一道極坐標系下交換積分次序題的思考

簡彩仁 呂書龍 周勇

（1.廈門大學嘉庚學院，福建漳州 363150；2.福州大學數學與計算機科學學院，福建福州 350116）

引言

極坐標系下交換積分次序在二重積分交換積分次序中有重要的理論地位。許多教材和輔導書都對其進行了研究［1-4］.許多考研教輔［2-4］都給出了類似于引例的例題進行分析。

引 例［3］交 換I=的積分次序，其中f(r,θ)連續。

解：r=2acosθ是圓x2+y2=2ax，即(x-a)2+y2=a2，由原積分I可知積分區域D，如圖1所示，欲將原積分I化為先θ后r的積分，用r=C（中心在原點的同心圓）穿過積分區域D。

圖1

由表3和表4可知，A，B，C均有顯著性差異，3個因素對香辣香菇醬感官質量影響的主次順序為：B>C>A，即黃豆醬>菜籽油>食鹽。最優配方為A2B2C2，即每100 g干香菇，加入食鹽10 g、黃豆醬80 g、菜籽油200 mL。

該方法的主要特點是后積變量的上下限是常數，但由于部分學生對極坐標相關知識的不熟悉，不能很好地理解該方法。基于對該類問題的研究，并參考直角坐標交換積分次序的思想，文章提出一種適合極坐標系下的二重積分計算方法。文章對極坐標系下二重積分交換積分次序展開討論，利用積分變量符號無關性，將極坐標系下交換積分次序問題轉化為直角坐標系下交換積分次序問題，一方面力求達到數學理論方法的統一美，另一方面也為《高等數學》課程中關于交換積分次序的教學提供參考。

一、理論分析

為敘述方便，不失一般性，將被積函數f(r,θ)r直接記為f(r,θ).本文研究二重積分的交換積分次序。

根據積分變量符號無關性，有

假設Y型積分區域{(x,y)|φ1(y)≤x≤φ2(y),α≤y≤β}，也可以看成X型區……