基于發展學生核心素養的高中數學概念教學整合研究

秦瑋

摘 要：2019年人教A版高中數學新教材是核心素養導向下的高中數學教材變革。相對于舊教材而言，新教材對“三角函數”概念教學作了全新的處理。研究者以人教版高中數學新教材 “三角函數的概念”為例，對新教材的課程內容進行分析與整合，創新了教學設計，凸顯了函數本質。

關鍵詞：核心素養;高中數學;教學設計;整合

對于高中數學教材的認識是一個長期的過程，更何況是剛剛推廣使用的新教材。教師應立足于教材，但教材不等于教學內容，它需要根據實際情況再加工。教師可以根據課程標準自行研發校本教材，創造性地使用教材。創造性地使用教材并不是弱化教材的地位，相反，教師是立足教材、重視教材。筆者喜歡翻開課本，逐字、逐句、逐節地閱讀，對定義、定理、結論中的關鍵語句仔細品味、反復思考，領悟其語意，切實領悟教材編輯者的意圖。

一、設計背景研究

1.教材內容

三角函數是基本初等函數之一，它的本質是以角度（弧度制）為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。

2.學情分析

學生之前已經學習了任意角的概念，知道了角的概念推廣是建立在需要數學地表示周期性運動的邏輯起點上，這為進一步研究三角函數的概念提供邏輯起點。由于學生在初中學習了以直角三角形為載體的銳角三角函數，沒有在函數觀點層面上認識銳角的三角函數，由此產生任意角三角函數認識的負遷移，認為任意角三角函數就是求任意角三角函數值。這種對函數關系的認同是學生學習任意角三角函數概念的困難之一。我們既不能把任意角的三角函數看成是銳角三角函數的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數看成是任意角的三角函數在銳角范圍內的“限定”。

3. 教學目標

（1）了解三角函數的背景，體會三角函數與現實世界的密切聯系;

（2）經歷三角函數概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，發展數學核心素養。

4. 教學重點

任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。

5. 教學難點

理解三角函數的函數本質，能借助單位圓定義任意角的三角函數。

二、教學過程設計

1.情境引入

周期變化規律的現象廣泛存在于自然界中：

東升西落照蒼穹，影短影長角不同。晝夜循環潮起伏，冬春更替草枯榮。

函數是刻畫客觀世界變化規律的數學模型，不同的變化規律應當用不同的函數來刻畫，我們學過哪些基本初等函數？客觀世界中還存在著一些現象，比如，地球自轉引起的晝夜交替變化，公轉引起的四季變化，月亮圓缺變化，潮汐變化等，他們都具有循環往復，周而復始的現象，這種變化規律稱為周期性，以及物理學中我們已經學習或即將要學的單擺做簡諧運動的位移變化，交變電流變化都具有周期性，我們前面學的函數刻畫不了這種周期性變化的規律，什么函數模型能最好的刻畫這種周期變化的規律？──三角函數。

【設計意圖】在理科知識學習中，增加文學趣味，從而改變學生對數學知識學習枯燥、蒼白的印象，促使學生更好的感受數學世界的魅力所在，進而實現激發調動學生學習興趣的目的。最后引出“周期現象”，調動學習過往“函數”知識學習的經驗，從而用數學模型刻畫周期現象，讓學生對本節課程知識學習任務有所認知。

2.活動探究

引例：水車灌溉，始于東漢，宋代改良為高轉筒車（水車）。

探究1：現某風景區內有半徑r=1的水車，為了讓水車更加美觀，需要進行裝飾，遇到了這樣一個問題：點P與點O在同一個水平位置，隨著水車逆時針旋轉，點P的位置在哪里？點P的坐標是什么？

【設計意圖】高中學生已經具有豐富的生活經驗和一定的科學知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關的素材，通過生活中的實例──水車（筒車）旋轉過程中某質點的位置確定，直觀感知勻速圓周運動中圓周上的點的坐標的三角函數刻畫，體會三角函數刻畫周期運動的必然性。此情景設計應該有助于學生對知識的發生發展的理解。這個數學模型很好融合初中對三角函數的定義，也能放在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數的定義向任意角三角函數過渡，揭示函數的本質。

探究2：當時，點P的坐標又是什么？如果給定一個角a，它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標是唯一確定的嗎？你能用函數的語言刻畫角α與交點P的縱坐標、橫坐標的對應關系嗎？

使用幾何畫板，得出P的坐標是唯一確定。

師：如圖，點P作圓周運動，當a變化時，還有哪些量在變化？它們與a具有函數關系嗎？為什么？

學生整體感知，教師以y與a的函數關系為例，引導學生從以下三個方面理解問題：

①a的所有取值記為集合A，y的所有取值記為集合B，集合A中的每一個元素，在集合B中都有唯一的元素與之對應。

②在單位圓中，根據弧度的定義，a的弧度數的絕對值等于a所對的弧長，因此集合 A 中的每一個元素都可以用實數表示，集合B中的元素也是實數，根據函數定義可以判斷y是a的函數。

③y隨著a的變化而變化，所以a是自變量，y是函數值。

三、教學反思

一堂好的數學課，必須蘊含豐富的數學內涵，能夠激發學生思考的熱情，使學生經歷“百思不得其解的困惑——茅塞頓開的激動——問題解決的愉悅”的過程，從中品味思考的樂趣，發展思維的能力，獲得數學的思想方法。這樣的課才既有內容又有思想，既見樹木又見森林。

我將本節課設計成探究問題串的形式，通過問題串誘發、引導學生完成本節課的探究過程（概念復習——創設情境——概念探究——概念形成——概念拓展——鞏固訓練——歸納總結）。整個教學過程層層遞進，線索清晰，突出了教學重點，突破了教學難點.問題的設計能讓學生產生認知需求，享受在領悟、感知中探求新方法和學習新知識的樂趣。我對新教材的課程內容進行分析與整合，創新了教學設計，凸顯了函數本質。

本節課在知識的學習中很好的滲透了數學的思想和方法。比如，單位圓的引入滲透了數形結合的思想;由銳角的三角函數到任意角的三角函數體現了從特殊到一般的思想;將任意角的正弦函數的定義類比到了任意角的余弦函數和正切函數定義等等。

本節課融入了中國歷史文化、數學育人的精神。比如，以七言絕句“東升西落照蒼穹，影短影長角不同。晝夜循環潮起伏，冬春更替草枯榮。”開頭，引出任意角三角函數的現實背景是周期變化現象，是“周而復始”變化規律的數學刻畫。通過歷史必修二中的“高轉筒車”圖片，滲透了中國歷史文化，提高課堂的文化厚度，讓學生感知數學是源于生活的。

整個教學過程中，我為學生提供獨立思考的時間，自主的思維。最后的總結，又回到引入的情境，讓學生思考回味總結，這樣的設計新穎又首尾呼應，也調動了學生繼續學習研究數學的興趣。

參考文獻：;

[1]用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數[J]. 章建躍.數學通報. 2020（11）

[2]從一道三角函數求值題中引發的思考[J]. 華倩. 科學技術創新. 2020（26）

本文是基金項目：廣州市教育科學規劃2018年度一般課題“高中數學知識主干整合與教學實踐研究”（編號：201811662）的階段性成果.

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