拓撲優化在產品設計中的應用

梁健 李曉杰

摘要：為了豐富產品造型設計的方法，加強造型設計與制造工藝之間的聯系，使設計過程融入更多的理性因素。分析了拓撲優化的設計過程，拓撲優化方法對于造型設計與結構設計的影響，拓撲優化與參數化設計計算方式的差異，增材制造技術對于拓撲優化的意義等問題，以產品設計實例說明了拓撲優化在產品造型設計中的應用。明確了拓撲優化是一種客觀的設計方法，以產品結構優化設計為目的，約束造型產生的條件是載荷，通過數學的計算，得出造型結果，造型包含了形式特征與結構要求，可以應用于造型設計。為產品造型設計提供了參考。

關鍵詞：工業設計 拓撲優化 造型設計 增材制造 參數化

中圖分類號：TB472

文獻標識碼：A

文章編號：1003-0069（ 2021） 03-0137-03

引言

隨著計算機科學技術的飛速發展，結構優化設計已成為獲得輕量化和高性能結構的最重要手段之一[1]。拓撲優化是一種確定最佳結構型的設計方法，它已被廣泛應用于工程領域。以提高產品的結構性能，拓撲優化以載荷為設計變量，約束產品的造型結果，其無需初始構型，根據施加載荷的變化，可得到意想不到的設計結果。在造型設計與結構設計領域是一種全新的設計方法。由于拓撲優化的造型空間穿插特征相對較多，大都以不規則形態為主，雖然可以得到優化后的模型文件，但是在生產制造環節就會遇到很多問題，3D打印技術的日趨成熟，加速了拓撲優化計算結果的生產制造進程，也推動了拓撲優化方法在產品設計中的應用。

一、拓撲優化概述

拓撲優化是結構優化的一種方法，結構優化設計發展于19世紀60年代，將數學中的最優理論應用于工程設計，以純理性的方式解決設計問題，幫助人們快速地找到合理的設計結果，提高了設計效率。結構優化設計可以劃分為3個層次：優化結構元件的參數，稱為參數優化或尺寸優化：優化結構的形狀，稱為形狀優化：優化結構的拓撲結構，稱為拓撲優化[2]。

（一）拓撲優化的主要方法

結構拓撲優化包括離散結構的拓撲優化和連續變量結構的拓撲優化。離散結構拓撲優化應用范圍相對較小且難度較大，設計結果也不利于加工制造。目前應用的拓撲優化方法基本都是連續結構拓撲優化，隨著增材制造加工技術的成熟，兩者經常配合使用，以達到結構與材料的最優平衡。連續體結構拓撲優化方法目前比較成熟的是均勻化法、變密度法和漸進結構優化法[3]。

均勻化拓撲優化1988年作為一種結構優化的方法被發表，其原理是把尺寸優化感念應用于拓撲優化中，把復雜的優化過程轉換為難度相對較小的尺寸優化?？梢栽诖_定約束條件較少的情況下進行優化計算，以材料的空間分布形成的孔洞形態與受力結構材料分布之間的關系為優化目標。均勻化拓撲優化的優化目標是整體結構的柔度優化，這種方法的好處是原理成熟，存在最優解。缺點是模型穿插結構過多，形態分布復雜，對加工制造的要求難度較大。

變密度拓撲優化法的原理是假設構成結構的材料密度與材料的某一個或幾個物理參數存在函數關系，材料的密度可在區間[0，1]之間取值[4]。當優化目標的密度值在[0，1]之間任意連續取值時，如果優化目標的結構為孔洞，則單元的密度值為0，如果優化目標的結構為支撐，則單元的密度值為1，如果密度值在0-1之間，則優化計算時，使密度值更好的偏向0或1。變密度拓撲優化的優化目標也是整體結構的柔度優化。優點是計算效率高，變量少，原理成熟。缺點是由于變密度拓撲優化方法會優化密度邊界的折中值，優化結構的邊界會出現棋盤格現象，不利于之后的加工制造。

漸進結構拓撲優化法，其原理為逐步刪除無效與低效率材料來達到拓撲優化的目的[5]。以應力為約束條件，優化的結果是得到最小的質量為目標，漸進結構拓撲優化法可以采用兩種優化過程，一種是以應力的變化針對材料的分布做形狀的調整，一種是對低應力區域進行材料的刪減。漸進結構拓撲優化法的設計目標是以保證結構強度的前提下進行最小質量的優化計算。其優點是方法實用，算法清晰簡易，容易實現，缺點是震蕩次數與迭代步數過多，并且存在棋盤格現象。

