捕捉或建構幾何模型 跳躍式思維探索思路

黃本華

[摘 ?要] 新課程標準將培養學生“邏輯思維能力”改為“思維能力”，這就啟發我們要重視培養學生的觀察力、想象力、直覺力等具有跳躍性的非邏輯思維能力，并培養學生能夠在復雜的幾何圖形中捕捉或建構幾何模型，探索解題思路.

[關鍵詞] 幾何模型;跳躍性思維;幾何圖形;直覺力

幾何模型是數學家或數學愛好者或數學教師在對幾何圖形進行研究之后總結出的一些基本圖形，并由這些圖形得出了一些基本結論，或是求解思路. 幾何模型就如同棋譜中的定式，運用幾何模型解題能大大縮短思維的時間，更快地接近目標，起到化繁為簡的目的. 但是運用幾何模型解題 ，需要有一定的跳躍性思維. 新課程標準將培養學生“邏輯思維能力”改為“思維能力”，這就啟發我們要重視培養學生的觀察力、想象力、直覺力等具有跳躍性的非邏輯思維能力[1].

中考試題也突出了對直覺力的考查，下面就以2020年江蘇省南通市中考試卷幾何綜合題第24題為例，談一談捕捉或建構幾何模型，用跳躍性思維探索思路.

試題呈現

試題 矩形ABCD中，AB=8，AD=12，將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為DE.

（1）如圖1，若點P恰好在邊BC上，連接AP，求的值.

（2）如圖2，若E是AB的中點，EP延長線交BC于點F，求BF的長.

思路探索

1. 知識遷移，探求思路

這道試題是矩形里含有翻折變換，我們頭腦里就會立刻聯想到勾股定理，進而聯想到我們特別熟悉的一道題目：如圖3，矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD上一點，連接AE，將矩形沿AE折疊，若點D恰好落在BC邊上的點D'處，求CE的長.

【解析】由翻折可知AD=AD′=12，在Rt△ABD′中，AB=8，所以BD′=6 ，設DE=DE′=x，CE=8-x，在Rt△CED′中用勾股定理得（8-x）2+42=x2，解得x=5，從而CE=3.

2. 是迎難而上，還是另辟蹊徑？

順著這個思路，我們也可以解決這道中考題. 如圖1，在Rt△DPC中，在我們可以得到，CP=4，因此，BP=12- 4. 在Rt△ABP中，AP==，做到這里，我們猛然發現此題和上題有一個很大的區別，即上題含有勾股數，計算十分簡便，而這題計算中含有根號，會越做越煩瑣. 這時我們就陷入了兩難的境地，是迎難而上，還是另辟蹊徑？若迎難而上，可能會陷入繁雜的計算中. 若另辟蹊徑，卻又有可能找不到思路.

3. 循規蹈矩，迎難而上

如果計算能力較強，一時又找不到其他更好的方法，可以選擇迎難而上，畢竟已經看到了希望，接近了目標.

解法1：在Rt△DPC中，PC==4，

所以BP=12-4.

在Rt△ABP中，AP2=82+（12- 4）2 =288-96.

設AE=EP=x，在Rt△BEP中，（8-x）2+（12-4）2=x2，解得：x=18-6.

則在Rt△AED中，DE2=（18- 6）2+122=648-216.

所以===.

所以=.

在中考閱卷過程中我們發現，確實有很多學生就是這樣運算的，但其中也有不少學生半途而廢. 可以想象，如此繁雜的計算，即使算到了正確結果，也一定花費了很多的時間. 這就迫使我們思考，有沒有更簡單的方法呢？要想獲得簡單的方法，就需要我們克服思維定式，善于捕捉圖形中的幾何模型，用跳躍性的思維探索思路.

4. 思維跳躍，另辟蹊徑——捕捉K型相似模型

首先，我們最容易觀察到的幾何模型就是最熟悉的△EBP和△PCD組成的K型相似模型. 于是，求EP還可以這樣解：如圖1，易證△EBP∽ △PCD，所以=，即=，解得EP=18-6.

我們也可以借助方程思想，設EP=3x，BP=2x，則2x=12-4，所以x=6-2. 所以EP=18-6. 下面的解法同上.

可以看出，運用了K型相似這個幾何模型之后，運算量就降低了很多. 那么，題目中還有沒有其他的幾何模型呢？

5. 思維跳躍，另辟蹊徑——捕捉四點共圓模型

這里我們觀察到∠EAD=∠EPD=90°，也就是說，A，E，P，D四點共圓. 其中AP 是弦，DE是垂直于這條弦的直徑，這就容易聯想到垂徑定理. 弦與直徑的比，就等于弦的一半與半徑的比. 弦和直徑是兩條交叉的線段，而弦的一半和半徑再加上弦心距卻可以構成一個直角三角形. 因此，只要找到一個三角形和這個直角三角形相似即可.

解法2：（1）如圖4，取DE的中點O，連接PO，由折疊可知AM=PM，AP⊥DE，∠2=∠3.

在Rt△EPD中，點O為DE的中點，

所以DE=2PO=2EO=2DO.

所以∠3=∠OPD.

所以∠1=∠3+∠OPD=2∠3.

因為∠ADP=∠2+∠3=2∠3，

所以∠1=∠ADP.

