. 當然，必須認識到數學思想與數學學科核心素養存在著區別，前者重“神”而后者重“形”，前者須感悟而后者須體驗. 因此對于初中學生而言，尤其是對于初中數學教學而言，以核心素養為抓手，必以之作為教學目標來引領數學學科的教學，其實對于一線教師而言，更具可操作性.

由此回過頭來再從數形結合角度認識初中數學教學，不僅要認識到數學是一門研究空間形式與數量關系的學科，其能夠培養學生的邏輯思維能力，主要途徑就是提高學生的數形結合思想的應用能力;還要認識到在滲透數形結合思想的過程中，要對數學學科核心素養的組成要素進行研究，以將數學思想的活力附著在數學學科核心素養的“形”上. 實踐也表明，考慮到學生對數學思想與核心素養的熟悉關系，經由數學思想而走向核心素養是可行的.