透過現象看本質，培養素養樹德人

王健新

摘 要：在《普通高中數學課程標準（實驗）》修訂稿中，提出了數學學習的六大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析。在圓錐曲線中，“中點弦”問題是高考常考考點，是教學的重點也是難點。在教學中，充分發揮學生的數學建模、數學運算、邏輯推理、直觀想象等能力，推導出圓錐曲線“中點弦”問題的解法以及統一記憶公式，培養學生核心素養，立德樹人。

關鍵詞：高中數學;核心素養;立德樹人

查閱近10多年新課標數學高考文理考卷， “中點弦”問題的題目共出現8次，是高考的熱門考點，屬中檔題。學生在考試中遇到“中點弦”問題，往往得分較低。筆者認為，一方面，在于學生對此類問題理解不夠深刻，缺乏解題模型的建立;另一方面，對“中點弦”問題公式的理解不夠深入，不能統一理解并記憶公式。

為此，本人在講授該問題時，通過對典型例題的講解，從數學建模、數學運算、邏輯推理、直觀想象等方面進行多維度探討，得到“中點弦”問題的本質公式，培養了學生的核心素養，培養學生勇于探索勇于創新。以下是本人的教學片段：

【2015新課標2 理20】已知橢圓，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M。證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;

師：這道題有什么條件？要證明什么？如何聯系起來？

生1：該題給了橢圓方程、弦AB、中點M，證明：定值。

生2：“中點弦”問題，設直線方程，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理，求出M的坐標，然后證明。

生3：“中點弦”問題，設A、B、M的坐標，用點差法，通過變形可證明。

師：“中點弦”問題常見有兩種解法，大家選其中一種來嘗試證明結論。

【解法一】（學生呈現）設直線l的方程，

聯立得：

，

故，.，

則.

所以直線的斜率與l的斜率的乘積為定值.

【解法二】（學生呈現）設 ，

則

在橢圓上，， 得：

，所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

師：方法一，韋達定理法難點在運算，方法二，點差法難點在變形，兩種方法都很好。

師：對于橢圓，直線l與橢圓有兩個交點 、，線段的中點為，直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值嗎？如果是定值，定值為多少？

生4：可以用上面兩種方法再算一次就行。

生5：用點差法更好，相減移項變形可得：。

師：對于曲線，直線l與曲線有兩個交點 、，線段的中點為，直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值嗎？如果是定值，定值為多少？

生6：用點差法，相減移項變形可得：。

師：曲線可以表示什么圖形？

生7：可以表示圓，橢圓，雙曲線。

師：很好，也就是說對于橢圓和雙曲線共4種方程都適合。拋物線或的“中點弦”問題，也滿足直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值嗎？

生8：用兩種方法都無法求出乘積為定值。

師：可以用點差法進行變形求出定值么？

生9：不行，不具備的形式特點。

師：以為例用點差法求解，當化到時，只需，便可得到，依然是定值。同理，當拋物線時，可得。由以上的推導，發現圓錐曲線“中點弦”的定值問題公式較多，能否把統一記憶呢？

師：“中點弦”的定值問題是斜率乘積為定值。斜率是縱坐標除以橫坐標，那么兩斜率的乘積就是縱坐標2除以橫坐標2的形式。

生10：橢圓和雙曲線滿足，但拋物線好像不滿足。

師：我們利用點差法求拋物線的“中點弦”問題時，只要補項或，等號左邊有的形式，等號右邊的化為或化為，就為定值。

【小結】

橢圓、雙曲線需要移項才能得到的形式，移項后等號的右邊有“-”，拋物線需要補項變形才能得到有的形式，等號右邊就是定值結果。

筆者認為，在教學中，重視學生思維的引導，培養學生數學抽象、邏輯推理能力，重視學生運算的規范，培養學生數學數學建模、數學運算能力，重視知識的反思與總結，培養學生敢于探索、勇于創造的優秀品質。讓學生在關注知識與技能的同時，思考知識與技能所蘊含的數學本質、體現的數學思想，最終實現學生形成和發展數學學科核心素養的目標。

參考文獻：

[1] 馬云鵬 . 關于數學核心素養的幾個問題 [J]. 課程 . 教材 . 教法，2015（9）

[2] 史寧中 王尚志? 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）解讀[M]? 高等教學出版社2020.11

1938501186253