因為AD∥BC，所以∠DPC=∠ADP.

所以∠1=∠DPC. 又因為∠OMP=∠C=90°，所以△POM∽△DPC.

所以===.

所以===.

可以看出，用這種方法解題，計算量大大降低了. 類似地，也可以連接AO，證明△AOM和△DCP相似.

6. 思維跳躍，另辟蹊徑——捕捉三垂直模型

繼續觀察，圖中還有其他模型嗎？如圖5，我們還可以找到三垂直模型. 這個三垂直模型里面還含有一個母子三角形，我們易得∠1=∠2，從而△ABP∽△DAE.

解法3：因為∠B=∠EAD=∠AMD=90°，所以易證∠1=∠2. 所以△ABP∽△DAE. 所以==.

感悟：解法如此簡便，令人嘆為觀止！幾何模型竟有如此魅力！

7. 建構模型，迎刃而解——建構K型相似模型

受第（1）問的啟發，在求解第（2）問的時候，我們可以建構K型相似模型.

解法1：如圖6，過點P作GH∥AD交AB于點G，交DC于點H.

易證△EGP∽△PHD，因為====.

設PG=x，EG=y，則DH=3x，PH=3y，由圖可知x+3y=12，

4+y=3x， ?解得x=2.4，

y=3.2.

又因為PG∥BF，所以=，即=，解得BF=3.

當然，我們也可以運用勾股定理列方程解決問題. 比如，在Rt△DPH中，（12-x）2 +（3x）2=122 ，或者在Rt△EPG中，x2+（3x-4）2=42.

8. 建構模型，迎刃而解——建構8字全等模型

由于點E是AB的中點，我們聯想到平行線加中點，可以構造8字全等模型，再借助角平分線定理和勾股定理，利用方程思想解決問題.

解法2：如圖7，延長FE，DA交于點H，易證△BFE≌△AHE，設BF=AH=x，HE=y，因為DE平分∠HDP，所以=，即=. 又在Rt△AEH中，42+x2=y2，聯立兩個方程解得x=3，

y=5， 或者x=0，

y=4 （舍去）. 所以BF=3.

9. 正切公式，屢試不爽——如果含有角平分線或45°角（這也是模型）

如果盯住這個四點共圓的模型，還可以有這樣的思路：外角∠BEF=內對角∠ADP. 因此，在△EBF中，求tan∠BEF，也就是求tan∠ADP，而∠ADP=2∠ADE，于是我們立刻聯想到正切公式.

解法3：如圖8，tanα===. 所以tan2α===. 所以=，解得BF=3.

若想避免分數運算，也可以這樣解——

解法4：tan∠AEF=tan2∠AED===-，所以tan∠BEF=，即=，解得BF=3.

試題賞析

在解完題目之后，我們回過頭來再看這道題，發現這道題出得真好.

（1）試題以矩形為載體，融合了重要的基本幾何元素，如中點、角平分線等，結合翻折變換，給學生提供了一個思考的平臺，很好地考查了學生運用數學知識解決問題的能力.

（2）第（1）問中蘊含了多個基本圖形或幾何模型，如母子三角形、一線三等角、對角互補四邊形、三垂直模型等. 第（2）問又可以通過多種方法建構幾何模型求解. 在考查學生思維能力的同時，也考查了學生的創新意識.

（3）結合思路探索，試題也考查了多種數學思想：轉化思想、數形結合思想、方程思想、對稱思想、從特殊到一般思想、建模思想等.

（4）試題是課本習題的挖掘和延伸，是從全等到相似的拓展. 從全等到相似不僅是形式上的飛躍，更是思維方式上的一個突變.

如圖9，在正方形ABCD中，AF⊥DE，求證AF=DE.

上面這道題大家都很熟悉，是課本中的一個題目. 而前面那道中考題就是對該題的一種拓展. 如圖10，當正方形ABCD變為矩形ABCD以后，由于三垂直模型始終存在，于是始終有=. 顯然，全等是相似的一種特殊情況. 有了這個模型，現在再來看中考題的第（1）問，就覺得十分容易了.

今后打算

（1）在培養學生邏輯思維能力的同時，突出對學生觀察力、直覺力、想象力等非邏輯思維能力及跳躍性思維能力的培養. 大力培養學生的逆向思維、發散思維、求異思維等，要努力讓學生的頭腦活絡起來.

（2）重視對基本圖形、幾何模型的搜集、整理與滲透. 引導學生學會對復雜的幾何圖形進行分解，訓練其在復雜的幾何圖形中捕捉幾何模型或基本圖形的本領，并指導學生學會建構幾何模型，探索解題思路.

（3）重視對初高中數學知識的銜接. 如滲透正切公式、基本不等式、角平分線定理等高中知識.

（4）重視對課本習題的挖掘、研究與拓展. 特別要重視從全等到相似的變式拓展研究.

（5）重視對數學思想的滲透. 培養學生的創新意識，以尋求最佳的或最適合自己的解題途徑.

參考文獻：

[1]唐耀庭. 建構幾何模型 ?巧妙進行探究——2008年江蘇省鹽城市中考數學壓軸題評析[J]. 中學教研（數學），2009（1）.

3759500589200