（二）拓撲優化設計與數化設計的差異

值得注意的是經過拓撲優化設計的產品造型很容易與參數化設計相混淆，兩者在成型算法上還是有區別的。參數化的成型原理是以不同的細胞單元為基礎，通過差異性的規律運算，使數據的關聯重復語言形成一種數陣和邏輯，運用數字技術使其特征形式化，就會呈現連續漸變的復雜形態[6]。參數化的計算目標不是整體目標，其結算結果也不是對整體的分割。參數化是以目標與目標之間的作用方式作為計算的目標，參數化計算得到的形態只是元素之間關系的體現（圖1），參數化的約束也是可以無限添加的，這樣就能得到看似復雜，確有某種聯系的連續形體，這些形體也可能帶有明顯的隨意性。參數化的成形特點是由內到外，以獨立元素為基礎，以元素之間的關系為變量，好似一種復制變形似的擴張，這樣形成的造型體現了元素的連續變化，空間的矛盾性，內外空間分界的模糊性，產生了一種自然的無序過度。參數化表現的只是形態之間的邏輯關系，一般不涉及其他因素。拓撲優化是以造型整體為設計基礎，通過計算作用于形體的載荷變化刪減材料（圖2），雖然有些時候兩種計算方式得出的形態很像，但其成型規律正好相反，參數化是從小變大，拓撲優化是從大變小。

（三）拓撲優化與增材制造

單從結構優化或是造型變化的角度考慮，拓撲優化方法在產品設計中有多明顯的好處，如果考慮生產制造，批量加工，拓撲優化的局限性就突顯出來了，由于拓撲優化的過程帶有些許的非控制性，約束條件的輕微改變，如受力角度的輕微改變也可能導致結構的明顯差異，而且拓撲優化大都要施加幾個約束條件，這就使得拓撲優化的形態結構基本都是不規則形體，形體多以不規則的扭曲，穿插，開孔等形態呈現（圖3、4），傳統的注塑，銑削，沖壓等制造工藝都不能完全的還原拓撲優化的結果，很多時候經過優化的形態還要進行人為的修改，以達到加工要求，但是這樣也會破壞產品的優化結果。增材制造技術（AM），俗稱為3D打印，通過層層累積材料制造結構零件。這種制造工藝推翻了傳統的“減材”“等材”的制造理念[7]，3D打印不受目標產品復雜程度的限制[8]，使得帶有復雜幾何特征的創新結構的制備成為可能。

二、拓撲優化在產品設計中的應用

2016年5月空中客車集團APWorks GmbH發布了世界上第一輛3D打印摩托車Light Rider（圖5），目前3D打印技術已經比較成熟，Light Rider的制造工藝并沒有引起設計界的太多興趣，而是Light Rider的造型顯得與眾不同，Light Rider車身是一種整體的不規則鏤空造型，這與很多數字化建模方法得出結果很像，例如：參數化設計，分形設計。其實Light Rider車身骨架采用了一種全新的設計方法：拓撲優化設計。從造型角度觀察，Light Rider的外部輪廓設計加入了主觀的造型元素，例如前端的油箱造型，從車把到座椅的之間的弧線凸起，完全模仿了油箱的造型，如果從結構與功能方面考慮，這種形式更多起到裝飾作用，如果完全按照結構要求去設計，造型的變化就會顯得單調。從結構角度分析，Light Rider的車身設計是完全基于連續結構拓撲優化，連續結構的好處是所有的孔洞關系都是根據載荷計算出的，這樣產生的造型盡管孔洞形式可能過多，但是造型的空間關系在視覺感官上也會顯得整體，不會過度混亂，造型開始與結束的位置不會產生突然的轉折。Light Rider車身由兩個部分組成，車身主體和后輪的懸掛，單獨觀察兩個部分，每個部分都保持了造型的整體性。拓撲優化最開始應用在產品設計大都只采用連續結構拓撲優化，隨著制造技術的發展，目前大都同時綜合應用離散結構拓撲優化和連續結構拓撲優化進行產品設計。

對于傳統的產品造型設計，設計師大都以自己的審美直覺和經驗進行設計，這也是造型設計師與結構設計師在設計項目中的主要矛盾。由于造型設計中的主觀因素過多，在設計結果驗證方面，校對目標與破壞性試驗也會浪費過多精力。主觀的造型設計大都是從造型的輪廓出發，逐步細化，這時線型的變化依據是設計師的審美取向，設計具體化之后在進行結構的驗證，造型的形式與結構之間的矛盾也是在這時體現出來。拓撲優化設計恰恰與主觀的造型設計相反，進行產品結構與形態的拓撲優化之前，首先要確定拓撲優化空間，如某些結構支撐，產品的表面覆蓋等產品結構特點，都是客觀的結構屬性，而不是以造型的美學屬性為設計的出發點，這就調和了結構功能與造型設計之間的關系。由于多拓撲優化的計算方式是迭代運算，所以在最初設計時，可以相對自由的布置形態分布，例如：如果以結構優化設計為目的，考慮產品的性能，裝配等問題，就可以選取相對較大的結構區域，而不必去照顧細節，可以把相鄰的多個結構關鍵點，統一成一塊區域，這樣可以最大化地挖掘優化地潛力，同時也為造型設計預留了空間。

