關于銳角三角函數的備考探究與建議

姜溯佩

[摘 ?要] 三角函數知識的考點較多，其中概念定義、轉化方法、應用策略、拓展方向是探究的重點. 在復習備考階段需要把握知識重點，生成轉化思路，同時關注知識的綜合方式，掌握綜合性問題的突破策略. 文章將結合實例進行解讀探究，并提出相應的建議與同行商討.

[關鍵詞] 銳角三角函數;概念;網格;數學文化;應用

銳角三角函數是初中數學的重點知識，近幾年的中考出現了眾多與其相關的考題，從概念定義、知識屬性、實際應用等方向綜合考查銳角三角函數. 關注問題背景、總結命題方向、剖析突破思路是復習備考的重點. 下面對其進行全方位探究.

概念剖析，建模求值

銳角三角函數編排在勾股定理之后，從教材的設計來看，是對直角三角形邊角關系的深入研究和拓展. 同時，該內容是初中和高中的知識銜接，深入剖析概念，引導學生掌握銳角三角函數求值的方法. 初中時期，銳角三角函數的概念建立在直角三角形上，因此求解三角函數值需要依托直角三角形，利用邊長比值轉化銳角三角函數值.

例1 ?如圖1所示，在△ABC中，已知tan∠ABC=，BC=5，∠CAB > 90°，點D是AB上的一個動點. 現以CD為一邊作等腰直角三角形CDE，且∠EDC=90°，連接BE，當S=時，則BD的長度為______.

分析 ?本題為傳統的幾何問題，涉及特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）、動點、圖形面積、三角函數等內容. 需要轉化的核心條件有兩個：①tan∠ABC=，②S=. 其中條件①與銳角三角函數相關，轉化條件需要立足三角函數的概念，借助于直角三角形轉化為線段比值的關系.

解答 ?過點E作BA的垂線，設垂足為H;再過點C作BA的垂線，設垂足為G，如圖2所示. 由圖可得∠CDG=∠DEH，結合DE=DC可證△EDH≌△DCG（AAS），由全等性質可得EH=DG. 而S=BD·EH=，所以EH==DG. 在Rt△BCG中，tan∠ABC=tan∠GBC==，所以BG=2CG. 由勾股定理可得BG2+CG2=BC2=25，所以CG=，BG=2. 又知BD+DG=BG，則BD+=2，解得BD=.

評析與總結 ?本題是求線段的長度，對于其中的銳角三角函數值，需要轉化為與線段比值相關的條件，故主要考查的是銳角三角函數的概念. 對于給定的任意三角形中的三角函數值，則可以充分利用幾何性質，構建與直角三角形的聯系，如等角代換、直角構造等，將涉及的角放置在直角三角形中.

在備考中，建議引導學生深刻理解三角函數中“數”與“形”的本質屬性，依托直角三角形的三角比進行知識轉化，建立三角函數與三角比之間的聯系;同時總結特殊三角形和任意三角形中三角函數的求解策略，從概念剖析走向知識總結，由條件轉化過渡到模型構建，實現基礎知識的全方位覆蓋.

文化滲透，概念衍生

數學文化對于學生素養的提升是潛移默化的，不僅可以使學生充分認識到對應的知識定理，還可以感悟到文化熏陶. 三角函數與勾股定理有著緊密的聯系，實際考查時常以古典數學名著為背景，將三角函數與勾股定理相結合，考查學生對概念的理解.

例2 ?勾股定理有著悠久的歷史，曾引起眾人的研究. 在《周髀算經》的“趙爽弦圖”中構建了四個全等的直角三角形. 而英國佩里加（H.Perigal）曾用“水車翼輪法”證明了勾股定理. 該證法具體如下：用線段QX和ST將正方形BIJC分割為4個全等的四邊形，再將這4個四邊形與正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（如圖3所示）. 如果AD=，tan∠AON=，則正方形MNUV的周長為______.

分析 ?本題以數學文化為背景，將三角函數與勾股定理相結合，考查學生對三角函數值的轉化和勾股定理的證明. 實際只需要立足基本概念，充分利用幾何特性進行轉化即可.

解答 ?延長ON，與AE的交點設為H. 由題意可知，AO=AD=DE=，AE=2. 在Rt△AOH中，由于tan∠AON==，所以AH=，所以DH=AH - AD=. 由勾股定理可得OH==. 分析可知△NHD∽△AHO，由相似性質可得==，所以DN=1，HN=. 所以ON=OH-HN=5，進而可知MN=5-1=4，可得正方形MNUV的周長為16.

