利用GeoGebra軟件進行可視化探究教學
——以2020年高考數學北京卷20題為例*

翟洪亮 (江蘇省太湖高級中學 214125)

商再金 (江蘇省灌云縣教師發展中心 222000)

高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，因此需重視利用信息技術創設可視化的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質，通過信息技術與教學內容的深度融合，提高教學的實效性．GeoGebra動態數學軟件(下稱GGB)是由美國數學教授Markus Hohenwarter在2002年創建的一款將幾何、代數、表格、圖形、統計和微積分集中在一起的容易使用的軟件，它以可視化的直觀方式贏得了數學教師的青睞．

高考試題由專家組精心命制而成，有些試題看似平常實質超常，往往蘊含著漂亮的性質，有較大的研究空間和教學價值，值得我們去探究．圓錐曲線中的定點、定值問題是高考的熱點．本文對2020年全國高考數學北京卷20題進行探究，猜想其蘊涵的性質，先通過GGB軟件進行驗證，然后給出證明，并將它們推廣到其他圓錐曲線.現整理成文，供同行參考．

1 試題

(1)求橢圓C的方程；

2 探究

本題考查直線方程、直線與橢圓的位置關系，試題運算量較大，區分度明顯，注重對數學運算素養的考查．做完此題后，筆者利用GGB軟件的可視性進行如下探究：

問題1若連結AB，則直線AM,AN,AB的斜率之間有何關系？

圖1

問題2命題人為何要取橢圓上的點A(-2,-1)？如果選取其他點，那么BP=BQ，kAM+kAN=2kAB還成立嗎？

利用GGB軟件可以發現，當且僅當點A位于(-2,-1)和(-2,1)兩處時，有(1)kAM+kAN=2kAB；(2)BP=BQ．由(-2,-1)和(-2,1)兩點聯想到：

問題3當點A是直線x=-2上的動點時，上述兩個性質還成立嗎？

利用GGB軟件，發現上述兩個性質仍然成立．

發現點A的橫坐標以及直線x=-4與x軸交點的橫坐標之間的關系為(-2)×(-4)=8，即xAxB=a2．由此特殊情形可猜想到一般情形：

這個猜想正確嗎？不妨先利用GGB軟件來驗證一下：

圖2

問題5上述在橢圓中的兩個性質能否推廣到雙曲線呢？

圓錐曲線是由平面截圓錐而得.用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、雙曲線、拋物線，它們往往具有類似的性質，故猜想在橢圓中的上述兩個性質可以類比到雙曲線.

同樣可以先利用GGB軟件來驗證，如圖3，發現上述性質能推廣到雙曲線．證明如下：

圖3

問題6上述性質能否推廣到拋物線？

從特殊橢圓蘊涵的性質推廣到一般橢圓中去，再將此性質由橢圓類比到雙曲線，因為在橢圓和雙曲線中焦點與其相應的準線與x軸的交點的橫坐標之積都為a2，兩者關系相近，容易進行類比推廣.而拋物線只有一個焦點和一條準線，焦點與其相應準線與x軸的交點的橫坐標互為相反數，這與橢圓和雙曲線完全不同，無法直接進行類比.此時我們要深挖拋物線自身特點，由焦點與其相應的準線與x軸的交點的橫坐標互為相反數出發，猜想A,B兩點的橫坐標也可能互為相反數．

性質3已知拋物線C:y2=2px(p>0)，點A為直線x=x0上的動點，若過點B(-x0,0)的直線l交拋物線C于M,N兩點，直線AM,AN分別交直線x=-x0于點P,Q，則(1)kAM+kAN=2kAB；(2)BP=BQ．

同樣可以先利用GGB軟件來驗證．如圖4，發現上述性質能推廣到拋物線．證明如下：

圖4

3 感受

通過GGB軟件創設可視化教學情境，旨在克服數學知識的高度抽象性，建構一個數學探究場，不是將試題所蘊涵的性質直接拋給學生，而是由圖形的直觀到性質的猜想、實驗、發現、證明，讓學生親歷數學知識的發生過程，建構知識體系，把“看不透”“說不清”的一些性質通過動態形式呈現出來，使其清晰可見，實現教學的可視化．這能充分激發學生的探究熱情，調動學生學習的積極性，提高學生課堂教學的參與度，把數學“冰冷的美麗”轉化為學生“火熱的思考”，促進其對問題的理解和對試題本質的認識，也有助于養成反思的良好習慣．

基于信息技術的教育資源和教學手段日新月異，正改變著教學方式．GGB軟件能在“形”與“數”之間自由轉換，突破數學因高度抽象概括的特性所帶來的“只可意會、不可言傳”的障礙，為改善數學的教與學提供極大可能，切實改進傳統數學教學的不足，提高教學效率．《普通高中數學課程標準(2017年版)》的實施建議中明確指出，數學教師要努力提升數學教學實踐能力，要提升信息技術的使用能力，實現信息技術與數學課程的深度融合．這要求數學教師要加強學習，掌握信息技術，勇于實踐，也讓學生逐步感受數學的奧妙，感悟數學的科學價值和審美價值，使學生逐漸養成會用數學眼光觀察世界、會用數學思維思考世界、會用數學語言表達世界的習慣，不斷提升其數學核心素養．