（一）拓撲優化在結構與功能設計的應用

骨髂矯正與骨折后的保護是醫療領域一個普遍的問題，固定的方式有內固定和外固定[9]，針對矯正產品的設計大都把功能與結構放在第一位。傳統的外部固定方式用石膏把患處完全包裹，骨骼的恢復時間一般較長，石膏固定的方式護具重量較重，透氣效果十分不好。2013年Jake Evill公開了一種3D打印外部護具的方法（圖6），首先通過三維掃描技術得到患處的三維數字模型，經由優化技術設計護具的結構造型，最后用3D打印技術生產制造，從圖6中可以看出，第一代的優化計算結果，結構分布還是比較平均，孔洞的大小也是一種可見的邏輯變化形態，這個設計制作過程還是以3D打印技術為支撐，輔助的加入結構優化，此款護具的孔洞與參數化設計的結果十分相似，孔洞的功能主要體現了輕質化與透氣的舒適性，造型構成還看不出載荷分布的情況，此時的產品造型并沒有實質性的改變。造型以手臂的輪廓為依據，沒有多余的裝飾。

2015年Scott Summit設計了一款全新的醫療護具（圖7、8）此款護具已經針對形狀結構材料分布進行了多方面的拓撲優化處理，此時，護具的鏤空部分采用的是離散結構拓撲優化進行設計的，離散結構拓撲優化的特點是形成一種類似桁架結構的支撐，離散結構拓撲優化的設計結果，形式上空闖造型的連接關系不是很流暢，但是能夠大大的減少材料的使用率，同時有效地減輕產品的重量，最開始離散結構拓撲優化方法使用率較低，是因為制造工藝要求比較高，離散結構拓撲優化產生的造型，所有的傳統加工方式都不適合，因為其結構的是一種不規則的桁架，3D打印技術的成熟也是離散結構拓撲優化能夠應用的前提，從圖了觀察產品的結構特點，護具的外部輪廓造型的連續性很強，但是內部的網狀結構，與Light Rider相比，連續性有些生硬。大都是直線交錯似的網格，此時離散結構拓撲優化還是輔助設計狀態，在體積較大的產品設計中很少應用，Light Ride的設計比Scott Summit護具的設計時間晚，也沒有采用離散結構拓撲優化參與進行設計。

此時拓撲優化主要輔助結構設計，可以根據患者的骨骼保護要點，進行分區域的優化。只要輸入主要受力的區域的不同載荷要求，就可以優化出最優的材料與剛度配合，通過邊界的變化，非結構優化區域也可以進行材料的分布優化，這樣設計的產品結果可以同時滿足多個技術指標，例如：主要受力區域的強度要求，貼合手形的人機工程要求，對非保護部位的最小限制，產期佩戴的透氣性等舒適度要求。這些問題都可以同時得到滿足。本案例是以結構與強度為設計出發點，在產品造型上也體現出了較大的差異，雖然產品的材料減少了，但結構造型合理了許多，結構強度也沒有減弱，體現了以結構為約束條件設計造型的過程。

（二）拓撲優化在產品造型設計中的應用

產品造型即人工塑造產品的形態，是在考慮產品美學的基礎上，將設計概念通過幾何形態表達出來的過程[10]。在抽象造型方面，設計師大都以自己的主觀意象進行造型的設計研究，這些方法大都不是直接與結構相關。

拓撲優化方法應用在造型設計方面最著名的例子是設計師Joris Laarman的“bone chair[11]。制作“bone chair”（圖9）的想法可以追溯到1998年，德國通用汽車公司的子公司歐寶開發了一款造型成像模擬軟件，針對發動機的懸置與發動機底座的優化設計，其目的是使用最少的材料固定設計元件，在不削弱元件固定于支撐的情況下，去除不必要的材料。Joris Laarman看到這個過程后，發現新的造型生成過程和生物進化的原理完全相同。歐寶設計的軟件可以模擬在需要增加強度的地方添加材料，不需要支撐的地方刪除材料，創造出一種最少材料達到最大強度的設計（圖10），這也是拓撲優化的設計過程。在設計”bone chair”時，確定使用鋁作為制作材料，計算的公式由此進行了針對材料的改進，這樣使得bone chair的形狀顯得更加纖細，從設計結果來看bone chair造型空間穿插造型特點明顯，但是椅子靠背后面部分與椅子的支撐部分的造型顯礙過于復雜，結構特點更加突出，這可能是Joris Laarman把主要精力放在的造型設計方面，將其造型與Light Rider和Scott Summit設計的護具進行比較，兩者都是基于結構設計，造型是自然形成的，而是bone chair是以造型為目的，這樣會導致約束設置的過度或是重復，由于拓撲優化對于載荷的變化反應很敏感，輕微的變化也會導致設計結果產生很大的差異，bone chair造型體現的形式美和人機工程學結構體現的都不是很好，整體更像是一種實驗性質的探索，其造型特征接近雕塑似的藝術品，而不是基于商品的設計。也是由于bone chair的造型結合了拓撲優化的特點，當Joris Laarman拿著模型去尋找加工工廠時，卻遭到了所有公司的拒絕，因為bone chair的造型特點基本與當時所有的機械加工方式不兼容，最后菲爾·威爾德經營的一個小作坊接受了這個任務，使用的是傳統鑄造技術做了第一把”bone chair”（圖II、12）。