評析與總結 ?本題的結構較為簡單，融合了數學文化是其特點，對學生數學情感的培養有一定的幫助. 對該類題目的解析，需要引導學生讀懂數學文化，準確定位其數學知識，然后在此基礎上進行問題探究.

網格創建，代換推導

正方形網格具有特殊的性質，利用網格可命制與三角函數相關的創新問題，不僅可以考查四邊形的性質、勾股定理等，還可以考查學生作圖構形、等量轉化等技能. 對于網格中的三角函數問題，需要充分利用格點來構建特殊的三角形，利用格點連成的線段或直線及網格的單位長度來定位交點，實現所涉角的量化.

1. 問題呈現

例3 ?如圖4所示，在邊長為1的正方形網格中，連接DN，EC，設DN與EC的交點為P，試求tan∠CPN的值.

2. 方法歸納

求銳角三角函數值，可尋找或構造一個直角三角形. 觀察并發現題目中的∠CPN沒有位于直角三角形中，我們可以利用網格畫平行線來解決此類問題. 如連接MN，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN;再連接DM，則可將∠CPN變換到Rt△DMN中（如圖5所示）.

3. 解決問題

（1）直接寫出圖5中tan∠CPN的值是______.

（2）如圖6所示，在邊長為1的正方形網格中，AN與CM的交點為P，試求cos∠CPN的值.

4. 思維拓展

（3）如圖7所示，已知AB⊥BC，AB=4BC，點M位于AB上，且AM=BC，延長CB至點N，使得BN=2BC. 連接AN，與CM的延長線的交點為P，參照上述網格構造的方法求∠CPN的度數.

分析 ?本題為網格與三角函數相結合的創新題，以知識探究與應用的形式呈現，其中“方法歸納”環節十分重要，總結了網格中銳角三角函數值的求解方法，即通過構造或轉換來實現等量代換. 后續環節的問題探究要充分參照該方法，通過作圖實現角度的轉換.

解答 ?（1）參考圖5，可得tan∠CPN=tan∠DNM==2.

（2）如圖8所示，取格點D，連接CD，DM，則可將∠CPN轉換到Rt△DCM中. 所以cos∠CPN=cos∠DCM=.

（3）如圖9所示，取格點D，連接AD，DN. 分析可知∠CPN=∠AND. 又知AD=DN，∠ADN=90°，所以∠AND=∠DAN=45°，從而可得∠CPN=45°.

評析與總結 ?上述探究網格中的三角函數，充分利用格點的特性構建兩線平行，實現等角代換. 網格中的銳角三角函數求值問題有兩種解析策略：一是直接構造直角，適用于所涉角較為特殊之時;二是利用平移變換實現等角代換.

教學中，建議拓展學生的思維，引入創新題，綜合解析方法以構建思路. 對于網格類問題，從幾何視角加以剖析，引導學生關注網格的特性，在此基礎上進行構造、變換，實現條件的等量代換. 同時滲透數學思想和方法，讓學生逐步形成感知，從思想層面理解問題.

與圓同行，知識綜合

在圓中同樣可以構建三角函數類問題，實現圓與三角函數的綜合，其特殊之處在于引入圓，使得幾何特性更加豐富，角度代換更加靈活. 其中的圓周角定理、圓心角定理是角度轉化的常用策略，解析時要充分利用這些定理來構建角度關系，結合概念推導三角函數值.

例4 ?如圖10所示，AB為☉O的直徑，CD⊥AB于E，點F是CD上的一點，且BF=DF. 延長FB至點P，再連接CP，使得PC=PF;延長BF，與☉O的交點為G，連接BD，GD.

（1）連接BC，證明CD=GB;

（2）證明PC是☉O的切線;

（3）如果tanG=，且AE-BE=，試求FD的值.

分析 ?本題以圓為背景構建了復合圖形，其中第（3）問設定了三角函數值，實際處理時可將其等角代換，放置在直角三角形中，轉化為與線段比值相關的條件，同時充分利用圓的特性進行輔助分析.

解答 ?第（1）問、第（2）問略.