隨著3D打印技術的成熟bone chair的造型與制作也發生了變化，Joris Laarman設計的“aluminum gradient chair”（圖13） 2014在美國紐約的friedman benda畫廊首次展出，使用了新的優化算法，完全體現了拓撲優化在結構與材料設計方面的優勢，椅子的整體造型雖然沒有“bone chair"看起來舒展，但是造型之閆的連通性要提高了許多，孔洞之間也不會有過多材料的堆積。由于3D打印技術的引入（圖14），椅子的最小構成結構已經細化了很多（圖15），離散結構拓撲優化方法已經完全的應用到實際設計中，已經不是作為輔助空間填充，而是融入整個設計過程。首先椅子的整體支撐結構以連續結構拓撲優化方法進行設計，之后針對3D打印技術特點又進行了網格優化設計，在以連續結構拓撲優化設計的結果基礎上，對所產生的造型進行了離散結構拓撲優化設計，與“bone chair”相比，椅子的結構單元以幾何倍數縮小，椅子的構成類似于一種桁架結構的衍生，這種多層級優化的方法既保證了整體支撐結構的最優設計，也保證了材料使用最優設計。“aluminum gradient chair”的設計目的也是把形態設計放在主要位置，其結構支撐的優化并不是最優狀態，這也不能掩蓋“aluminum gradient chair”造型的獨特性，椅子的最小分子打印結構，厚度，密度和圖案都是以椅子的結構與材料要求為約束條件;這種以結構約束為設計手段進行造型設計的方法為產品造型設計提供了一種新的參考。

結語

計算機輔助技術與增材制造技術的發展逐漸成熟，與之先關的參數化設計，分形設計，生成設計，結構優化設計也更多地應用到設計領域，在進行產品造型設計與結構設計時，造型的復雜程度、抽象程度、變化的不可預見性等因素都在不同程度增加，數字設計時代設計師的理性因素會占據更多的比重。本文對拓撲優化的方法在產品造型設計中的應用等問題進行了相應的分析和總結，給設計師在處理產品造型設計時提供必要的參考，更好地構建出新穎合理的產品造型。.基金項目：2018年度廣東省普通高校重點科研平臺和科研項目（2018KQNCX386）。

參考文獻

[1]劉書出，李取浩，劉君歡，陳文炯，張永存.一種將拓撲優化設計轉化為增材制造結構的實現方法[J]Engineering， 2018 （04）： 304-311

[2]謝濤，劉靜，劉軍考.結構拓撲優化綜述[J].機械工程師，2006 （8）：22-25

[3]謝濤，劉靜，劉軍考.結構拓撲優化綜述[J]機械工程師，2006 （8）：22-25

[4]邱福生，季武強，徐厚超.基于改進變密度法的飛機垂尾拓撲優化設計研究[J].沈陽航空航天大學學報，2013，30（1）：26-29

[5]隋允康，宣東海，尚珍.連續體結構拓撲優化的高精度逼近ICM方法[J].力學學報，2011，43 （4） 716-725

[6]劉立園，林佳梁.基于產品表皮設計的Grasshopper技術應用研究[J]設計，2019 （04）：132-133

[7]劉書田，李取浩，劉君歡，陳文炯，張永存.一種將拓撲優化設計轉化為增材制造結構的實現方法[J]Engineering， 2018 （04）： 304-311

[8]肖含月，李禹臻，張芷茉3D打印技術在個性化定制產品中的應用研究—— 以手工口紅定制設計為例[J]設訓。2018 （13） 116-118

[9]亢凈.手臂骨折術后康復治療支具設計[J].設計，2019 （05）：115-117

[10]張帆，崔藝銘，朱澤一.基于參數化造型的柔性材料形變設計研究[J].設計2019 （05） 79-81

[11]周陽峰，李麗，張付佩家具產品拓撲優化研究[J].家具與室內裝飾，2017 （11）：34-35