（3）連接AD，由于AB是☉O的直徑，則∠ADB=90°. 又知AB⊥CD，則=，從而可知∠BDE=∠A=∠G. 在Rt△ADE中，tanA=tanG==，則AE=3DE. 同理可得DE=3BE. 所以AE-BE=3DE-DE=，解得DE=，則CD=2DE=2，BE=DE=，BD=. 可證△BCD∽△FDB，則=，結合BC=BD可得FD==.

評析與總結 ?上述第（3）問給出了三角函數值，解析時需將其轉化為與線段相關的條件，基本策略依然是等角代換，構建直角三角形. 其特殊之處在于圓的性質定理，無論是圓周角定理還是圓心角定理，均與圓的弧長相關，需要構建“弧長→角度→線段”的推導關系，形成系統的推理邏輯.

教學中，建議教師深入探究圓的性質定理，充分與三角函數相融合，以等角代換為主體，探索條件、轉化思路、探究過程、注重模型構建，挖掘直角模型的構建方式，如直徑對直角、垂徑定理等.

應用探究，解構直角

應用銳角三角函數的相關知識解決實際問題，這是新課標對此內容的基本要求. 解析問題通常需要經歷三個環節：數學建模、條件轉化、定理解析. 第一環節，將實物轉化為數學模型，實現模型量化;第二環節，提取模型的幾何性質，進行條件轉化;第三環節，充分利用性質定理構建幾何關系，求解問題.

例5 ?如圖11所示是某大型商場的自動扶梯示意圖. 已知自動扶梯AB的傾斜角為30°，在自動扶梯下方底面的C處測得扶梯頂端B處的仰角為60°，A與C之間的距離為4 m，則自動扶梯的垂直高度BD=______m.

分析 ?本題為與三角函數相關的實際問題，需要充分利用其中的方位角來求解線段長，故首先需要構建幾何模型，然后通過解直角三角形求BD的長.

解答 ?因為∠BCD=∠BAC+∠ABC，∠BAC=30°，∠BCD=60°，所以∠ABC=∠BCD-∠BAC=30°，所以∠BAC=∠ABC，所以BC=AC=4 m. 在Rt△BDC中，由于sin∠BCD=，所以sin60°==，可得BD=2m.

評析與總結 ?上述求扶梯的垂直高度，其中有兩個方位角特別關鍵：“AB的傾斜角為30°→∠BAC=30°”“C處測得扶梯頂端B處的仰角為60°→∠BCD=60°”. 確定角度大小后，構建直角模型是解題的關鍵.

備考中需要引導學生關注兩大角度體系，一是方向角，以觀測者為中心構建的角度;二是方位角，以標準方向為基準構建的角度. 不同體系下的角度的釋義是不同的，探究時可結合具體問題剖析角度關系，形成深刻的角度認識.

解后思考，備考建議

1. 知識強化，明確核心

三角函數是初中數學的重點內容，具有“數”“形”的雙重特性，教學中要引導學生立足基本的概念定理，從幾何角度探索轉化思路，生成解題策略. 同時要明確考查核心，立足知識核心開展教學探究活動. 對于三角函數，要指導學生理解對應的概念，強化銳角三角函數的求解方法，掌握三角函數解決實際問題的思路，并合理拓展，生成綜合性問題的解決思路. 因此復習備考階段，要研讀知識考點，明確復習方向，梳理知識定理，構建完整的知識網絡.

2. 把握本質，總結解法

三角函數的命題形式十分多樣，知識交匯點也較多，涉及特殊圖形、網格、函數曲線等內容，這也是后續中考的命題趨勢. 但無論命題形式如何變化，考查的知識定理、方法本質是不變的，始終圍繞著等量代換進行模型構建，如平移代換、構建直角模型等. 因此在解題探究中要關注圖形中的角度關系，提取其中的直角三角形，合理利用勾股定理推導線段長，結合三角函數的概念進行條件與問題的轉化. 復習中，建議精設考題，引導學生發掘解法、提煉解題模型、總結解題規律.

3. 強化應用，拓展思維

三角函數具有極強的應用屬性，可利用對應的知識求解距離問題、安全范圍問題等. 在探究教學中要引導學生關注其中的方向角和方位角，掌握數學建模的方法;指導學生總結應用題的解析步驟，生成“讀題審題→數學建模→特性分析→條件轉化→定理求解”的解題思路. 同時注意拓展學生的思維，合理改編教材習題，如將三角函數與拋物線、正方形網格相融合，生成綜合性探究問題. 復習備考要重點突出三角函數的特性，提升學生的思維水平.

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